Suodatin (matematiikka)

Suodatin on osittain järjestetyn joukon osajoukko, joka täyttää tietyt ehdot. Käsite tulee yleisestä topologiasta , jossa suodattimet syntyvät minkä tahansa inkluusiorelaation järjestämän joukon kaikkien osajoukkojen hilassa . Suodatin on ideaalin kanssa kaksinkertainen konsepti .

Suodattimet esitteli Henri Cartan vuonna 1937 [1] [2] , ja myöhemmin Nicola Bourbaki käytti niitä kirjassaan Topologie Générale vaihtoehtona samanlaiselle verkkokonseptille , jonka E. G. Moore ja G. L. Smith kehittivät vuonna 1922 .

Määritelmä hilateorian puitteissa

Puolihilan osajoukkoa kutsutaan suodattimeksi if $F$ $L$

kaikille , $a,b\in F$ $a\land b\in F$
kaikille ja sellaisille , $a\in F$ $b$ $a\leq b$ $b\in F$

Suodattimen sanotaan olevan natiivi , jos . $F\neq L$

Sellaista ominaissuodatinta, jossa ei ole muita ominaissuodattimia, kutsutaan ultrasuodattimeksi tai maksimisuodattimeksi .

Hilasuodatinta kutsutaan yksinkertaiseksi , jos kaikesta huolimatta siitä seuraa, että joko , tai . $F$ $a,b\in L$ $a\lor b\in F$ $a\in F$ $b\in F$

Tietyn elementin sisältävää minimisuodatinta kutsutaan pääelementin generoimaksi pääsuodattimeksi . $x$ $x$

Jos suodatin, niin on ihanteellinen . $F$ $L\backslash F$

Boolen algebrasuodatin

Boolen algebran suodatin on osajoukko , jolle ehdot [3] täyttyvät : $M$ $D\subseteq M$

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Boolen algebran suodatinta kutsutaan ultrasuodattimeksi, jos seuraava ehto täyttyy: $D$ $M$

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Boolen algebran suodatinta kutsutaan yksinkertaiseksi, jos se täyttää ehdon: $D$ $M$

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Boolen algebran suodattimen sanotaan olevan maksimaalinen, jos se ei sisälly mihinkään muuhun suodattimeen . $D$ $M$ $M$

Suodattimet sarjoissa

Suodattimen erikoistapaus on sarjassa oleva suodatin. Jokaiselle joukolle voit määrittää sen osajoukkojen hilan . Sitten päällä oleva suodatin määritellään osajoukoksi , joka täyttää seuraavat ehdot [4] : $X$ $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ $\mathfrak F$ $X$ ${\mathcal {P}}(X)$

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F))$
minkä tahansa kahden elementin leikkauspiste sijaitsee $\mathfrak F$ $\mathfrak F$
minkä tahansa elementin superjoukko sijaitsee $\mathfrak F$ $\mathfrak F$

Näkymäsuodatinta kutsutaan sarjan luomaksi suodattimeksi . Yhden elementin joukon muodostamaa suodatinta kutsutaan pääsuodattimeksi . Pääsuodatin on ultrasuodatin. ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ $Z$

Suodatinpohja

Olkoon suodatin sarjassa . Osajoukkojen perhettä kutsutaan suodattimen kannaksi (perustaksi), jos mikä tahansa suodattimen elementti sisältää jonkin kantaosan elementin, eli jokaiselle on olemassa sellainen, että . Tässä tapauksessa suodatin osuu yhteen kaikkien mahdollisten joukon superjoukkojen perheen kanssa alkaen . Erityisesti suodattimet, joilla on yhteinen kanta, ovat samat. Sanotaan myös, että pohja luo suodattimen $\mathfrak F$ $X$ ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\subset Y$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Jotta joukon osajoukkojen perhe voisi olla jonkin suodattimen perustana , on välttämätöntä ja riittävää, että seuraavat ehdot ( perusaksioomat ) täyttyvät: ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ $X$ $X$

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
sillä mitään sellaista on olemassa ${\näyttötyyli A,B\in {\mathfrak {B}}}$ $C\in {\mathfrak {B}}$ $A\cap B\supset C$ .

Kaksi emästä ja niitä kutsutaan ekvivalenteiksi , jos mikä tahansa elementti sisältää jonkin elementin ja päinvastoin, mikä tahansa elementti sisältää jonkin elementin . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B\in {\mathfrak {B}}$

Vastaavat emäkset luovat saman suodattimen. Kaikkien tiettyä emästä vastaavien emästen joukossa on emäs, joka on maksimaalinen sisällyttämisen suhteen, nimittäin tämän emäksen muodostama suodatin . Näin ollen vastaavien emästen ja suodattimien luokkien välillä on luonnollinen yksitellen vastaavuus. ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Suodattimien vertailu

Olkoon sarjassa kaksi suodatinta ja . Suodattimen sanotaan hallitsevan suodatinta ( vahvempi , ohuempi ) , jos . Tässä tapauksessa suodattimen sanotaan olevan myös suodattimen pääsääntöinen ( heikompi , karkeampi ). $X$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$

He sanovat, että kanta on vahvempi kuin kanta , ja kirjoitetaan, jos jokin elementti sisältää jonkin elementin . Pohja on vahvempi kuin pohja, jos ja vain, jos alustan muodostama suodatin on vahvempi kuin pohjan muodostama suodatin . ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak B}'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$

Perusteet ja ovat samanarvoisia, jos ja vain jos molemmat ja . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$

Suodattimet topologisissa tiloissa

Olkoon topologinen avaruus ja suodatin joukossa . Pistettä kutsutaan suodattimen rajaksi, jos jokin pisteen lähialue kuuluu suodattimeen . Nimitys: . Jos on ainoa suodattimen raja, kirjoita myös . ${\näyttötyyli (X,{\mathcal {T))}$ $\mathfrak F$ $X$ $a\in X$ $\mathfrak F$ $V(a)$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ $a$ $a=\lim {\mathfrak {F}}$

Kantaman luomalle suodattimelle piste on sen raja, jos ja vain jos jokin naapurustossa sisältää kokonaan jonkin joukon kohteesta . $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $a$ $V(a)$ ${\mathfrak B}$

Hausdorffin topologisessa avaruudessa suodattimella voi olla enintään yksi raja. Myös päinvastoin: jos jokaisella suodattimella on enintään yksi raja, niin avaruus on Hausdorff.

Pistettä kutsutaan suodattimen rajapisteeksi (kosketuspisteeksi, osarajaksi), jos se kuuluu minkä tahansa joukon sulkemiseen , eli kaikille . Vastaavasti mille tahansa pisteen ympäristölle ja mille tahansa , . Mikä tahansa ultrasuodattimen rajapiste on sen raja. $a\in X$ $\mathfrak F$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in {\overline {Y}}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)$ $a$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)\cap Y\neq \varnothing$

Kompaktissa topologisessa avaruudessa kaikilla suodattimilla on rajapiste ja kaikilla ultrasuodattimilla on raja.

Esimerkkejä

Topologisen avaruuden pisteen kaikkien lähialueiden joukko on suodatin;
Jos on ääretön joukko, niin äärellisten joukkojen komplementtien joukko on suodatin. Tällaista suodatinta kutsutaan lopulliseksi suodattimeksi tai Fréchet-suodattimeksi . $X$
Jos on ääretön joukko kardinaalisuutta , niin kardinaalisuusjoukkojen komplementtien joukko on myös suodatin. $X$ $\mathfrak m$ $<{\mathfrak {m))$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ H. Cartan, "Théorie des filtres" Arkistoitu 11. toukokuuta 2015 paikassa Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 595-598.
↑ H. Cartan, "Filtres et ultrafiltres" Arkistoitu 14. lokakuuta 2015 paikassa Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 777-779.
↑ Lavrov, 1975 , s. 22.
↑ Aleksandryan, 1979 , s. 100.

Kirjallisuus

Aleksandryan R. A. , Mirzakhanyan E. A. Yleinen topologia. - M . : Korkeakoulu, 1979. - 336 s.
Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Joukkoteorian, matemaattisen logiikan ja algoritmien teorian ongelmat. - M .: Nauka, 1975. - 240 s.