Finslerin geometria

Finslerin geometria on yksi Riemannilaisen geometrian yleistyksistä . Finsler-geometria käsittelee jakotukia, joissa on Finsler-metriikka; eli valitsemalla kullekin tangenttiavaruudelle normi , joka vaihtelee tasaisesti pisteestä toiseen.

Peruskäsitteet

Olkoon ulotteinen yhdistetty sileä jakoputki ja tangenttikimppu . _ $M$ $n$ $TM$ $M$

Finsler-metriikka on jatkuva funktio , joten sen rajoitus mihin tahansa tangenttiavaruuteen on normi. Tässä tapauksessa oletetaan yleensä seuraavat lisäominaisuudet: $M$ $F\colon TM\rightarrow [0,\infty ),$ $T_{p}M$

(Smoothness) on -smooth-funktio ei ; $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(TM\setminus \{0\})$
(Vahva kupera) Jokaiselle parille bilineaarinen muoto $(x,y)\in TM$

\mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M\times T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ,

\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}} \lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rhaarukka {\Bigl |}_{s=t=0}

positiivisesti määritelty.

Muistiinpanot

Jos laitamme

g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}} [F^{2}(x,y)]

sitten lomake voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $\mathbf {g} _{y}(u,v)$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j))$

Kaikille nollasta poikkeaville vektorikentille , jotka on määritetty , on Riemannilainen metriikka . $Y$ $U\subset M$ $\mathbf {g} _{Y}(u,v)$ $U$

Finsler-metriikkaa käyttävän jakotukin tasaisen käyrän pituus on annettu integraalilla . $c:[a,b]\rightarrow M$ $M$ $F$ $L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\piste {c))(t))dt$

Chernin (tai Rundin) kovarianttidifferointioperaattori määritellään missä , ja $\nabla :T_{x}M\times \Gamma ^{\infty }(TM)\rightarrow T_{x}M$ $\nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\partial } {\osittainen x^{i))}|_{x},$ $y\in T_{x}M$ $U\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ $N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y^{j))}\left[{\frac {1}{4))g^{ il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{mk}} {\osittais x^{l))}(x,y)\oikea\}y^{m}y^{k}\oikea].$

Näin käyttöön otettu jakotukin liitäntä ei yleensä ole affiiniliitäntä. Yhteys on affininen silloin ja vain, jos Finsler-metriikka on Berwaldin metriikka[ määritä ] . Tämä tarkoittaa määritelmän mukaan sitä, että geodeettisilla yhtälöillä on sama muoto kuin Riemannin geometriassa tai geodeettiset kertoimet

$G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{jl)) {\osittais x^{k))}(x,y)-{\frac {\osittais g_{jk)){\osittais x^{l))}(x,y)\oikea\}y^{j }y^{k}$ edustaa muodossa $G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.$

Tarkastellaan vektorin funktioita . Sitten muunnosperhettä kutsutaan Riemannin kaarevuudeksi. Antaa olla tangentti 2-ulotteinen taso. Vektorille määrittelemme missä on sellainen vektori, joka . ei riipu valinnasta . Numeroa kutsutaan lipun kaarevuudeksi . $y\in T_{x}M\backslash \{0\}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\partial G^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial ^{2}G ^{i}}{\partial x^{j}\partial y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{ \partial y^{j}\partial y^{k))}-{\frac {\partial G^{i)){\partial y^{j))}{\frac {\partial G^{j} }{\osittainen y^{k))))$ $\mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y){\frac {\partial }{\partial x^{i)) }\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M\oikea nuoli T_{x}M,y\in T_{x}M\backslash \{0\},x\in M\oikea\ }$ $P\subset T_{x}M$ $y\in P\backslash \{0\}$ $K(P,y)={\frac {\mathbf {g} _{y}(\mathbf {R} _{y}(u),u)}{\mathbf {g} _{y} (y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},$ $u\in P$ $P=\mathrm {span} \{y,u\}$ $K(P,y)$ $u\in P$ $K(P,y)$ ${\näyttötyyli (P,y)}$ $T_{x}M$

Historia

Ajatus Finsler-avaruudesta näkyy jo Riemannin luennossa "On the Hypotheses Underlying Geometry" (1854). Positiivisen määrätyn toisen asteen differentiaalimuodon positiivisen neliöjuuren ( Riemannin metriikka ) antaman metriikan lisäksi Riemann ottaa huomioon myös neljännen asteen differentiaalimuodon positiivisen neljännen juuren antaman metriikan. Finsler-metriikka on seuraava luonnollinen yleistys.

Tällaisen metriikan järjestelmällinen tutkimus alkoi Paul Finslerin väitöskirjasta , joka julkaistiin vuonna 1918 , joten tällaisten metristen tilojen nimi liittyy hänen nimeensä. Tekijä, joka loi perustan tämänsuuntaiselle tutkimustoiminnalle, on Carathéodoryn uusien geometristen menetelmien käyttöönotto variaatiolaskennassa ongelmien tutkimiseksi parametrisessa muodossa. Näiden menetelmien ydin on indikaattorin käsite , ja indikaattorin konveksiteetti-ominaisuudella on näissä menetelmissä tärkeä rooli, koska se varmistaa stationaaristen käyrien variaatioongelman välttämättömien minimiehtojen täyttymisen.

Muutamaa vuotta myöhemmin Finsler-geometrian yleisessä kehityksessä tapahtui käänne Finslerin alkuperäisestä näkökulmasta uusiin teoreettisiin menetelmiin. Pääasiassa variaatiolaskelman käsitteiden ohjaama Finsler ei käyttänyt tensorianalyysin menetelmiä . Vuonna 1925 tensorianalyysiä sovellettiin teoriaan lähes samanaikaisesti Sing , Taylor ( englanniksi JH Taylor ) ja Berwald ( saksa L. Berwald ). Vuonna 1927 Berwald ehdotti yleistystä, joka ei täytä metriikan, joka tunnettiin myöhemmin Berwald-Moor-avaruudena , positiivista määrittelyä .

Seuraava käänne teorian kehityksessä tapahtui vuonna 1934, kun Cartan julkaisi tutkielman Finsler-avaruksista. Kartanialainen lähestymistapa on hallinnut käytännössä kaikkea myöhempää Finsler-avaruuksien geometrian tutkimusta, ja useat matemaatikot ovat ilmaisseet näkemyksen, että teoria on saavuttanut lopullisen muotonsa tämän seurauksena. Cartanin menetelmä johti Finsler-geometrian kehittämiseen kehittämällä suoraan Riemannin geometrian menetelmiä.

Useat geometrit kritisoivat itsenäisesti Cartanin menetelmiä Wagner , Busemann ja Rund He korostivat, että Finsler-avaruuden luonnollinen paikallinen metriikka on Minkowski-metriikka , kun taas euklidisen metriikan mielivaltainen asettaminen johtaa Finsler-avaruuksien mielenkiintoisimpien ominaisuuksien menettämiseen. Näistä syistä 1950-luvun alussa esitettiin lisää teorioita, joiden seurauksena ilmeni havaittavia vaikeuksia, Busemann totesi aiheesta: "Finsler-geometria sivulta katsottuna on metsä, jossa kaikki kasvillisuus koostuu tensoreista " .

Kirjallisuus

Venäjäksi

G.S. Asanov. Finsler-avaruus, jossa on kehyskentän määrittämä algebrallinen metriikka - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Probl. geom., 8, VINITI, M. , 1977, 67-87.
V. I. Bliznikas. Finsler-avaruudet ja niiden yleistykset - Itogi Nauki. Ser. Matto. Algebra. Poppeli. Geom. 1967, VINITI, M. , 1969, 73-125.
V. G. Zhotikov. Johdatus Finslerin geometriaan ja sen yleistyksiin (fyysikoille) - M .: MIPT , 2014. ISBN 978-5-7417-0462-2 .
P. K. Rashevsky. Polymetrinen geometria, - Seminaarin aineisto vektori- ja tensorianalyysistä niiden sovelluksilla geometriaan, mekaniikkaan ja fysiikkaan. Numero 5. OGIZ, 1941.
P. K. Rashevsky. Osittaisten differentiaaliyhtälöiden geometrinen teoria, - Mikä tahansa painos.
H. Rund. Finsler-avaruuksien differentiaaligeometria, - M. : "Nauka", 1981.

Englanniksi

PL Antonelli. Handbook of Finsler geometria, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
D. Bao, SS Chern ja Z. Shen. An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X .
SS Chern. Finsler-geometria on vain Riemannin geometria ilman neliörajoitusta - Huomautuksia AMS, 43, syyskuu 1996.
Z Shen. Lectures on Finsler Geometry, - World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9 .
Z Shen. Suihku- ja Finsler-tilojen differentiaaligeometria, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001.

Linkit

Finsler Geometryn kotisivu — Zhongmin Shenin Finsler-geometriaa käsittelevä sivusto. (Englanti)
Finslerin geometrian tutkimuksen kehittämissäätiö.
Chris Moseley (Calvin College), "Finsler and sub-Finsler geometries" (2013 paperiesitys )
V. G. Zhotikov . "Mikä on Finsler-geometria ja miksi fyysikkojen on ymmärrettävä se" (raportin esitys)