Fuksialainen malli

Fuksialainen malli on esitys hyperbolisesta Riemannin pinnasta R ylemmän puolitason H tekijäpintana fuksialaisen ryhmän suhteen . Mikä tahansa hyperbolinen Riemannin pinta sallii tällaisen esityksen. Konsepti on nimetty Lazar Fuchsin mukaan .

Tarkempi määritelmä

Yhdenmukaistamislauseen mukaan mikä tahansa Riemannin pinta on elliptinen , parabolinen tai hyperbolinen . Tarkemmin sanottuna tämä lause sanoo, että tekijäpinnan on oltava Riemannin pinta , joka ei ole isomorfinen Riemannin pallolle (elliptisessä tapauksessa) tai kompleksisen pinnan tekijäpinnalle suhteessa diskreettiin alaryhmään (parabolisessa tapauksessa). hyperbolisen tason suhteessa täysin epäjatkuvasti ja vapaasti toimivaan alaryhmään . $R$ $\mathbb {H}$ $\Gamma$

Poincarén mallissa hyperbolisen tason ylemmässä puolitasossa biholomorfisten muunnosten ryhmä [ en on homografisesti toimiva ryhmä , ja yhtenäistyslause tarkoittaa, että on olemassa vääntövapaa diskreetti alaryhmä siten, että Riemannin pinta on isomorfinen . Tällaista ryhmää kutsutaan fuksialaiseksi ryhmäksi ja isomorfismia kutsutaan fuksialaiseksi malliksi . $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$ $R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

Fuksialaiset mallit ja Teichmüller-avaruus

Antaa olla suljettu hyperbolinen pinta ja antaa olla fuksialainen ryhmä sellainen, että se on fuksialainen malli . Päästää $R$ $\Gamma$ $\Gamma \backslash \mathbb {H}$ $R$

{\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\))

Tässä on joukko tehokkaita ja diskreettejä esityksiä, joiden topologia on generoitu pistekonvergenssilla (kutsutaan joskus "algebralliseksi konvergenssiksi") [1] . Tässä nimenomaisessa tapauksessa topologia voidaan yksinkertaisimmin määritellä seuraavasti: ryhmä generoidaan äärellisesti , koska se on isomorfinen perusryhmän kanssa . Olkoon generointijoukko, niin mikä tahansa määräytyy elementtien mukaan ja voimme tunnistaa osajoukon kartoitus . Siten asetamme aliavaruuden topologian. $A(\Gamma )$ $\rho$ $\Gamma$ $R$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{r))$ $\rho \in A(\Gamma )$ $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})$ $A(G)$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r))$ $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))$

Nielsenin isomorfismilause (tämä ei ole standarditerminologiaa eikä tämä tulos liity suoraan Dehn-Nielsenin lauseeseen ) lausuu sitten seuraavan [2] :

Kaikille esityksille on olemassa ylemmän puolitason autohomeomorfismi (itse asiassa kvasikonformaalinen kuvaus ) , niin että mille tahansa .

{\näyttötyyli \rho \in A(G)}

h

\mathbb {H}

h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )

\gamma \in G

Todistus on hyvin yksinkertainen - valitse homeomorfismi ja nosta se hyperboliselle tasolle. Diffeomorfismin ottaminen antaa kvasikonformaalisen kartoituksen, koska se on kompakti. $R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H}$ $R$

Tätä voidaan pitää ekvivalenssina kahden Teichmüller-avaruuden [1] mallin välillä – perusryhmän [3] diskreettien efektiivisten esitysten joukon kosetteiksi ja joukoksi merkittyjä Riemannin pintoja , jossa on luonnollisen ekvivalenssin kvasikonformaalinen homeomorfismi. suhde. $R$ $\pi _{1}(R)$ $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ ${\näyttötyyli (X,f)}$ $f\colon R\to X$

Katso myös

Klein-malli , samanlainen rakenne 3D-jakotukille
Peruspolygoni

Muistiinpanot

↑ 1 2 Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , s. 12.
↑ Matsuzaki, Taniguchi, 1998 , s. 12, Lause 0.17.
↑ Silmukoiden homotopialuokkien joukkoa, jossa on avaruuden pisteen silmukoiden tulo, kutsutaan perusryhmäksi, jolla on merkitty piste, ja sitä merkitään . Jos on polkuun yhdistetty avaruus , niin isomorfismiin asti perusryhmä ei ole riippuvainen merkitystä pisteestä, ja sellaisille avaruuksille voidaan kirjoittaa . Katso perusryhmä $x_{0}$ $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $X$ $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Kirjallisuus

Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperboliset monikanavat ja Kleinian ryhmät. - Oxford University Press, 1998. - ISBN 0-19-850062-9 .