Jakaumafunktio (tilastollinen fysiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28.5.2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Tilastollinen jakaumafunktio ( jakaumafunktio tilastollisessa fysiikassa) on todennäköisyystiheys vaiheavaruudessa . Yksi tilastollisen fysiikan peruskäsitteistä . Jakaumafunktion tuntemus määrittää täysin tarkasteltavan järjestelmän todennäköisyysominaisuudet.

Minkä tahansa järjestelmän mekaaninen tila määräytyy yksiselitteisesti sen hiukkasten koordinaattien ja momenttien mukaan ( i=1,2,…, d ; d on järjestelmän vapausasteiden lukumäärä ). Suureiden joukko ja muodostavat vaiheavaruuden . $q_{i}$ ${\displaystyle p_{i))$ ${\displaystyle q\equiv \left\{q_{i}\right\))$ ${\displaystyle p\equiv \left\{p_{i}\right\))$

Täydellinen tilastollinen jakautumisfunktio

Todennäköisyys löytää järjestelmä vaiheavaruuden elementistä , jonka sisällä on piste (q, p) , saadaan kaavalla: ${\displaystyle \mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i))$

\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)

Funktiota kutsutaan täydelliseksi tilastolliseksi jakaumafunktioksi (tai yksinkertaisesti jakaumafunktioksi). Itse asiassa se edustaa vaiheavaruuden edustavien pisteiden tiheyttä. Funktio täyttää normalisointiehdon : $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$

\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)

ja integraali otetaan yli koko vaiheavaruuden. Mekaniikkaa vastaavassa tapauksessa järjestelmä on tietyssä mikroskooppisessa tilassa, eli se on antanut ja , ja sitten ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$

\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\,\delta \!\left(pp^{(0)} \oikea),

missä (δ on Dirac-funktio ). Erilaisten mikroskooppisten tilojen todennäköisyyksien lisäksi funktion avulla voit löytää minkä tahansa fyysisen suuren keskimääräisen tilastollisen arvon - vaihemuuttujien q ja p funktio : $\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\delta \!\left(pp^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \ !\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\oikea)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\oikea )$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $F\!\left(t,q,p\right)$

\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int ({\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\ matematiikka {d}p},

jossa "cap" tarkoittaa riippuvuutta vaihemuuttujista ja suluissa on tilastollinen keskiarvo.

Jaetaan järjestelmä pieniin, mutta makroskooppisiin alijärjestelmiin. Voidaan väittää, että tällaiset osajärjestelmät ovat tilastollisesti riippumattomia johtuen heikosta vuorovaikutuksesta ympäristön kanssa (vain osajärjestelmän rajaa lähellä olevat hiukkaset osallistuvat vuorovaikutukseen ympäristön kanssa; makroskooppisen osajärjestelmän tapauksessa niiden määrä on pieni verrattuna sen hiukkasten kokonaismäärä). Osajärjestelmien tilastollinen riippumattomuus johtaa jakaumafunktiolle seuraavaan tulokseen

\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n) },p^{(n)}\oikea)\qquad(3)

Indeksi n viittaa n :nneen osajärjestelmään. Jokaista funktiota voidaan pitää normalisoituna ehdon (2) mukaisesti. Tässä tapauksessa toiminto normalisoituu myös automaattisesti . Tilastollisen riippumattomuuden käsite on likimääräinen. Tasa-arvo (3) puolestaan on myös likimääräinen: se ei ota huomioon eri osajärjestelmiin kuuluvien hiukkasten korrelaatioita . Merkittävää on kuitenkin se, että normaaleissa fysikaalisissa olosuhteissa korrelaatiot heikkenevät nopeasti hiukkasten (tai hiukkasryhmien) siirtyessä pois toisistaan. Järjestelmällä on ominaisparametri, korrelaatiosäde , jonka ulkopuolella hiukkaset käyttäytyvät tilastollisesti itsenäisesti. Makroskooppisten mittojen osajärjestelmissä valtaosa yhden osajärjestelmän hiukkasista on toisen osajärjestelmän hiukkasten välisen korrelaatiosäteen ulkopuolella, ja näiden hiukkasten osalta yhtäläisyys (3) pätee. $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\oikea)$ $\rho$

Matemaattisesti kokonaisjakaumafunktion asettaminen merkitsee äärettömän määrän riippumattomien suureiden asettamista - sen arvot pisteiden jatkumossa kolossaalisen ulottuvuuden 2d vaiheavaruudessa (makroskooppisille järjestelmille d ~ , missä on Avogadron luku ). $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $N_A$ $N_A$

Epätäydellinen kuvaus

Todellisemmassa epätäydellisen mittauksen tapauksessa tunnetaan vain joidenkin fyysisten suureiden arvojen todennäköisyydet tai jopa keskiarvot . Niiden lukumäärä on yleensä paljon pienempi kuin järjestelmän vaiheavaruuden mitta. Arvojen todennäköisyysjakaumafunktio saadaan yhtälöstä ${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$ $\rho \!\left(A\right)$ $A$

\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A)) \right)\rho \!\left(q,p\right)},

missä . Jakaumafunktiota voidaan kutsua epätäydelliseksi. Ilmeisesti sen avulla voidaan löytää vain fyysisten suureiden arvojen todennäköisyydet , joiden riippuvuus vaihemuuttujista toteutuu . Samoille arvoille sen avulla voit löytää keskiarvot: $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A} }_{m}\right)$ $\rho \!\left(A\right)$ ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ ${\hattu {A}}$

\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A \oikea)},

jossa ja integrointi suoritetaan kaikilla mahdollisilla arvoilla . Tietenkin suureiden keskiarvot voitaisiin löytää kokonaisjakaumafunktiolla , jos se olisi tiedossa. Funktiolle , samoin kuin täysjakaumafunktiolle, normalisointiehto on tosi: ${\displaystyle \mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m))$ $A$ $\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$ ${\näyttötyyli {\hattu {f))}$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(A\right)$

\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1

Järjestelmän kuvausta funktiota kutsutaan epätäydelliseksi kuvaukseksi. Erityisiä esimerkkejä ovat kuvaus järjestelmän yksittäisten hiukkasten koordinaattien ja momenttien jakautumisfunktiolla tai kuvaus koko järjestelmän yksittäisten osajärjestelmien massojen , momenttien ja energioiden keskiarvoilla. $\rho \!\left(A\right)$

Jakaumafunktion aikakehitys

Jakaumafunktion aikakehitys noudattaa Liouvillen yhtälöä :

{\frac {\partial {\hat {\rho ))\!\left(t\right)}{\partial t))+i\,L_{t}\,{\hat {\rho } }\!\left(t\right)=0,\qquad(4)

missä on Liouville-operaattori , joka toimii vaihefunktioiden avaruudessa: ${\näyttötyyli L_{t))$

L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\({\hat {H))_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\ left({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac { \partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)

${\näyttötyyli {\hattu {H}}_{t}}$ on järjestelmän Hamilton-funktio . Siinä tapauksessa, että Liouville-operaattori ei riipu ajasta ( ), yhtälön (4) ratkaisu on muotoa $L_{t}=L$

{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)

Jotta voit käyttää (5):tä ratkaisun rakentamiseen, sinun on tiedettävä operaattorin ominaisfunktiot ja ominaisarvot . ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$ $L^{(n)}$ $L$

Täydellisyyttä ja ortonormaalisuutta käyttämällä kirjoitamme: ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)))

jossa ( spektrin oletetaan olevan diskreetti). Tuloksena saamme $c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hattu {\rho }}\!\left(0\right)\right)$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)))c_{n }\,{\hattu {\psi }}^{(n)))

Katso myös

Osittainen jakelufunktio

Kirjallisuus

Gibbs J. V. "Tilastollisen mekaniikan perusperiaatteet" - M. - L., 1946. // Uusintapainos: Publishing House "Regular and Chaotic Dynamics", 2002. - 204 s. ISBN 5-93972-127-3 .
Balescu R. Tilastollinen tasapaino- ja epätasapainomekaniikka. Kahdessa osassa. - M.: Mir, 1978.
Berezin F. A. Tilastollisen fysiikan luentoja. - Moskova - Iževsk: Instituutti. tietokonetutkimus, 2002. - 192s. (2. painos, Rev. Publishing House: MTSNMO, 2008. - 200 s. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN Tilastollisen fysiikan dynaamisen teorian ongelmia. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat , 1946.
Bogolyubov NN Valitut tilastollisen fysiikan teokset . - M .: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1979.
Bogolyubov N. N. Tieteellisten teosten kokoelma. 12 osassa. Vol. 5: Nonequilibrium Statistical Mechanics, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. ISBN 5020341428 .
Vlasov AA ei-paikallinen tilastomekaniikka . - M.: Nauka, 1978.
Zubarev D. N. , Morozov V. G., Repke G. Ei-tasapainoprosessien tilastollinen mekaniikka. Osa 1. - M .: Fizmatlit , 2002. - 432 s. ISBN 5-9221-0211-7 , ISBN 5-9221-0210-9 .
Prigogine I. Tilastollinen epätasapainomekaniikka . - Kustantaja: Pääkirjoitus URSS, 2005. - 312 s. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya. Tilastomekaniikan matemaattiset perusteet. - Kustantaja: Regular and Chaotic Dynamics, 2003. - 128s. ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Tilastollinen mekaniikka. Tiukat tulokset . - M.: Mir, 1971. - 368s.
Krylov NS Työskentelee tilastollisen fysiikan perustella . - M.-L .: Neuvostoliiton tiedeakatemiasta, 1950.
Kubo R. Tilastollinen mekaniikka. - M.: Mir, 1967.
Landau L.D. , Lifshits E.M. Tilastollinen fysiikka. Osa 1. - (" Teoreettinen fysiikka ", V osa).
Terletsky Ya. P. Tilastollinen fysiikka. (2. painos). - M .: Korkeakoulu, 1973.
Uhlenbeck J. , Ford J. Luennot tilastomekaniikasta. - M.: Mir, 1965.]
Huang K. Tilastollinen mekaniikka . - M.: Mir, 1966.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)