Tunnisteluku (integraaliyhtälöt)

Integraaliyhtälön ytimen tunnusluku on kompleksiarvo , jolla toisen tyyppinen Fredholmin homogeeninen integraaliyhtälö $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy

sillä on ei-triviaali (eli ei identtisesti nolla) ratkaisu , jota kutsutaan ominaisfunktioksi . Tässä on alue , on integraaliyhtälön ydin . Tunnusluvut ovat integraalioperaattorin ominaisarvojen käänteislukuja ytimen kanssa [1] . Arvoja , jotka eivät ole tunnuslukuja, kutsutaan säännöllisiksi . If on säännöllinen arvo, toisen tyyppinen Fredholmin integraaliyhtälö $\varphi(x)$ $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x, y)$ $K(x, y)$ $\lambda$ $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x)

on ainutlaatuinen ratkaisu mille tahansa vapaalle termille ; tunnusluvut ovat "yksittäisiä pisteitä", joissa ei ole ratkaisua tai ratkaisuja on äärettömän monta vapaasta termistä riippuen [2] . $f(x)$ $f(x)$

Ominaisuudet

Jatkuvan ytimen tunnusluvuilla on seuraavat ominaisuudet:

Tunnuslukujen joukko on laskettavissa eikä sillä ole äärellisiä rajapisteitä .
Tunnusluvun monikerta on sitä vastaavien lineaarisesti riippumattomien ominaisfunktioiden lukumäärä . Kunkin ominaisluvun monikerta on äärellinen.
Kahdesta ensimmäisestä ominaisuudesta seuraa, että tunnusluvut voidaan numeroida niiden moduulin nousevassa järjestyksessä :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\dots,

toistamalla lukua niin monta kertaa kuin sen monikertaisuus. $\lambda_k$

$\bar \lambda_1, \, \bar \lambda_2, \dots$ ovat kaikki liiton ytimen tunnuslukuja . $K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$
Jos ja , eli ja ovat ytimien ominaisfunktiot ja vastaavasti, niin ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia avaruudessa . $\lambda_k \ne \lambda_i$ $\varphi_k = \lambda_k K \varphi_k$ $\psi_i = \bar \lambda_i K^* \psi_i$ $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$ $L_2(G)$
Toistetulla ytimellä on tunnusluvut ja samat ominaisfunktiot kuin ytimellä . $K_p(x, y)$ $\lambda_k^p$ $\varphi_k$ $K(x, y)$
Kääntäen, jos ja on toistuvan ytimen tunnusluku ja sitä vastaava ominaisfunktio , niin ainakin yksi yhtälön juurista on ytimen tunnusluku [3] . $\mu$ $\varphi$ $K_p(x, y)$ $\lambda_j, \, j = 1, 2, \pisteet, p,$ $\lambda^p = \mu$ $K(x, y)$
Hermitian jatkuvan ytimen tunnuslukujen joukko ei ole tyhjä ja sijaitsee reaaliakselilla , ominaisfunktiojärjestelmä voidaan valita ortonormaaliksi [4] .
Tunnusluvut ovat samat liuottimen napojen kanssa [2] .
Degeneroituneella ytimellä on äärellinen määrä tunnuslukuja [5] .
Volterran jatkuvalla ytimellä ei ole tunnuslukuja [6] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1981 , s. 271.
↑ 1 2 Krasnov M. L. Integraaliyhtälöt, 1975 , s. 35.
↑ Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1981 , luku IV, §18, s. 4.
↑ Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1981 , s. 306.
↑ Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1981 , s. 292.
↑ Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yhtälöt, 1981 , s. 280.

Kirjallisuus

Vladimirov VS Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - Toim. 4. - M . : Tiede, ch. toim. Fys.-Math. lit., 1981. - 512 s.
Krasnov M. L. Integraaliyhtälöt. (Johdatus teoriaan). - M . : Tiede, ch. toim. Fys.-Math. lit., 1975.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. Integraaliyhtälöiden käsikirja: Ratkaisumenetelmät. - M . : Factorial Press, 2000. - 384 s. - ISBN 5-88688-046-1 .