Fredholm integraalioperaattori

Fredholm - integraalioperaattori on muodon täysin jatkuva lineaarinen integraalioperaattori

(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,

kartoitetaan yksi funktiotila toiseen . Tässä on alue euklidisessa avaruudessa , on funktio, joka on määritelty suorakulmaisessa neliössä , jota kutsutaan integraalioperaattorin ytimeksi [1] . Operaattorin täydellisen jatkuvuuden varmistamiseksi ytimelle on asetettu lisärajoituksia . Useimmiten huomioidaan jatkuvat ytimet [2] , -ytimet [3] [4] ja myös polaariytimet [2] [5] . Fredholmin integraaliyhtälön ratkaisemisessa käytetään Fredholmin integraalioperaattoria ja sen ominaisuuksia . $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x,t)$ $G\times G$ $A$ $K(x, y)$ $L_{2}$

Ominaisuudet

Lineaarisuus

Fredholmin integraalioperaattori on lineaarinen eli . $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$

Jatkuvuus

Integraalinen operaattori, jolla on jatkuva [6] -ydin , kartoittaa (ja näin ollen kohtaan ja ) ja on rajoitettu (jatkuva) ja ${\bar {G}}\times {\bar {G}}$ $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G))),

\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

missä

M=\max \limits _{x\in {\bar {G)),\,y\in {\bar {G))}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.

[7] .

Integroitu operaattori -ytimen kanssa: $L_{2}$

\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty

tarkoittaa , on jatkuva ja täyttää arvion: $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.

[1] [8]

Integraalisille operaattoreille on jatkuvuusehdot välillä - . [9] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Melkoista jatkuvuutta

Integraalioperaattori, jolla on jatkuva ydin , on täysin jatkuva välillä - , eli se ottaa minkä tahansa joukon , joka on rajoitettu joukkoon , joka on esitiivistetty kohdassa [10] . Täysin jatkuvat operaattorit ovat merkittäviä siinä mielessä, että Fredholmin vaihtoehto pätee niihin . Integraalioperaattori, jolla on jatkuva ydin, on rajana joukolle äärellisulotteisia operaattoreita, joilla on rappeutuneita ytimiä. Samanlaiset väitteet pätevät integraalioperaattorille, jossa on -ydin. [yksitoista] $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_{2}$

Integraalioperaattorin täydelliselle jatkuvuudelle (tiiviydelle) välillä on myös heikommat riittävät ehdot . [12] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Liitännäisoperaattori

Hilbert-avaruudessa -ytimen sisältävän operaattorin adjoint -operaattorilla on muoto $A$ $L_{2}$ $L_2(G)$

(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)))f(y)\,dy.

Jos , niin Fredholmin integraalioperaattori on itseadjoint [1] [11] $K(x,y)={\overline {K(y,x)))$ $A$

Käänteinen operaattori

Riittävän pienille arvoille operaattorilla (missä on identiteettioperaattori ) on käänteinen muoto , missä on Fredholmin integraalioperaattori ytimen kanssa , ytimen solventti [13] . $|\lambda|$ $I-\lambda A$ $minä$ $I+\lambda R$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $K(x, y)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Khvedelidze, 1979 .
↑ 1 2 Vladimirov, 1981 , luku IV.
↑ Tricomi, 1960 .
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , luku IX.
↑ Manžirov, Polyanin, 2000 .
↑ - alueen sulkeminen $\baari G$ $G$
↑ Vladimirov, 1981 , s. 272.
↑ Tricomi, 1960 , § 1.6.
↑ Manžirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-1.
↑ Vladimirov, 1981 , § 19.
↑ 1 2 Kolmogorov, Fomin, 1976 , luku IX, § 2.
↑ Manžirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-2.
↑ Vladimirov, 1981 , § 17.

Kirjallisuus

Khvedelidze B. V. . Integraalioperaattori // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Vladimirov V.S. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. 4. painos - M . : Nauka, Ch. toim. Fys.-Math. kirjallisuus, 1981. - 512 s.
Tricomi F. Integraaliyhtälöt. Per. englannista .. - M . : Izd-vo inostr. kirjallisuus, 1960.
Manžirov A. V., Polyanin A. D. . Integraaliyhtälöiden käsikirja: Ratkaisumenetelmät. - M . : Factorial Press, 2000. - 384 s. - ISBN 5-88688-046-1 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. . Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. — Tiede, Ch. toim. Fys.-Math. litraa. - M. , 1976.