Kokonaislukufunktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 31. heinäkuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Kokonainen funktio on funktio, joka on säännöllinen koko kompleksitasolla . Tyypillinen esimerkki koko funktiosta on polynomi tai eksponentti sekä näiden funktioiden summat, tulot ja superpositiot. Koko funktion Taylor-sarja konvergoi kompleksimuuttujan koko tasossa. Logaritmi , neliöjuuri eivät ole kokonaislukufunktioita.

Huomaa, että koko funktiolla voi olla singulaarisuus (mukaan lukien jopa oleellinen singulaarisuus ) äärettömässä. Kuten Liouvillen lauseesta seuraa , funktion, jolla ei ole singulaarisia pisteitä koko laajennetussa kompleksitasossa, on oltava vakio (tätä ominaisuutta voidaan käyttää algebran peruslauseen todistamiseen tyylikkäällä tavalla ).

Koko funktion, jonka napa on äärettömässä, on oltava polynomi. Siten kaikilla kokonaisilla funktioilla, jotka eivät ole polynomeja (erityisesti identtisesti vakioita), on olennaisesti singulaarinen piste äärettömässä. Tällaisia toimintoja kutsutaan transsendentaalisiksi kokonaisfunktioiksi.

Picardin pieni lause vahvistaa merkittävästi Liouvillen lausetta: kokonainen funktio, joka ei ole identtisesti vakio, saa kaikki kompleksiset arvot, paitsi mahdollisesti yksi. Esimerkki on eksponentiaalinen funktio, joka ottaa arvoiksi kaikki kompleksiluvut nollaa lukuun ottamatta.

J. Littlewood esittää yhdessä kirjassaan Weierstrassin sigmafunktion "tyypillisenä" esimerkkinä koko funktiosta.

Useiden monimutkaisten muuttujien tapaus

Kokonainen toiminto voidaan ottaa huomioon . olkoon moniindeksi , _ $\mathbb {C} ^{n}$ $k$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$

Sarjojen konvergenssin käsite

$\sum _{|k|=0}^{\infty }a_{k}z^{k}(*)$

riippuu termien laskemistavasta, joten tämän sarjan konvergenssista puhuttaessa tarkoitamme absoluuttista lähentymistä : $\sum _{|k|=0}^{\infty }|a_{k}||z^{k}|<\infty$

Siten, jos sarja (*) konvergoi arvoon , tämän sarjan edustamaa funktiota kutsutaan kokonaiseksi. $\mathbb {C} ^{n}$

Hajoaminen äärettömäksi tuotteeksi

Aivan kuten meromorfisia funktioita voidaan pitää rationaalisten murtolukujen yleistyksenä, kokonaisia funktioita voidaan pitää polynomien yleistyksenä. Erityisesti, jos meromorfisille funktioille voidaan yleistää hajottaminen yksinkertaisiin murtolukuihin ( Mittag-Leffler-lause meromorfisen funktion hajottelusta ), niin kokonaisille funktioille on yleistys tekijöille - Weierstrassin lause kokonaisille funktioille .

Kokonaisten funktioiden tila

Kaikki kokonaiset funktiot muodostavat lineaarisen avaruuden . Kokonaisten funktioiden tilaa merkitään (sanasta whole ) ja tapaukselle . $E$ $E_{n}$ ${\displaystyle C^{n))$

(Uudemmassa kirjallisuudessa kokonaisten funktioiden tila on merkitty $H$ )

Koko funktion järjestys

Päästää $M(r)=\max _{|z|=r}\left|f(z)\right|$

Koko funktiota kutsutaan äärellisen järjestyksen kokonaiseksi funktioksi, jos on olemassa sellainen, että asymptoottinen epäyhtälö (*) $f(x)$ $\mu>0$ $M(r)<\exp(r^{\mu })$

Koko funktion järjestys on numero $f(z)$ $\rho \geq 0:$ ${\displaystyle \rho =\inf \left\{\mu \right\))$

Koko funktiolle, jolla on äärellinen järjestys ja suku , seuraava suhde on tosi: . Itse asiassa yhden ominaisuuden äärellisyys merkitsee toisenkin äärellisyyttä. $s$ $q$ $p\leq q\leq p+1$

Koko funktion tyyppi

Kokonainen funktio on äärellistä tyyppiä järjestyksessä if , mikä $f(z)$ $\rho$ $\exists a>0$

M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho ))

Koko toiminnon tyyppi tilattaessa on numero : $f(z)$ $\rho$ $\sigma \geq 0$

\sigma =\inf \left\{a>0:M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho }}\right\}

määritelmästä seuraa, että:

\sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.

Jos tietylle tyypille on ääretön, niin sanomme, että maksimityyppi. $0<\rho <\infty$ $f(z)$ $f(z)$
Jos , niin on normaalia tyyppiä. $0<\sigma <\infty$ $f(z)$
Jos , niin on minimaalista tyyppiä. $\sigma=0$ $f(z)$

Kokonainen eksponentiaalinen funktio

Järjestyksen ja normaalityypin kokonaista funktiota kutsutaan eksponentiaalityypin kokonaiseksi funktioksi. $\rho=1$

Tila e.f.e.t. kutsutaan usein nimellä . $P$

Boreliin liittyvä toiminto

Anna c.f.e.t. esitetään muodossa:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!)}}z^{k}

Jokainen c.f.e.t. toiminto on määritetty:

{\displaystyle \gamma (t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{t^{k+1))))

funktiota kutsutaan Borel-assosioituneeksi. Tämä sarja konvergoi kohdassa , ja rajalla on ainakin yksi funktion singulaarisuus ${\näyttötyyli \gamma (z)}$ $|t|>\sigma$ $\gamma (t)$