Luokkien vastaavuus

Kategorioiden vastaavuus luokkateoriassa on kategorioiden välinen suhde, joka osoittaa, että kaksi luokkaa ovat "olennaisesti samat". Ekvivalenssin vahvistaminen todistaa vastaavien matemaattisten käsitteiden syvästä yhteydestä ja mahdollistaa lauseiden "siirtämisen" rakenteesta toiseen.

Määritelmä

Kahden kategorian C ja D osalta niiden ekvivalenssi on annettu, jos annetaan funktori F : C → D , funktori G : D → C ja kaksi luonnollista isomorfismia ε: FG → I D ja η : I C → GF . Tässä I C : C → C ja I D : D → D ovat identtisiä funktioita C :llä ja D :llä vastaavasti. Jos F ja G ovat kontravarianttifunktioita, tämä määrittelee kategorioiden kaksinaisuuden .

Vastaavat formulaatiot

Voidaan osoittaa, että funktionaali F : C → D määrittelee luokkaekvivalenssin silloin ja vain, jos se:

melko ainutlaatuinen ja
on tiheä, eli minkä tahansa luokan D alkion d isomorfismiluokassa on objekti, jolla on esikuva C :ssä F :n vaikutuksesta .

Tämä on yleisimmin käytetty kriteeri, koska se ei vaadi eksplisiittistä "käänteisen" funktorin ja kahden luonnollisen muunnoksen rakentamista. Toisaalta, vaikka yllä oleva ominaisuus takaa vastaavuuden olemassaolon, osa tiedoista katoaa, koska joskus vastaavuus voidaan tehdä eri tavoin. Siksi funktoria F , jolla on tällaisia ominaisuuksia, kutsutaan joskus heikon kategorian ekvivalenssiksi .

Toisessa formulaatiossa käytetään adjungoivien funktioiden käsitettä : F ja G määrittävät kategorioiden ekvivalenssin, jos ja vain jos ne ovat molemmat täysin univalentteja ja ovat adjointteja.

Esimerkkejä

Yhden objektin kategorian ja yhden morfismin ja kahden objektin kategorian ja neljän morfismin välillä: kaksi identtistä , ja kaksi isomorfismia , voit määrittää vastaavuuden, esimerkiksi ota , lähetä ja , lähetä kaikki osoitteeseen . Kuitenkin esimerkiksi luokka ei vastaa kahden objektin ja kahden identtisen morfismin luokkaa. $C$ $c$ $1_{c}$ $D$ ${\näyttötyyli d_{1))$ ${\näyttötyyli d_{2))$ ${\näyttötyyli 1_{p_{1))}$ ${\näyttötyyli 1_{p_{2))}$ ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2))$ ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1))$ $F$ $c$ ${\näyttötyyli d_{1))$ $G$ $D$ $c$ $C$
Olkoon luokka koostuva yhdestä objektista ja kahdesta morfismista , jossa . Sitten määrittelee luonnollisen isomorfismin itsensä kanssa (ei-triviaali, koska se vaikuttaa morfismeihin ei-identtisellä tavalla). $C$ $c$ $1_{c},f\colon c\to c$ $f\circ f=1$ $f$ $\mathbf {I} _{C}$
Ääriulotteisten reaalivektoriavaruuksien luokka ja luokka (oliot ovat luonnollisia lukuja, morfismit vastaavan ulottuvuuden matriiseja) ovat ekvivalentteja: funktori antaa vektoriavaruudelle sen dimension (joka vastaa kunkin kantaavaruuden valintaa). $C$ $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ $F\colon C\to D$
Eräs algebrallisen geometrian keskeisistä teemoista on affiinikaavioiden ja kommutatiivisten renkaiden kategorioiden kaksinaisuus . Vastaava funktori lähettää renkaan spektriinsä, alkuideaalien muodostamaan kaavaan .

Ominaisuudet

Luokkaekvivalenssilla kaikki "kategoriset" ominaisuudet säilyvät: esimerkiksi ominaisuus olla alkuobjekti , monomorfismi , raja tai luokan ominaisuus olla topos .

Jos F : C → D on kategorioiden ekvivalenssi ja G 1 , G 2 ovat "käänteisiä" F :lle , niin G 1 ja G 2 ovat luonnostaan isomorfisia.

Kirjallisuus

Luokkien vastaavuus - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista
McLane S. Luku 4. Liitännäisfunktiot // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .