Eremiittinen muoto

Hermiittinen muoto on luonnollinen analogi symmetrisen bilineaarisen muodon käsitteelle kompleksisille vektoriavaruuksille. Hermiittisten muotojen kohdalla symmetristen muotojen monien ominaisuuksien analogit pitävät paikkansa: pelkistys kanoniseen muotoon, positiivisen määrittelyn käsite ja Sylvesterin kriteeri [1] .

Määritelmä

Hermiittinen muoto on seskvilineaarinen muoto kahdessa vektoriavaruuden vektorissa kentän yläpuolella , jolla on arvot tässä kentässä ja jolla on symmetriaominaisuus [1] : $f(x,y)$ $V$ $\mathbb {C}$

f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.

Siten täydellinen ehtojoukko, joka määrittelee hermiittisen muodon, on seuraava:

$f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\ \ \forall x_{i},y\in V ,$
$f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$
$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} ,$
$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$

Ominaisuudet

Eremiittisen symmetrian ehdosta seuraa välittömästi se tosiasia, että määrä on todellinen . Tässä tapauksessa (reaaliarvoisen) funktion kompleksisessa vektoriavaruudessa V sanotaan olevan neliöhermiittinen . On myös käänteinen tosiasia, joka voidaan muotoilla kriteeriksi sille, että sesquilineaarinen muoto on hermiittinen: $f(x,x)$ $\phi (x)=f(x,x)$

Lause [1] . Seskvilineaarinen muoto on hermiittinen silloin ja vain, jos siihen liittyvä funktio saa vain reaaliarvoja. $f(x,y)$ $\phi(x)$

Jos lisäehto täyttyy

f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0

Hermiittistä muotoa f(x,y) ja neliöhermiittistä funktiota kutsutaan positiiviseksi definiitiksi . $\phi(x)$

Kirjallisuus

Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta, Moskova: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. VI, § 6.3. - M.: Fizmatlit, 2009.