Arnold-kielet - dynaamisten järjestelmien teoriassa kiertoluvun rationaalisuusalue ympyrän kaksiparametrisessa homeomorfismien perheessä , alkaen (yhden parametrin nolla-arvosta) puhtaista kierroksista.
Harkitse ympyrän homeomorfismien perhettä
Tälle perheelle voidaan harkita funktiota , joka antaa parametreille vastaavan homeomorfismin kiertonumeron. Pisteiden joukot, joissa se ottaa rationaaliset arvot,
ja niitä kutsutaan Arnold-kieliksi .
Kun näyttöä käännetään kulman verran . Vastaavasti , ja rationaalinen arvo otetaan vain vastaavassa pisteessä
Päinvastoin, mielivaltaisen pienelle kullekin , leikkaus vaakasuuntaisen segmentin kanssa osoittautuu segmentiksi. Tämä johtuu siitä, kuten Poincarén lause toteaa , että kiertoluku on rationaalinen nimittäjällä q silloin ja vain, jos kuvauksella on kiinteä piste. Vastaavasti, koska perhe on yksitoikkoinen minkä tahansa kiinteän arvon suhteen, havaitaan haarautumien sarja, jossa :
Ainoa mahdollinen analyyttisen diffeomorfismin käyttäytyminen, jossa yllä kuvattu skenaario ei päde, on äärellisen järjestyksen diffeomorfismi: jos joillekin kuvaus on identtinen, niin vastaava koostuu yhdestä pisteestä . Monimutkaisen analyysin pohdinnat osoittavat kuitenkin helposti, että näin ei tapahdu yllä mainitulle perheelle.
Yhteenvetona kaikesta yllä olevasta näemme, että joukko on eräänlainen "kieli", "kasvava" pisteestä ja jota rajoittaa kaksi jatkuvaa käyrää.
Denjoyn teoreemaa ja monotonisuusnäkökohtia käyttämällä on myös helppo nähdä, että minkä tahansa irrationaalisen joukon kohdalla on jatkuva käyrä, joka alkaa pisteestä .
On syytä huomata, että mille tahansa kiinteälle kiertonumerolle parametrin funktiona on Cantor-tikkaat. Kuitenkin toisin kuin tavallinen Cantor-tikapuun rakenne, sen kasvupisteiden Cantor-joukolla (irrationaalisia kiertolukuja vastaavan parametrijoukon sulkeminen ) osoittautuu olevan positiivinen Lebesgue-mitta .