Peanon aksioomit

Peanon aksioomit ovat yksi luonnollisten lukujen aksioomajärjestelmistä , jonka italialainen matemaatikko Giuseppe Peano esitteli vuonna 1889 .

Peanon aksioomit mahdollistivat aritmeettisen formalisoinnin , monien luonnollisten ja kokonaislukujen ominaisuuksien todistamisen ja myös kokonaislukujen käyttämisen rationaalisten ja reaalilukujen muodollisten teorioiden rakentamiseen . Lyhennettynä Peanon aksioomia on käytetty useissa metamatemaattisissa kehityshankkeissa, mukaan lukien lukuteorian johdonmukaisuutta ja täydellisyyttä koskevien perustavanlaatuisten kysymysten ratkaiseminen .

Peano olettanut alun perin yhdeksän aksioomaa. Ensimmäinen väittää, että numerojoukossa on ainakin yksi elementti. Seuraavat neljä ovat yleisiä tasa -arvoa koskevia väitteitä , jotka heijastavat aksiomaatiikan sisäistä logiikkaa ja suljetaan pois nykyaikaisesta aksioomien koostumuksesta ilmeisenä. Seuraavat kolme ovat aksioomia ensimmäisen kertaluvun logiikan kielellä luonnollisten lukujen ilmaisemisesta seurausfunktion perusominaisuudella . Toisen asteen logiikan kielen yhdeksäs ja viimeinen aksiooma koskee matemaattisen induktion periaatetta luonnollisten lukujen sarjassa. Peano-aritmetiikka on järjestelmä, joka saadaan korvaamalla induktion aksiooma aksioomajärjestelmällä ensimmäisen asteen logiikan kielellä ja lisäämällä symboleja yhteen- ja kertolaskuoperaatioille.

Formulaatiot

Sanallinen

1 on luonnollinen luku;
Luonnollista seuraava luku on myös luonnollinen;
1 ei seuraa mitään luonnollista lukua;
Jos luonnollinen luku seuraa suoraan sekä numeroa että numeroa , niin ja ovat identtisiä; $a$ $b$ $c$ $b$ $c$
( Induktion aksiooma .) Jos mikä tahansa oletus todistetaan luvulle 1 (induktiokanta) ja jos olettamuksesta, että se on totta luonnolliselle luvulle seuraa, että se on totta seuraavalle luonnolliselle luvulle (induktiivinen oletus), niin tämä oletus pätee kaikki luonnolliset luvut. $n$ $n$

Matemaattinen

Matemaattinen muotoilu käyttää follow-funktiota , joka sovittaa luvun sitä seuraavaan numeroon. $S(x)$ $x$

$1\in\mathbb{N}$ ;
$x\in {\mathbb {N}}\Rightarrow S(x)\in {\mathbb {N}}$ ;
${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )))$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$ ;
${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\iso )))$ .

Toinen kirjoitusmuoto on myös mahdollinen:

$1\in\mathbb{N}$ ;
$S\colon {\mathbb {N}}\to {\mathbb {N}}\setminus \{1\}$ ;
$\olemassa S^{{-1}}$ ;
$1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \ osajoukko M$ .

Viimeinen väite voidaan muotoilla seuraavasti: jos tietty väite on tosi (induktion perusta) ja jollekin pätevyydestä seuraa ja (induktiivinen oletus), niin se on totta mille tahansa luonnolliselle . $P$ $n = 1$ $n$ $P(n)$ $P(S(n))$ $P(n)$ $n$

Aritmetiikan formalisointi

Aritmetiikan formalisointi sisältää Peanon aksioomat ja esittelee myös yhteen- ja kertolaskuoperaatiot seuraavilla aksioomeilla:

$x+1=S(x)$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
${\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1))$ .

Tietoja epätäydellisyydestä

Kuten Gödelin epätäydellisyyslause antaa ymmärtää , luonnollisista luvuista on väitteitä, joita ei voida todistaa eikä kumota Peanon aksioomien perusteella. Joillakin näistä väitteistä on melko yksinkertainen muotoilu, kuten Goodsteinin lause tai Paris-Harringtonin lause .

Kategorinen

Perusasia on, että nämä aksioomit määrittävät olennaisesti yksiselitteisesti luonnolliset luvut (Peanon aksioomijärjestelmän kategorisuus). Voidaan nimittäin todistaa (katso [1] sekä lyhyt todiste [2] ), että jos ja on kaksi mallia Peanon aksioomien järjestelmälle, niin ne ovat välttämättä isomorfisia , eli on olemassa käännettävä kuvaus ( bijektio ) sellaisenaan ja kaikille . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Siksi riittää , että määritetään luonnollisten lukujen joukon tiettynä mallina. $\mathbb {N}$

Esimerkiksi induktion aksioomasta seuraa, että on mahdollista siirtyä mihin tahansa luonnolliseen numeroon alkaen äärellisessä määrässä askelia (funktiolla ). Todistukseksi valitsemme predikaatiksi juuri lauseen " numeroon voidaan siirtyä äärellisessä määrässä askeleita käyttämällä funktiota ". Oikein . Tämä on myös totta , koska se voidaan saada operaatiosta yhdellä sovelluksella numeroon, joka oletuksena voidaan saada äärellisen sovellusmäärän jälkeen . Induktion aksiooman mukaan . $yksi$ $S$ $P(n)$ $n$ $yksi$ $S$ $P(1)$ ${\displaystyle {\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )))$ $S(n)$ $n$ $S$ $P(n)$ $yksi$ $S$ $\forall n(P(n))$

Historia

Aritmetiikan formalisointitarve otettiin vakavasti vasta Hermann Grassmannin teoksessa , joka osoitti 1860-luvulla, että monet aritmeettiset tosiasiat voidaan määrittää alkeellisemmista faktoista implikaatiofunktiosta ja matemaattisesta induktiosta. Vuonna 1881 Charles Sanders Peirce julkaisi luonnollisten lukujen aritmeettisen aksiomatisoinnin. Italialainen matemaatikko Peano muotoili luonnollisten lukujen muodollisen määritelmän vuonna 1889 Grassmannin aikaisempien rakenteiden pohjalta kirjassaan The Funds of Arithmetic, Stated in a New Way ( lat. Arithmetices principia, nova methodo exposita ). Vuonna 1888 (vuosi ennen Peanoa) Dedekind [3] julkaisi lähes täsmälleen samanlaisen aksiomaattisen järjestelmän . Gentzen osoitti vuonna aritmeettisen johdonmukaisuuden transfiniittisellä induktiolla . Kuten Gödelin toisesta epätäydellisyyslauseesta seuraa , tätä todistusta ei voida suorittaa itse Peanon aritmetiikalla. $\epsilon_{0}.$

Muistiinpanot

↑ Feferman S. Numeeriset järjestelmät. Algebran ja analyysin perusteet. - 1971. - 445 s.
↑ Todiste luonnollisten lukujen ainutlaatuisuudesta . Käyttöpäivä: 4. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 22. elokuuta 2011. (määrätön)
↑ N. Bourbaki . Matematiikan perusteet. Logiikka. Joukkoteoria // Esseitä matematiikan historiasta / I. G. Bashmakova (käännetty ranskasta). - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963. - S. 37. - 292 s. — (Matematiikan elementit).

Kirjallisuus

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita . Bocca, Torino, 1889.
Peano, G. Mathematiques kaava. Tome II - nro 2. Bocca, Torino, 1897.
Arnold IV Teoreettinen aritmetiikka . M.: Uchpedgiz, 1938.