Joukkojen algebra

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26.5.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Joukkoteorian joukkojen algebra on ei-tyhjä joukon osajoukkojen järjestelmä , joka on suljettu yhteenlasku- (ero-) ja liitos- (summa) -operaatioilla . $X$

Määritelmä

Joukon osajoukkojen perhettä (tässä boolean ) kutsutaan algebraksi, jos se täyttää seuraavat ominaisuudet: ${\mathfrak {A}}\subset 2^{{X}}$ $X$ $2^{{X}}$

$\varnothing \in {\mathfrak {A}).$
Jos joukko on , niin sen komplementti $A\in {\mathfrak {A}}$ $X\setminus A\in {\mathfrak {A}).$
Myös kahden joukon liitto kuuluu $A,B\in {\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}).$

Muistiinpanot

Määritelmän mukaan, jos algebra sisältää joukon , se sisältää myös sen komplementin. Liitto sen täydennyksellä on alkuperäinen sarja . Joukon komplementti on tyhjä joukko. Tämä tarkoittaa, että joukko ja tyhjä joukko sisältyvät määritelmän mukaan algebraan. $A$ $A$ $X$ $X$ $X$
Joukkooperaatioiden ominaisuuksista johtuen joukkojen algebra on myös suljettu leikkauspisteen ja symmetrisen eron suhteen .
Joukkoalgebra on yksikköalgebran erikoistapaus , jossa "kerto - operaatio " on joukkojen leikkauspiste ja "lisäys"-operaatio on symmetrinen ero.
Jos alkuperäinen joukko on alkeistapahtumien avaruus , niin algebraa kutsutaan tapahtumien algebraksi - todennäköisyysteorian ja siihen liittyvien matemaattisten tieteenalojen avainkäsitteeksi , jolla on ainutlaatuinen tulkinta ja jolla on itsenäinen rooli matematiikassa. $X$ ${\mathfrak {A}}$

Tapahtumien algebra

Tapahtumien algebra ( todennäköisyysteoriassa ) on alkeistapahtumien avaruuden osajoukkojen algebra , jonka elementit ovat alkeistapahtumia . $\Omega$

Kuten joukkoalgebralle kuuluu, tapahtumien algebra sisältää mahdottoman tapahtuman ( tyhjän joukon ) ja on suljettu joukkoteoreettisilla operaatioilla , jotka suoritetaan äärelliselle määrälle joukkoja. Riittää, kun edellytetään, että tapahtumien algebra suljetaan kahdella operaatiolla, esimerkiksi leikkaus ja komplementti , josta seuraa välittömästi, että se on suljettu minkä tahansa muun joukkoteoreettisen operaation yhteydessä. Tapahtumaalgebraa , joka on suljettu suhteessa joukkoteoreettisiin operaatioihin, jotka suoritetaan laskettavalla määrällä joukkoja, kutsutaan tapahtumien sigma-algebraksi .

Todennäköisyysteoriassa esiintyy seuraavat tapahtumien algebrat ja sigma-algebrat:

äärellisten osajoukkojen algebra ; $\Omega$
laskettavien osajoukkojen sigma-algebra ; $\Omega$
Välien äärellisistä liitoista muodostuva osajoukkoalgebra ; ${{\mathbb {R}}}^{n}$
topologisen avaruuden Borel-osajoukkojen sigma-algebra , eli pienin sigma-algebra, joka sisältää kaikki avoimet osajoukot ; $\Omega$ $\Omega$
funktioavaruudessa olevien sylinterien algebra ja niiden muodostama sigma-algebra.

Tapahtumaa tai , joka koostuu siitä, että ainakin toinen kahdesta tapahtumasta tapahtuu, kutsutaan tapahtumien summaksi ja . $A+B$ $A\kuppi B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Todennäköisyysavaruus on tapahtumien algebra, jolla on annettu todennäköisyysfunktio , eli sigma-additiivinen äärellinen mitta , jonka toimialue on tapahtumien algebra, jossa . $\mathbb {P}$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

Mikä tahansa tapahtumien algebran sigma-additiivinen todennäköisyys ulottuu yksiselitteisesti sigma-additiiviseen todennäköisyyteen, joka on määritelty tapahtuman tietyn tapahtumaalgebran muodostamassa sigma- algebrassa .

Katso myös

Kirjallisuus

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 544 s.