Äärettömän pieni ja äärettömän suuri

Äärettömän pieni - numeerinen funktio tai sekvenssi , joka pyrkii ( jonka raja on yhtä suuri kuin) nolla .

Äärettömän suuri - numeerinen funktio tai sekvenssi, joka pyrkii (jonka raja on) tietyn merkin äärettömyyteen .

Epästandardissa analyysissä infinitesimaalit ja infinitesimaalit määritellään ei sekvensseiksi tai muuttujiksi, vaan erityisiksi luvuiksi.

Infinitesimaalien ja suurten laskenta

Äärettömän simaalilasku - äärettömällä pienellä suurella suoritettavat laskelmat, joissa johdettua tulosta pidetään äärettömänä summana äärettömän simaalit. Infinitesimaalien laskenta on yleinen käsite differentiaali- ja integraalilaskennasta , jotka muodostavat modernin korkeamman matematiikan perustan . Äärettömän pienen suuren käsite liittyy läheisesti rajan käsitteeseen.

Äärettömän pieni

Jaksoa kutsutaan äärettömäksi , jos . Esimerkiksi lukujono on äärettömän pieni. $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ $a_{n}={\dfrac {1}{n}}$

Funktiota kutsutaan infinitesimaaliksi pisteen läheisyydessä, jos . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=0$

Funktiota sanotaan äärettömäksi äärettömäksi, jos jompikumpi . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=0$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=0$

Myös äärettömän pieni on funktio, joka on funktion ja sen rajan välinen ero, eli jos , niin , . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=a$ $f(x)-a=\alpha (x)$ $\lim \limits _{{x\to +\infty }}(f(x)-a)=0$

Korostamme, että äärettömän pieni arvo tulee ymmärtää muuttuvana arvona (funktiona), joka vasta muuttuessaan [pyrkiessään kohtaan (alkaen )] tulee pienemmäksi kuin mielivaltainen luku ( ). Siksi esimerkiksi väite kuten "miljoonasosa on äärettömän pieni arvo" ei pidä paikkaansa: ei ole mitään järkeä sanoa luvusta [absoluuttisesta arvosta], että se on äärettömän pieni. [yksi] $x$ $a$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=0$ $\varepsilon$

Äärettömän suuri

Kaikissa alla olevissa kaavoissa ääretön tasa-arvon oikealla puolella tarkoittaa tiettyä merkkiä (joko "plus" tai "miinus"). Eli esimerkiksi funktio , joka on rajaton molemmilla puolilla, ei ole äärettömän suuri . $x\sin x$ $x\to +\infty$

Jaksoa kutsutaan äärettömän suureksi , jos . $a_n$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty$

Toiminnon sanotaan olevan äärettömän suuri pisteen läheisyydessä, jos . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=\infty$

Funktion sanotaan olevan äärettömän suuri äärettömässä, jos jompikumpi . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=\infty$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=\infty$

Kuten infinitesimaalien tapauksessa, on huomattava, että äärettömän suuren määrän yksittäistä arvoa ei voida kutsua "äärettömäksi suureksi" - äärettömän suuri määrä on funktio , joka voi tulla suuremmaksi kuin mielivaltaisesti otettu luku vain sen prosessissa. muuttaa .

Infinitesimaalien ominaisuudet

Äärillisen määrän äärettömän pienten funktioiden algebrallinen summa on äärettömän pieni funktio.
Infinitesimaalien tulo on äärettömän pieni.
Äärettömän pienen sekvenssin tulo rajoitetulla on äärettömän pieni. Seurauksena on, että infinitesimaalin tulo vakiolla on äärettömän pieni.
If on äärettömän pieni merkkijono, niin se on äärettömän suuri sekvenssi. $a_n$ $b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}$

Infinitesimaalien vertailu

Määritelmät

Oletetaan, että meillä on infinitesimaali samalle arvolle ja (tai, mikä ei ole tärkeää määritelmän kannalta, infinitesimaaliset sekvenssit). $x\to a$ $\alpha(x)$ $\beta(x)$

Jos , niin on infinitesimal korkeampi kertaluokka pienuuden kuin . Nimeä tai . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$ $\beeta$ $\alpha$ $\beta =o(\alpha )$ $\beta\pre\alpha$
Jos , niin on infinitesimaali pienempi kertaluvun pienuus kuin . Vastaavasti tai . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$ $\beeta$ $\alpha$ $\alpha =o(\beta )$ $\alpha\prec\beta$
Jos (raja on äärellinen eikä yhtä suuri kuin 0), niin ja ovat äärettömän pieniä määriä , jotka ovat samaa pienuusluokkaa . Tätä kutsutaan relaatioiden ja -suhteiden samanaikaiseksi suorittamiseksi . On huomattava, että joissakin lähteissä voi kohdata nimitystä, kun tilausten samanlaisuus on kirjoitettu vain yhden suhteen muodossa "big o", joka on tämän symbolin vapaa käyttö. $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ $\alpha$ $\beeta$ $\alpha\asymp\beta$ $\beta =O(\alpha )$ $\alpha =O(\beta )$
Jos (raja on äärellinen eikä yhtä suuri kuin 0), niin äärettömän pienellä suurella on pienuuden :s kertaluku suhteessa äärettömään pieneen määrään . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c$ $\beeta$ $m$ $\alpha$

Tällaisten rajojen laskemiseen on kätevää käyttää L'Hospitalin sääntöä .

Vertailuesimerkkejä

Sillä arvolla on korkein pienuus suhteessa , koska . Toisaalta, sillä on pienin pienuus suhteessa , koska . ${x\to 0}$ $x^{5}$ $x^{3}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ $x^{3}$ $x^{5}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$

O - symboleilla saadut tulokset voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon .

x^{5}=o(x^{3})

$\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x+6 }{1}}=\lim \limits _{{x\to 0}}(2x+6)=6,$ eli funktioille ja ovat äärettömän pieniä määriä samaa kertaluokkaa. $x\-0$ $f(x)=2x^{2}+6x$ $g(x)=x$

Tässä tapauksessa merkinnät ja

2x^{2}+6x=O(x)

x=O(2x^{2}+6x).

Klo , Infinitesimal määrä on kolmannen kertaluvun pienuus suhteessa , Koska , Infinitesimal on toisen asteen, infinitesimal on suuruusluokkaa 0,5. ${x\to 0}$ $2x^{3}$ $x$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ $0{,}7x^{2}$ $\sqrt{x}$

Vastaavat arvot

Määritelmä

Jos , niin äärettömän pieniä tai äärettömän suuria määriä ja niitä kutsutaan vastaaviksi (merkitty nimellä ). $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1$ $\alpha$ $\beeta$ $\alpha \paksuus \beta$

Ilmeisesti ekvivalentit suuret ovat erikoistapaus äärettömän pienistä (äärettömän suurista) määristä, jotka ovat samaa pienuusluokkaa.

Sille , seuraavat ekvivalenssisuhteet pätevät (ns. merkittävien rajojen seurauksena ): $\alpha (x){\xnuoli oikealle[ {x\to x_{0}}]{}}0$

$\sin \alpha (x)\paksuus \alpha (x);$
${\mathrm {tg}}\,\alpha (x)\paksuus \alpha (x);$
$\arcsin {\alpha (x)}\paksuus \alpha (x);$
${\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)$
${\mathrm {arctg}}\,\alpha (x)\paksuus \alpha (x);$
$\log _{a}(1+\alpha (x))\paksuus \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a))}$ , missä , ; $a>0$ $a\neq 1$
$\ln(1+\alpha (x))\paksuus \alpha (x);$
$a^{{\alpha (x)}}-1\paksuus \alpha (x)\cdot \ln {a}$ , missä ; $a>0$
$e^{{\alpha (x)}}-1\paksuus \alpha (x);$
$1-\cos {\alpha (x)}\paksuus {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2));$
$(1+\alpha (x))^{\mu }-1\paksuus \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb{R}$ , joten käytä ilmaisua:

{\sqrt[ {n}]{1+\alpha (x)))\noin {\frac {\alpha (x)}{n))+1

, missä .

\alpha (x){\xnuoli oikealle[ {x\to x_{0}}]{}}0

Lause

Kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren suuren osamäärän (suhteen) raja ei muutu, jos toinen niistä (tai molemmat) korvataan vastaavalla arvolla .

Tällä lauseella on käytännön merkitys rajojen löytämisessä (katso esimerkki).

Käyttöesimerkkejä

löytö $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Korvaamalla vastaavalla arvolla saamme

\sin 2x

2x

\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x}{x}}= 2.

löytö $\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).$

Siitä lähtien kun olemme saaneet

\sin(4\cos x)\paksuus {4\cos x}

x\to {\dfrac {\pi }{2}}

\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits _{{ x\to {\frac {\pi }{2}}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.

Laske . ${\sqrt {1{,}2}}$

Käyttämällä kaavaa :, laskinta käytettäessä (tarkemmat laskelmat), saimme:, joten virhe oli 0,005 (alle 1 %), eli menetelmä on yksinkertaisuutensa vuoksi hyödyllinen aritmeettisen karkean arvion kanssa. juuret lähellä yhtä.

{\sqrt {1{,}2}}\noin 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

{\sqrt {1{,}2}}\noin 1{,}095

Historia

Käsitettä "ääretön pieni" keskusteltiin muinaisina aikoina jakamattomien atomien käsitteen yhteydessä, mutta se ei tullut klassiseen matematiikkaan. Se herätettiin uudelleen henkiin, kun 1500-luvulla ilmestyi "jakamattomien menetelmä" - tutkittava hahmo jaettiin äärettömän pieniin osiin.

Infinitesimaalilaskennan algebrasointi tapahtui 1600-luvulla. Ne alettiin määritellä numeerisiksi arvoiksi, jotka ovat pienempiä kuin mikä tahansa äärellinen (positiivinen) arvo eivätkä silti ole nolla. Analyysin taito koostui infinitesimaalien ( differentiaalien ) sisältävän suhteen laatimisesta ja sitten sen integroimisesta .

Vanhan koulun matemaatikot arvostelivat ankarasti infinitesimaalien käsitettä. Michel Rolle kirjoitti, että uusi laskenta on " joukko nerokkaita virheitä "; Voltaire huomautti myrkyllisesti, että tämä laskenta on taitoa laskea ja mitata tarkasti asioita, joiden olemassaoloa ei voida todistaa. Jopa Huygens myönsi, ettei hän ymmärtänyt korkeamman asteen differentiaalien merkitystä .

Pariisin tiedeakatemian kiistat analyysin perusteluista muuttuivat niin skandaaliksi, että Akatemia kielsi kerran jäseniään puhumasta tästä aiheesta ollenkaan (tämä koski pääasiassa Rollea ja Varignonia). Vuonna 1706 Rolle perui julkisesti vastalauseensa, mutta keskustelut jatkuivat.

Vuonna 1734 kuuluisa englantilainen filosofi, piispa George Berkeley , julkaisi sensaatiomaisen pamfletin, joka tunnetaan lyhennetyllä otsikolla " Analyytikko ". Sen koko otsikko on: " Epäuskoiselle matemaatikolle osoitettu analyytikko tai päättely, jossa tutkitaan, havaitaanko nykyajan analyysin aihe, periaatteet ja johtopäätökset selvemmin tai johdetaanko ne selkeämmin kuin uskonnolliset sakramentit ja uskonkappaleet ." Analyytikko sisälsi nokkelaa ja monessa suhteessa oikeudenmukaista kritiikkiä äärettömän pienestä laskentatavasta. Berkeley piti analyysimenetelmää logiikan kanssa ristiriidassa ja kirjoitti, että ” oli se kuinka hyödyllinen tahansa, sitä voidaan pitää vain eräänlaisena olettamuksena; näppäryyttä, taidetta tai pikemminkin huijausta, mutta ei tieteellisenä todisteena ." Lainaten Newtonin lausetta nykyisten suureiden kasvusta "niiden syntymän tai katoamisen alussa", Berkeley ironisesti: " nämä eivät ole äärellisiä suureita, eivätkä äärettömän pieniä eivätkä edes mitään. Emmekö voisi kutsua niitä kuolleiden suuruusluokkien haamuiksi?.. Ja kuinka voidaan puhua suhteesta sellaisten asioiden välillä, joilla ei ole suuruutta?.. Sen, joka pystyy sulattamaan toisen tai kolmannen vuon [johdannainen], toisen tai kolmannen eron, ei pitäisi , kuten minusta näyttää, löytää vikaa mistään teologiasta .

Berkeley kirjoittaa, että on mahdotonta kuvitella hetkellistä nopeutta, eli nopeutta tietyssä hetkessä ja tietyssä pisteessä, koska liikkeen käsite sisältää käsitteet (ääretystä nollasta poikkeava) tila ja aika.

Miten analyysi antaa oikeat tulokset? Berkeley tuli siihen tulokseen, että tämä johtuu useista virheistä keskinäisen kompensoinnin analyyttisissä päätelmissä, ja havainnollisti tätä paraabelin esimerkillä. Ironista kyllä, jotkut suuret matemaatikot (kuten Lagrange ) olivat hänen kanssaan samaa mieltä.

Oli paradoksaalinen tilanne, kun matematiikan ankaruus ja hedelmällisyys häiritsivät toisiaan. Huolimatta laittomien toimien käytöstä huonosti määritellyillä käsitteillä, suorien virheiden määrä oli yllättävän pieni - intuitio auttoi. Ja silti koko 1700-luvun matemaattinen analyysi kehittyi nopeasti, eikä sillä ole käytännössä mitään perustetta. Sen tehokkuus oli hämmästyttävä ja puhui puolestaan, mutta eron merkitys oli edelleen epäselvä. Erityisen usein sekoitettiin funktion ääretön inkrementti ja sen lineaarinen osa.

Tilanteen korjaamiseksi tehtiin valtavia ponnisteluja läpi 1700-luvun ja niihin osallistuivat vuosisadan parhaat matemaatikot, mutta vain Cauchy pystyi rakentamaan analyysin perustan vakuuttavasti 1800-luvun alussa. Hän määritteli tiukasti peruskäsitteet - raja, konvergenssi, jatkuvuus, differentiaali jne., minkä jälkeen varsinaiset infinitesimaalit katosivat tieteestä. Joitakin jäljellä olevia hienouksia selitti myöhemmin Weierstrass . Tällä hetkellä termi "äärettömän pieni" matematiikassa suurimmassa osassa tapauksia ei liity lukuihin, vaan funktioihin ja sarjoihin .

Kohtalon ironiana voidaan pitää 1900- luvun puolivälissä epästandardin analyysin ilmaantumista , joka osoitti, että alkuperäinen näkökulma - varsinaiset infinitesimaalit - on myös johdonmukainen ja voisi olla analyysin perusta. Epätyypillisen analyysin myötä kävi selväksi, miksi 1700-luvun matemaatikot, jotka suorittivat klassisen teorian kannalta laittomia toimia, saivat kuitenkin oikeat tulokset.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Äärettömän pieniä ja äärettömän suuria määriä // Matematiikan käsikirja (yleiskoululaisille) / Tsypkin A. G., toim. Stepanova S. A. - 3. painos - M.: Nauka, Ch. painos Phys.-Math. Kirjallisuus, 1983. - S. 337-340. – 480 s.

Kirjallisuus

Äärettömän pienet ja äärettömän suuret määrät // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.