Brownin silta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Brownin silta on erikoistapaus satunnaisesta kävelystä jatkuvalla ajalla ( Wiener -prosessi ) , kun alku- ja loppupisteet ovat samat: . Normaali Wiener-prosessi on "sidottu" alkupisteessä , mutta sillä on vapaa loppu. Brownin silta on kiinteä sekä alussa että lopussa . $B(t)$ $B(0)=B(1)=0$ $W(0)=0$ $B(0)=0$ $B(1)=0$

Ominaisuudet

Brownin sillalla on keskiarvo ja varianssi , mikä merkitsee suurinta epävarmuutta sillan keskellä ja täydellistä varmuutta päissä. Kovarianssi , missä s < t . Lisäykset eivät ole riippumattomia. ${E}\left[B_{t}\right]=0$ $\mathrm {D} \left[B_{t}\right]=t(1-t)$ ${Cov}\left[B_{s},B_{t}\right]=s(1-t)$

Yhteys muihin satunnaisiin prosesseihin

Jos W ( t ) on standardi Wiener-prosessi (eli jos t ≥ 0, W ( t ) on normaalisti jakautunut keskiarvolla 0 ja varianssilla t ja inkrementit ovat riippumattomia ), niin meillä on Brownin silta

B\left(t\right)=W(t)-t\cdot W(1)

Jos puolestaan otetaan Brownin silta B ( t ) ja standardi normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja Z , niin prosessi

W(t)=B\left(t\right)+tZ

on Wiener-prosessi arvolle t ∈ [0, 1]. Yleensä t ∈ [0, T ] meillä on

W(t)=B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z

Brownin silta on seuraus Donsker-Prokhorov-lauseesta , jota sovelletaan empiirisiin prosesseihin . Sitä käytetään myös Kolmogorov-Smirnovin sopivuustestissä tilastollisiin päätelmiin .

Käytetään Kolmogorovin lauseen todistuksessa . Olkoon jakaumafunktio jatkuva, harkitse satunnaismuuttujaa $F(x)$

D_{n}=\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|{\hat {F}}_{n}(x)-F(x)|

, missä

{\hat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {I} \{X_{j }\leqslantx\}

on empiirinen jakaumafunktio.

Olkoon Wiener-prosessi. $(W_{t},t\in [0,1])$

Sitten , eli todellisen jakaumafunktion ja empiirisen (joka on helppo muodostaa saatavilla olevasta äärellisestä otoksesta) välinen maksimiero, kerrottuna (vastaa konvergenssinopeudesta), pyrkii jakaumassa maksimiin välillä. Brownin sillan moduulista. ${\sqrt {n}}\cdot D_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\max \limits _{t\in [0,1]}|W_{t}-tW_{ 1}|$ $D_{n}$ ${\sqrt {n}}$

Yleinen tapaus

Yleisessä tapauksessa, kun ja , jakauma kohteille on normaali: $B(t_{1})=a$ $B(t_{2})=b$ $B(t)$ ${\näyttötyyli t\in (t_{1},t_{2})}$

B(t)\sim N\left(a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(ba),{\frac {(t-t_{ 1})(t_{2}-t)}{t_{2}-t_{1}}}\oikea)

Huomautus

Oletetaan, että olemme luoneet pisteiden W (0), W (1), W (2), W (3) jne. Wiener-prosessi tietokonesimulaatiolla. Jos haluamme lisätä ylimääräisen pisteen väliin [0,1], meidän on käytettävä Brownin siltaa, joka kulkee W (0) ja W (1) kautta.

Katso myös

Gaussin prosessi
Wiener-prosessi
Englanti Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering , ISBN 0-387-00451-3 , Springer-Verlag New York, 2004