Carathéodoryn hypoteesi

Carathéodoryn arvelu on Constantine Carathéodoryn arvelu , jonka Hans Ludwig Hamburger esitti Berliinin matemaattisen seuran istunnossa [1] vuonna 1924 . Carathéodory julkaisi artikkeleita tästä aiheesta [2] , mutta ei koskaan esittänyt hypoteesia kirjoituksissaan. John Edensor Littlewood mainitsee kirjassaan [3] Hamburgerin oletuksen ja panoksen [4] [5] [6] esimerkkinä matemaattisesta väitteestä, joka on helppo todeta, mutta vaikea todistaa. Dirk Jan Stroyk kuvaa artikkelissaan [7] oletuksen muodollisen analogian tasokäyrien neljän kärjen lauseen kanssa . Nykyaikaisia ​​viittauksia oletuksiin ovat Yau Shintunin [8] ongelmalistat , Marcel Bergerin [9] [10] kirjat sekä Nikolaevin [11] , Stroykan [12] , Toponogovin [13] ja Aleksejevskin kirjat, Vinogradov, Lychagin [14] .

Sanamuoto

Jokainen kupera, suljettu ja riittävän sileä pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa sisältää vähintään kaksi pyöristyspistettä .

Muistiinpanot

Esimerkiksi kierroksen ellipsoidilla on täsmälleen kaksi pyöristyspistettä. Tässä tapauksessa kaikki pallon pisteet ovat pyöristyspisteitä.

Yksityiset tulokset

Stefan Cohn-Vossen [15] esitti hakemuksen kansainväliselle matemaatikoiden kongressille vuonna 1928 Bolognassa ja kirjan "Differential Geometry" kolmannen osan 1929 painoksessa [16] Wilhelm Blaschke kirjoitti:

Kun kirjaa valmisteltiin julkaisua varten, Cohn-Vossen pystyi todistamaan, että suljetuilla reaalianalyyttisilla pinnoilla ei ole napapisteitä, joiden indeksi on > 2 (kutsuttu puhe ICM:ssä Bolognassa 1928). Tämä todistaa Carathéodoryn oletuksen tällaisista pinnoista, nimittäin siitä, että pinnoilla on oltava vähintään kaksi napaa.

Tässä Blaschken indeksi on yhtä suuri kuin kaksinkertainen napapisteen tavallinen indeksi ja globaali oletus seuraa Poincarén vektorikenttälauseesta . Cohn-Vossen ei julkaissut yhtään julkaisua ennen kansainvälistä kongressia, ja Blaschken kirjan myöhemmissä painoksissa yllä olevat kommentit poistettiin. Tästä on loogista päätellä, että työ ei ollut vakuuttava.

Analyyttisten pintojen osalta myönteinen vastaus olettamukseen antoi vuonna 1940 Hans Ludwig Hamburger pitkässä kolmiosaisessa artikkelissa [4] [5] [6] . Hamburgerin lähestymistapa perustui myös eristettyjen napapisteiden indeksien arvioimiseen, josta, kuten hän osoitti aikaisemmissa kirjoissa [17] [18] , Caratedorin olettamus seuraa. Vuonna 1943 Gerrit Bol tarjosi lyhyemmän todisteen [19] (katso myös Blaschke [20] ), mutta vuonna 1959 Tilla Klotz [21] löysi ja korjasi aukon Bolin todistuksessa [4] [5] [6] . Sen todistus puolestaan ​​julistettiin epätäydellisiksi Hanspeter Scherbelin väitöskirjassa [22] (Sherbel ei julkaissut Carathéodoryn olettamukseen liittyviä tuloksia ainakaan kesäkuussa 2009). Muista julkaisuista mainittakoon Tituksen [23] , Sotomayorin ja Mellon [24] sekä Gutierrezin [25] teokset .

Kaikki edellä mainitut todistukset perustuvat Hamburgerin pelkistykseen Carathéodoryn oletuksesta seuraavaan olettamukseen: minkään yksittäisen napapisteen indeksi ei ylitä yhtä [17] . Karkeasti sanottuna suurin vaikeus on pyöristyspisteiden synnyttämän singulaarisuuden ratkaisemisessa. Kaikki edellä mainitut kirjoittajat ratkaisevat singulaarisuuden induktiolla pyöristyspisteen "degeneraatiossa", mutta kukaan kirjoittajista ei kuvaillut induktioprosessia selvästi.

Vuonna 2002 Vladimir V. Ivanov arvioi Hamburgerin analyyttisiä pintoja koskevia töitä ja kirjoitti seuraavan [26] :

Ensinnäkin analyyttiset pinnat ajatellen julistamme täydellä vastuulla, että Carathéodory oli oikeassa. Toiseksi tiedämme, kuinka tämä voidaan todistaa tiukasti. Kolmanneksi aiomme esittää tässä todisteen, joka mielestämme vakuuttaa jokaisen lukijan, jos hän vain on todella valmis voittamaan kanssamme pitkän ja ei ollenkaan helpon tien.

Aluksi hän seurasi Gerrit Bolin ja Tilla Klotzin ehdottamaa polkua, mutta myöhemmin hän ehdotti omaa tapaa ratkaista singulaarisuus, jossa kriittinen arvo kuuluu kompleksiseen analyysiin (tarkemmin sanottuna analyyttisiä implisiittisiä funktioita käyttävään tekniikkaan , Weierstrassin valmisteleva lause). , Puiseux-sarja ja pyöreät juurijärjestelmät ).

Gilfoyle ja Klingenberg julkaisivat vuonna 2008 todisteen globaaleista arveluista pinnoille, joiden sileys on C 3,\alpha . Heidän menetelmänsä käyttää neutraalia Kähler-geometriaa Kleinin kvartiikasta , kaarevuusvirtausta , Riemannin-Rochin indeksilausetta ja Sard-Smale-lausetta Fredholmin operaattorien säännöllisistä arvoista [27] . Heidän artikkeliaan ei kuitenkaan koskaan julkaistu [28] .

Vuonna 2012 Gomi ja Howard osoittivat Möbius-muunnoksen avulla , että C2-tasoisten pintojen globaali arvelu voidaan muotoilla uudelleen joidenkin asymptoottisten gradienttien kaavioiden napapisteiden lukumääränä [29] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Hampurilainen, 1924 .
  2. ↑ Wrocławin yliopisto, 1935 .
  3. ↑ Littlewood, 2011 .
  4. ↑ 1 2 3 Hampurilainen, 1940 , s. 63-86.
  5. ↑ 1 2 3 Hampurilainen, 1941 , s. 175-228.
  6. ↑ 1 2 3 Hampurilainen, 1941 , s. 229-332.
  7. ↑ Struik, 1931 , s. 49-62.
  8. ↑ Yau, 1982 .
  9. ↑ Berger, 2003 .
  10. ↑ Berger, 2010 .
  11. ↑ Nikolaev, 2001 .
  12. ↑ Struik, 1978 .
  13. ↑ Toponogov, 2012 .
  14. ↑ Aleksejevski, Vinogradov, Lychagin, 1988 .
  15. ↑ Cohn-Vossen, 1929 .
  16. ↑ Blaschke, 1929 .
  17. ↑ 1 2 Hampurilainen, 1922 , s. 258-262.
  18. ↑ Hampurilainen, 1924 , s. 50-66.
  19. ↑ Bol, 1944 , s. 389-410.
  20. ↑ Blaschke, 1945 , s. 201–208.
  21. ↑ Klotz, 1959 , s. 277-311.
  22. ↑ Scherbel, 1993 .
  23. ↑ Titus, 1973 , s. 43-77.
  24. ↑ Sotomayor, Mello, 1999 , s. 49-58.
  25. ↑ Gutierrez, Sotomayor, 1998 , s. 291-322.
  26. ↑ Ivanov, 2002 , s. 315.
  27. ↑ Guilfoyle, Klingenberg, 2013 .
  28. ↑ Ghomi, 2017 .
  29. ↑ Ghomi, Howard, 2012 , s. 4323-4335.

Kirjallisuus