Schrödinger-ryhmä
Schrödingerin ryhmä on Schrödingerin yhtälön konfiguraatioavaruuden symmetriaryhmä . Se muodostuu muunnoksilla, jotka kuvaavat konfiguraatioavaruuden fyysisesti vastaavia pisteitä toisiinsa. Schrödinger-ryhmä voidaan määritellä yleisten fyysisten näkökohtien perusteella. Se sisältää: muunnoksen, joka muuttaa elektroneja; muunnos, joka kiertää koordinaattijärjestelmää; Galilean muunnos [1] .
Schrödinger-ryhmälle vapaan hiukkasen Schrödinger-yhtälö muotoa:
muodon galilealaisessa muutoksessa:
ja
Schrödinger-algebra voidaan saada.
Schrödingerin algebra
Schrödinger -algebra on Schrödinger-ryhmän Lie-algebra.
Se sisältää Galilean algebran keskuslaajennuksella.
[2]![{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\epsilon _{ijk}J_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26dbe6cc5b93a256c080cf0656922bd3cd1f91ec)
![{\displaystyle [J_{i},P_{j}]=i\epsilon _{ijk}P_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563d5076d817afbce022792b1f06daa3b5667e0e)
![{\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77785f2bee4f038b023a457545a28ba4dff05fe)
![{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0,[K_{i},K_{j}]=0,[K_{i},P_{j}]=i\delta _{ij} M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4f50a9236ecfaff2669f4c4a71672ac1f13803)
![{\displaystyle [H,J_{i}]=0,[H,P_{i}]=0,[H,K_{i}]=iP_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601ac3b6372042732e0fa9102e1acfc92f3e0d00)
![[H_{i},H_{j}]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8d32f1a80df904b21d33f702337372bc13c8c3)
Tässä
on kierroksia vastaavan kokonaiskulmamomentin operaattori , on liikemäärä operaattori, joka vastaa segmentin siirtymää avaruudessa , on energia-operaattori, joka vastaa vertailupisteen siirtymää aika-asteikolla , on Galilean muunnosa vastaava operaattori . [2]![{\displaystyle J=L+S=\left[QP\right]+S=-i\left[P{\frac {\partial }{\partial P))\right]+S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb83f803a1f1f0b2ce44d27afe0dce22ebd50521)
Keskuslaajennus M tulkitaan ei-relativistiseksi massaksi ja se vastaa Schrödingerin yhtälön symmetriaa vaihemuunnoksissa (ja vastaa todennäköisyyden säilymistä).
Schrödinger-algebrassa on kaksi invarianttia suuretta: [2]
- Tässä sitä voidaan pitää sisäisenä energiana. - tässä sitä voidaan pitää hiukkasen sisäisenä liikemääränä.
![\left(MJ-\left[KP\oikea]\oikea)^{2}=M^{2}S^{2}=M^{2}s(s+1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550d3df2796271636a11c31f23fac9d05b7c3448)
On myös kaksi generaattoria, joita merkitsemme ja . Niillä on seuraavat kommutaatiosuhteet:
![{\näyttötyyli [H,C]=iD,[C,D]=-2iC, [H,D]=2iH,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7825eec8a2f7c5cacd3f8f45b8bc39d3f869d505)
![{\displaystyle [P_{i},D]=iP_{i},[K_{i},D]=-iK_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d014532912fae3da989759984bcb1f21d0ff287)
![{\displaystyle [P_{i},C]=-iK_{i},[K_{i},C]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fa7ed146d041922f9942c3b0c3afe941eec5a4)
![{\displaystyle [J_{i},C]=[J_{i},D]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a7de5c855ed5704c46caced0166605ca8a8819)
Generaattorit ja muodostavat algebran .
Schrödinger-ryhmän rooli matemaattisessa fysiikassa
Vaikka Schrödinger-ryhmä määritellään vapaan Schrödinger-yhtälön symmetriaryhmäksi, se toteutuu joissakin ei-relativistisissa vuorovaikutteisissa järjestelmissä (esimerkiksi kylmät atomit kriittisessä pisteessä).
Schrödingerin d-avaruusulottuvuuden ryhmä voidaan upottaa relativistiseen konformiseen ryhmään d+1-ulottuvuuksissa SO(2,d+2). Tämä upottaminen vastaa sitä tosiasiaa, että Schrödingerin yhtälö voidaan johtaa massattomasta Klein-Gordon-yhtälöstä käyttämällä Kaluza-Klein-tiivistystä .
Muistiinpanot
- ↑ Wigner, 1961 , s. 131.
- ↑ 1 2 3 Fundamentals of Quantum Mechanics, 1967 , s. 390.
Kirjallisuus
- CR Hagen, Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory, Phys. Rev. D 5, 377-388 (1972)
- Arjun Bagchi, Rajesh Gopakumar, Galilean Conformal Algebras ja AdS/CFT, JHEP 0907:037,2009
- DTSon, Kohti AdS/kylmien atomien vastaavuutta: Schrödingerin symmetrian geometrinen toteutus, Phys. Rev. D78, 046003 (2008)
- Kaempfer F. Kvanttimekaniikan perusteet. - M .: Mir, 1967. - 391 s.
- Wigner E. Ryhmien teoria. - M .: IL, 1961. - 444 s.