Schrödingerin ryhmä on Schrödingerin yhtälön konfiguraatioavaruuden symmetriaryhmä . Se muodostuu muunnoksilla, jotka kuvaavat konfiguraatioavaruuden fyysisesti vastaavia pisteitä toisiinsa. Schrödinger-ryhmä voidaan määritellä yleisten fyysisten näkökohtien perusteella. Se sisältää: muunnoksen, joka muuttaa elektroneja; muunnos, joka kiertää koordinaattijärjestelmää; Galilean muunnos [1] .
Schrödinger-ryhmälle vapaan hiukkasen Schrödinger-yhtälö muotoa:
muodon galilealaisessa muutoksessa:
ja
Schrödinger-algebra voidaan saada.
Schrödinger -algebra on Schrödinger-ryhmän Lie-algebra.
Se sisältää Galilean algebran keskuslaajennuksella.
[2]Tässä
on kierroksia vastaavan kokonaiskulmamomentin operaattori , on liikemäärä operaattori, joka vastaa segmentin siirtymää avaruudessa , on energia-operaattori, joka vastaa vertailupisteen siirtymää aika-asteikolla , on Galilean muunnosa vastaava operaattori . [2]Keskuslaajennus M tulkitaan ei-relativistiseksi massaksi ja se vastaa Schrödingerin yhtälön symmetriaa vaihemuunnoksissa (ja vastaa todennäköisyyden säilymistä).
Schrödinger-algebrassa on kaksi invarianttia suuretta: [2]
- Tässä sitä voidaan pitää sisäisenä energiana. - tässä sitä voidaan pitää hiukkasen sisäisenä liikemääränä.On myös kaksi generaattoria, joita merkitsemme ja . Niillä on seuraavat kommutaatiosuhteet:
Generaattorit ja muodostavat algebran .
Vaikka Schrödinger-ryhmä määritellään vapaan Schrödinger-yhtälön symmetriaryhmäksi, se toteutuu joissakin ei-relativistisissa vuorovaikutteisissa järjestelmissä (esimerkiksi kylmät atomit kriittisessä pisteessä).
Schrödingerin d-avaruusulottuvuuden ryhmä voidaan upottaa relativistiseen konformiseen ryhmään d+1-ulottuvuuksissa SO(2,d+2). Tämä upottaminen vastaa sitä tosiasiaa, että Schrödingerin yhtälö voidaan johtaa massattomasta Klein-Gordon-yhtälöstä käyttämällä Kaluza-Klein-tiivistystä .