Soul (differentiaaligeometria)

Riemannilaisen jakosarjan sielu on kompakti , täysin kupera , täysin geodeettinen osajoukko , joka on sen muodonmuutoksen vetäytyminen .

Yleensä oletetaan, että  se on täydellinen yhdistetty Riemannin jakoputkisto , jonka poikkileikkauksen kaarevuus on K  ≥ 0.

Esimerkkejä

• Jokainen kompakti jakoputki on sen sielu.

• Euklidisen avaruuden R n sieluna on mikä tahansa piste.

• Paraboloidilla on M = {( x , y , z ) : z = x 2 + y 2 }, origo (0,0,0) on M : n sielu . Lisäksi mikään M :lle kuuluva piste x ei ole sen sielu, koska pisteestä x voi lähteä geodeettisia silmukoita .

• Äärettömälle sylinterille M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1} mikä tahansa "vaakasuora" ympyrä {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1}, jossa on kiinteä z , on M :n sielu .

Historia

Cheeger ja Gromol esittelivät termin sielu vuonna 1972 [1] artikkelissa, jossa he erityisesti todistivat sielulauseen . Lause yleisti Gromolin ja Meyerin [2] aikaisemman lauseen . Samassa paperissa Cheeger ja Gromol muotoilivat sieluhypoteesin . Lyhyen todisteen tästä oletuksesta antoi Grigory Perelman [3] vuonna 1994 .

Ominaisuudet

Alla oletetaan, että  se on täydellinen yhdistetty Riemannin jakoputkisto, jonka poikkileikkauksen kaarevuus on K  ≥ 0.

• Sielulause sanoo: Jokaisella ( M ,  g ) on sielu S . Lisäksi jakosarja M on erilainen kuin S :n normaali nippu .
• Sielu ei yleensä ole yksiselitteisesti määritelty moninaisella ( M ,  g ), mutta mitkä tahansa kaksi sielua ( M ,  g ) ovat isometrisiä . Sharafutdinov todisti jälkimmäisen vuonna 1979 [4] rakentamalla ns. Sharafutdinov-retraktion ; tämä on 1-Lipschitzin muodonmuutoksen takaisinveto .

• Sharafutdinovin sisäänveto on Riemannilainen upotus . Erityisesti, jos siinä on ainakin yksi piste, jolla on tiukasti positiivinen poikkileikkauskaarevuus, niin sen sielu on piste ja monisto itse on homeomorfinen euklidiselle avaruudelle.

Aiheeseen liittyvät avoimet kysymykset

• Kaksoissielu-oletus väittää [5] , että mikä tahansa kompakti ei-negatiivisen kaarevuuden omaava monisto voidaan peittää kahdella levykimpulla.

Muistiinpanot

1. ↑ Cheeger, Jeff & Gromoll, Detlef (1972), Ei-negatiivisen kaarevuuden kokonaisten monimuotoisten rakenteesta , Annals of Mathematics. Toinen sarja T. 96: 413-443, MR : 0309010 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970819 
2. ↑ Gromoll, Detlef & Meyer, Wolfgang (1969), On täydellisiä avoimia positiivisen kaarevuuden monimuotoja , Annals of Mathematics. Toinen sarja T. 90: 75-90, MR : 0247590 , ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1970682 
3. ↑ Perelman, Grigori (1994), Todiste Cheegerin ja Gromollin sielu-oletuksesta , Journal of Differential Geometry , osa 40(1): 209-212, MR : 1285534 , ISSN 0022-040X , < http://www.intlpress .com/JDG/archive/1994/40-1-209.pdf > . Haettu 23. heinäkuuta 2011. Arkistoitu 23. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa 
4. ↑ Sharafutdinov, VA (1979), Kuperista joukoista ei-negatiivisen kaarevuuden joukossa , Mat. muistiinpanot T. 26 (1): 129-136 
5. ↑ K. Grove, Geometry of and via symmetriat