Wienin siirtymälaki

Wienin siirtymälaki on fysikaalinen laki, joka määrittää aallonpituuden , jolla mustan kappaleen säteilyvuon spektritiheys saavuttaa maksiminsa, riippuvuuden mustan kappaleen lämpötilasta .

Wilhelm Wien johdatti tämän lain ensimmäisen kerran vuonna 1893 soveltamalla termodynamiikan lakeja sähkömagneettiseen säteilyyn . Vastaava intensiteettihuipun muutos lämpötilan kanssa havaittiin myös kokeellisesti. Tällä hetkellä Wienin siirtymälaki voidaan johtaa matemaattisesti Planckin laista .

Yleinen näkemys Wienin siirtymälaista

Laki ilmaistaan kaavalla

\lambda _{\text{max}}=b/T,

missä on suurimman intensiteetin säteilyn aallonpituus ja lämpötila. Kerroin (jossa c on valon nopeus tyhjiössä , h on Planckin vakio , k on Boltzmannin vakio , α ≈ 4,965114… on vakio, yhtälön juuri ), jota kutsutaan Wienin vakioksi kansainvälisessä järjestelmässä yksiköiden (SI) arvo on 0,002898 m K. _ _ $\lambda _{\text{max))$ $T$ $b={\frac {ch}{k\alpha ))$ ${\displaystyle \alpha /5=1-e^{-\alpha ))$

Valon taajuudelle ( hertseinä ) Wienin siirtymälaki on muodossa $\nu$

\nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\noin 5{,}879\kertaa 10^{10}\cdot T,

missä α ≈ 2,821439… on vakioarvo (yhtälön juuri ), k on Boltzmannin vakio , h on Planckin vakio , T on lämpötila ( kelvineissä ). ${\displaystyle \alpha /3=1-e^{-\alpha ))$

Numeeristen vakioiden ero johtuu tässä säteilyn aallonpituudelle ja taajuudelle kirjoitetun Planck-jakauman eksponenttierosta: toisessa tapauksessa se tulee , toisessa - . Tämä ero puolestaan johtuu taajuuden ja aallonpituuden välisen suhteen epälineaarisuudesta: $\lambda ^{-5}$ ${\displaystyle \omega ^{3}\sim \lambda ^{-3))$

\omega ={\frac {2\pi c}{\lambda )),\quad {\frac {d}{d\omega ))=-{\frac {\lambda ^{2)){2 \pi c}}{\frac {d}{d\lambda }}.

Lain johtaminen

Johtopäätöksenä voit käyttää Planckin säteilylain lauseketta absoluuttisen mustan kappaleen emissiokyvylle , joka on kirjoitettu aallonpituuksille : $\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)$

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}- yksi}}.

Tämän funktion aallonpituudesta riippuvan äärimmäisen pisteen löytämiseksi se tulisi erottaa ja rinnastaa derivaatta nollaan : $\lambda$

{\frac {\partial \varepsilon _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\left({\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left( e^{hc/\lambda kT}-1\oikea)}}-5\oikea)=0.

Tästä kaavasta voit välittömästi määrittää, että derivaatta lähestyy nollaa milloin tai milloin , mikä on totta . Molemmat tapaukset antavat kuitenkin Planck-funktion minimin , joka saavuttaa nollansa annetuilla aallonpituuksilla (katso kuva yllä). Siksi analyysiä tulisi jatkaa vain kolmannella mahdollisella tapauksella, jolloin $\lambda \to \infty$ $e^{hc/\lambda kT}\to \infty$ $\lambda \arvoon 0$ $B(\lambda)$

{\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)))- 5=0.

Käyttämällä muuttujien muutosta tämä yhtälö voidaan muuntaa muotoon $x={\frac {hc}{kT\lambda ))$

{\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0.

Tämän yhtälön numeerinen ratkaisu antaa [1]

x=4{,}965114231744276\ldots

Siten käyttämällä muuttujien muutosta ja Planck-vakioiden , Boltzmannin ja valonnopeuden arvoja voimme määrittää aallonpituuden, jolla mustan kappaleen säteilyn intensiteetti saavuttaa maksiminsa:

\lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^ {-3}}{T}},

jossa lämpötila on kelvineinä ja metreinä . $\lambda _{\text{max))$

Esimerkkejä

Wienin siirtymälain mukaan mustalla kappaleella, jonka ruumiinlämpötila on (~310 K ), on maksimi lämpösäteily noin 10 µm aallonpituudella , mikä vastaa spektrin infrapuna -aluetta.

Jäännössäteilyn tehollinen lämpötila on 2,7 K ja saavuttaa maksiminsa 1 mm :n aallonpituudella . Vastaavasti tämä aallonpituus kuuluu jo radioalueeseen .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Yhtälön ratkaisua ei voi ilmaista alkeisfunktioilla. Sen tarkka ratkaisu löytyy Lambert W-funktiolla , mutta tässä tapauksessa riittää likimääräinen ratkaisu. ${\frac {xe^{x}}{e^{x}-1}}=n$

Linkit

Eric Weisteinin fysiikan maailma
Soffer, BH; Lynch, DK Joitakin paradokseja, virheitä ja ratkaisuja koskien ihmisen näön spektrin optimointia // American Journal of Physics : Journal. - 1999. - Voi. 67 , no. 11 . - s. 946-953 . - doi : 10.1119/1.19170 . — .
Heald, MA Missä on "Wienin huippu"? (englanniksi) // American Journal of Physics . - 2003. - Voi. 71 , no. 12 . - s. 1322-1323 . - doi : 10.1119/1.1604387 . - .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista