Planckin kaava

Planckin kaava (Planckin laki ) on kaava, joka kuvaa säteilyn spektritiheyttä , joka syntyy tietyn lämpötilan täysin mustasta kappaleesta . Max Planck löysi kaavan vuonna 1900, ja se nimettiin hänen sukunimensä mukaan. Sen löytöä seurasi hypoteesi , jonka mukaan energia voi saada vain diskreettejä arvoja. Tätä hypoteesia ei pidetty merkittävänä jonkin aikaa löydön jälkeen, mutta sen katsotaan yleensä synnyttäneen kvanttifysiikan .

Kaava

Planckin kaava on lauseke säteilyn spektritiheydelle, joka on syntynyt tietyn lämpötilan täysin mustan kappaleen avulla . Tämän kaavan kirjoittamiseen on erilaisia muotoja [1] [2] .

Energian kirkkaus

Radanssin spektritiheyttä ilmaiseva kaava on seuraava [3] :

B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\ nu }{kT}}-1}},

missä on säteilytaajuus , on absoluuttisen mustan kappaleen lämpötila , on Planckin vakio , on valon nopeus , on Boltzmannin vakio . SI- järjestelmässä tämän kaavan suuren mitta on W m −2 · Hz −1 · sr −1 . Sen fyysinen merkitys on energian kirkkaus pienellä taajuusalueella jaettuna . Voidaan käyttää samanlaista kaavaa, jossa radianssi on aallonpituuden funktio taajuuden sijaan [3] [4] : $\nu$ $T$ $h$ $c$ $k$ ${\näyttötyyli B_{\nu ))$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $d\nu$ $\lambda$

B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{ \lambda kT}}-1}}

Tässä tapauksessa sen mitat ovat W·m −2 ·m −1 · sr −1 ja se vastaa radianssia pienellä aallonpituusalueella jaettuna [3] [4] . ${\displaystyle B_{\lambda ))$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\lambda$

Emissiivisyys

Emissiivisyys tietyllä taajuudella tai aallonpituudella on säteilyteho pinta-alayksikköä kohti taajuus- tai aallonpituusalueella jaettuna tai vastaavasti . Se voidaan ilmaista kaavoilla [5] : $\nu$ $\lambda$ $(\nu ;\nu +d\nu )$ $(\lambda ;\lambda +d\lambda )$ $d\nu$ $d\lambda$

\varepsilon _{\nu }(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{ \frac {h\nu }{kT}}-1}}

\varepsilon _{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\ frac {hc}{\lambda kT}}-1}}

Kappaleen emissiokyky on siis numeerisesti kertaa suurempi kuin kirkkaus, jos siinä oleva avaruuskulma mitataan steradiaaneina . Suuret ja niiden mitat ovat W m −2 Hz −1 ja W m −2 m −1 [5] . $\pi$ ${\displaystyle \varepsilon _{\nu ))$ ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda ))$

Spektrienergiatiheys

Toinen kirjoitusmuoto kuvaa mustan kappaleen säteilyn spektristä volyymienergiatiheyttä. Analogisesti edellisten kaavojen kanssa se on yhtä suuri kuin energiatiheys pienellä taajuus- tai aallonpituusalueella jaettuna tämän alueen leveydellä [1] [2] :

u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

u_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5))}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}}

SI-järjestelmässä suureet ja niiden mitat ovat vastaavasti J m −3 Hz −1 ja J m −3 m −1 [1] [2] . Lisäksi spektrin energiatiheys on suhteessa emissiivisyyteen suhteella [6] . ${\displaystyle u_{\nu ))$ ${\displaystyle u_{\lambda ))$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Soveltuvuus

Planckin kaavaa voidaan soveltaa säteilylle, joka on termisessä tasapainossa aineen kanssa tietyssä lämpötilassa [2] . Se soveltuu kaikenmuotoisille täysin mustille kappaleille koostumuksesta ja rakenteesta riippumatta, edellyttäen, että säteilevän kappaleen mitat ja sen pinnan yksityiskohdat ovat paljon suurempia kuin aallonpituudet, joilla kappale pääasiassa säteilee [3] [7] .

Jos kappale ei ole täysin musta, niin sen tasapainoisen lämpösäteilyn spektriä ei kuvata Planckin lailla, vaan se liittyy siihen Kirchhoffin säteilylailla . Tämän lain mukaan kehon säteily- ja absorptiokykyjen suhde on sama kaikilla aallonpituuksilla ja riippuu vain lämpötilasta [8] . Joten esimerkiksi samassa lämpötilassa energian jakautuminen absoluuttisen harmaan kappaleen spektrissä on sama kuin täysin mustan kappaleen spektrissä, mutta säteilyn kokonaisenergiakirkkaus on pienempi [9] .

Planckin kaavaa käytetään myös kuvaamaan todellisia kappaleita, joiden säteilyspektri eroaa Planckin säteilyspektristä. Tätä varten otetaan käyttöön tehokkaan kehon lämpötilan käsite: tämä on lämpötila, jossa täysin musta kappale säteilee saman määrän energiaa pinta-alayksikköä kohti kuin tietty keho. Vastaavasti määritetään kirkkauslämpötila , joka on yhtä kuin täysin mustan kappaleen lämpötila, joka säteilee saman määrän energiaa pinta-alayksikköä kohti tietyllä aallonpituudella, ja värilämpötila , joka on yhtä suuri kuin täysin mustan kappaleen lämpötila. sama energiajakauma tietyssä spektrin osassa [2] [10] [11 ] . Esimerkiksi Auringon tehollinen lämpötila on noin 5780 K ja kirkkauslämpötila saa aallonpituudesta riippuen erilaisia arvoja: 1500 Å :n aallonpituudella se saavuttaa minimiarvon 4200 K ja näkyvällä alueella . aallonpituudella 5500 Å se on noin 6400 K, kun taas täysin mustalle kappaleelle tällä tavalla määritetyt lämpötilat ovat samat [12] .

Löytöhistoria

Tausta

Lämpösäteilyn lain määritelmä on kiinnostanut vuodesta 1859, jolloin Gustav Kirchhoff löysi Kirchhoffin säteilylain , jonka mukaan emissiivisyyden ja absorptiokyvyn suhde on universaali kaikille kappaleille. Siksi mustan kappaleen säteilyfunktion , jonka absorptiokyky on yhtä suuri kuin yksikkö kaikilla aallonpituuksilla, on oltava sama kuin tämän suhteen funktio [13] [14] .

1800-luvun lopulla mustan kappaleen säteilyspektri tunnettiin jo kokeellisesti. Vuonna 1896 Wilhelm Wien kuvaili sitä empiirisesti Wienin säteilylain avulla , mutta fyysikot eivät tuolloin pystyneet saamaan sen teoreettista perustetta tai johtopäätöstä. Vaikka Wien esitti työssään perustelun laille, se ei ollut tarpeeksi tiukka, jotta tätä ongelmaa pidettäisiin ratkaistuna [6] [15] [16] .

Max Planck oli yksi niistä, jotka yrittivät teoreettisesti perustella Wienin säteilylakia. Hän lähti siitä tosiasiasta, että emitterit ovat lineaarisia harmonisia oskillaattoreita , joissa emission ja absorption välille on saatu tasapaino; selvitettyään oskillaattorien entropian ja energian välisen suhteen hän pystyi vahvistamaan Wienin säteilylain [17] .

Lisäkokeet osoittivat kuitenkin, että Wienin säteilylaki ei kuvaa tarkasti lämpösäteilyn spektriä pitkän aallonpituuden alueella. Lokakuussa 1900 Planck esitti kaavan, joka vakioiden sisällä osui yhteen Planckin modernin lain kanssa. Samana päivänä todettiin, että kaava kuvaa kokeellista dataa hyvin, mutta samalla sillä ei ollut teoreettista perustaa. Planck päätteli sen vain sillä perusteella, että lyhyiden aaltojen rajoittavassa tapauksessa sen pitäisi mennä Wienin lakiin, mutta toisin kuin se, sen pitäisi olla yhdenmukainen pitkien aaltojen kokeellisten tietojen kanssa [18] .

Discovery

Alle kaksi kuukautta kaavan vastaanottamisesta ilmoittamisen jälkeen Planck esitti teoreettisen johtopäätöksensä Saksan fyysisen seuran kokouksessa . Siinä käytettiin Ludwig Boltzmannin esittämää entropian relaatiota , joka ottaa huomioon järjestelmän mahdollisten mikroskooppisten tilojen lukumäärän. Voidakseen käyttää kombinatoriikan menetelmiä ja siten arvioida entropiaa, Planck teki oletuksen, että kokonaisenergia koostuu kokonaisesta määrästä äärellisiä energiakvantteja [ 15] [19] .

Huolimatta siitä, että kvantit esiintyivät tässä johdannaisessa ja Planckin vakio otettiin käyttöön ja käytettiin ensimmäistä kertaa , eivät Planck itse tai hänen kollegansa ymmärtäneet löydön koko syvyyttä. Esimerkiksi Planck uskoi, että energian diskreettisyydellä ei ole fyysistä merkitystä ja se on vain matemaattinen tekniikka. Muut fyysikot eivät myöskään pitäneet tätä tärkeänä eivätkä pitäneet tätä oletusta klassisen fysiikan vastaisena . Vasta Hendrik Lorentzin julkaisussa vuonna 1908 tiedeyhteisö tuli siihen tulokseen, että kvanteilla todellakin oli fyysinen merkitys. Planck itse kutsui myöhemmin kvanttien käyttöönottoa "epätoivoiseksi teoksi", joka johtuu siitä, että "teoreettinen selitys on löydettävä hinnalla millä hyvänsä, olipa se kuinka korkea tahansa". Kaikesta tästä huolimatta päivää, jolloin Planckin kaava perusteltiin - 14. joulukuuta 1900 - pidetään kvanttifysiikan syntymäpäivänä [15] [20] .

Klassisen fysiikan näkökohtia käyttäen Lord Rayleigh ja vuonna 1905 James Jeans johtivat Rayleigh-Jeansin lain . Planck itse päätyi teoksissaan samaan tulokseen heistä riippumatta. Tämän lain johtaminen poikkesi vähän Planckin lain johdosta (katso alla ), paitsi että keskimääräinen säteilyenergia otettiin yhtäläiseksi energian tasaisen jakautumisen vapausasteissa lauseen mukaisesti . Klassisen fysiikan näkökulmasta johtamisen kulku ei ollut kyseenalainen, mutta Rayleigh-Jeansin laki ei ainoastaan ollut vakavasti eri mieltä kokeellisten tietojen kanssa kaikkialla paitsi pitkän aallon alueella, vaan myös ennusti äärettömän korkeaa säteilytehoa lyhyet aallot. Tämä paradoksi osoitti, että klassisessa fysiikassa on edelleen perustavanlaatuisia ristiriitoja, ja siitä tuli lisäargumentti kvanttihypoteesin puolesta. Paul Ehrenfest vuonna 1911 kutsui sitä ensin ultraviolettikatastrofiksi [6] [15] [21] . $\langle \varepsilon \rangle$ $kT$

Vuonna 1918 Max Planck voitti Nobelin fysiikan palkinnon , ja vaikka hänet palkittiin virallisesti kvanttien löytämisestä, tämä löytö liittyi läheisesti Planckin lain johtamiseen [22] .

Planckin kaavan johtaminen

Johtaminen Boltzmann-jakauman kautta

Planckin kaava johdetaan seuraavasti [6] .

Johdattaessa otetaan huomioon pienikokoinen musta kappale, jonka lämpötila on , joka sijaitsee kuution sisällä, jonka reuna on pituus ja jonka sisäseinät ihanteellisesti heijastavat säteilyä. Tämän seurauksena valon emissio ja absorptio tasapainotetaan ja säteily jakautuu tasaisesti koko kuution sisäpuolelle. Kuution sisällä säilyy jonkin verran energiatiheyttä . Tällöin spektrin energiatiheydeksi kutsutaan arvoa , joka on yhtä suuri kuin lähellä olevien kulmataajuuksien energiatiheys yksikköväliä kohden . $T$ $l$ $u(T)$ $u_{\omega }(\omega ,T)$ $\omega$

Kun valitset pienen alueen mustan kappaleen pinnalta, voit laskea, kuinka paljon energiaa siihen putoaa. Avaruuskulmasta kulmassa normaaliin nähden tulevan energian tiheys on yhtä suuri kuin , koska säteily jakautuu tasaisesti kaikkiin suuntiin steradiaanien avaruuskulmassa. Valo kulkee nopeudella , mikä tarkoittaa, että energia putoaa pinnalle ajassa : $\Delta S$ $\theta$ $d\Omega$ ${\textstyle d{\tilde {u}}=u(T){\frac {d\Omega }{4\pi }}}$ $4\pi$ $c$ $\Delta t$ $dw$

dw=c\,d{\tilde {u}}\,\Delta t\,\Delta S\cos \theta ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\cos \ theta \sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,\Delta S\,\Delta t

Kaikista suunnista tulevan energian summa on virtaus : $\Phi$

\Phi ={\frac {c}{4\pi }}u(T)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi /2} \cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac {c}{4}}u(T)

Mustan kappaleen sama yksikköpinta-ala säteilee saman määrän energiaa, mikä tarkoittaa, että suhde on voimassa sekä koko virralle että mille tahansa taajuus- tai aallonpituusalueelle . ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

Koska kuution sisällä on samanaikaisesti sekä säteileviä että heijastuneita aaltoja, lämpösäteilykentän tulee olla niiden superpositio, eli sen on oltava seisovien sähkömagneettisten aaltojen muotoinen . Niiden parametrien määrittämiseksi otetaan käyttöön karteesinen koordinaattijärjestelmä kuution reunoja pitkin ja vastaavat ortit . Aallolle, joka etenee tiukasti akselia pitkin , jossa on luonnollinen luku : eli puolikokonaislukumäärän aaltojen kokonaispituuden on oltava täsmälleen . Tällaisen aallon aaltovektori on , missä on aaltoluku , jonka rajoitus saa muodon . ${\textstyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$ $x$ ${\textstyle l=n_{x}{\frac {\lambda }{2}}}$ ${\näyttötyyli n_{x))$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle {\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}}$ ${\textstyle k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda ))}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l))}$

Akseleita ja pitkin etenevien aaltojen osalta päättely on samanlainen; mihin tahansa muuhun suuntaan etenevä aalto voidaan esittää akseleita pitkin etenevien aaltojen superpositiona: . Siksi , Jos ovat luonnollisia numeroita toisistaan riippumattomia tai nollia. Sitten minkä tahansa aallon aaltoluku esitetään muodossa ja taajuus muodossa . Jokainen näiden parametrien kolmoisosa vastaa yhtä seisovaa aaltoa. $y$ $z$ ${\vec {k}}=k_{x}{\vec {e}}_{x}+k_{y}{\vec {e}}_{y}+k_{z}{\vec {e}}_{z}$ ${\textstyle k_{x}=n_{x}{\frac {\pi }{l)),k_{y}=n_{y}{\frac {\pi }{l)),k_{z}= n_{z}{\frac {\pi }{l))}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ ${\textstyle k={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\frac {\pi }{l}}{ \sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\pi c}{l)){\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2))} }$

Dimensiottoman suuren avulla voidaan määrittää seisovien aaltojen lukumäärä, joiden taajuus on enintään . Tämä luku on yhtä suuri kuin niiden yhdistelmien lukumäärä, joille . Sitten se voidaan arvioida kahdeksasosana pallon tilavuudesta, jonka säde on : ${\textstyle R={\frac {\omega l}{\pi c))}$ $\omega$ ${\tilde {N}}$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z))$ $R^{2}\geq n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}$ ${\tilde {N}}$ ${\textstyle R}$

{\tilde {N}}={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi R^{3}={\frac {1}{6} }\cdot {\frac {\omega ^{3}l^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac { \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}V,

missä on säteilyn sisältävä tila. Koska sähkömagneettiset aallot ovat poikittaisia, kaksi aaltoa voi levitä kumpaankin suuntaan, polarisoitua keskenään kohtisuoraan, ja aaltojen todellinen lukumäärä kaksinkertaistuu: $V$ $N$

N=2{\tilde {N}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}} }V

Jos erotamme tämän lausekkeen taajuudella, saamme seisovien aaltojen lukumäärän aallonpituuksilla välillä : $(\omega ;\omega +d\omega )$

dN={\frac {\omega ^{2}d\omega }{\pi ^{2}c^{3))}V

Se voidaan ottaa seisovan sähkömagneettisen aallon keskimääräiseksi energiaksi taajuudella . Jos kerromme seisovien aaltojen lukumäärän luvulla ja jaamme tuloksena saadun arvon luvulla , saadaan säteilyenergian spektritiheys: $\langle \varepsilon \rangle$ $\omega$ $dN$ $\langle \varepsilon \rangle$ $V$ $d\omega$

u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle

Planckin lain johtamiseksi edelleen on tarpeen ottaa huomioon kvanttifysiikan vaikutukset , nimittäin se tosiasia, että energiaa emittoidaan äärellisissä osissa, jotka ovat yhtä suuria kuin ( on Diracin vakio); vastaavasti mahdolliset säteilyenergian arvot ovat , missä on mikä tahansa luonnollinen luku . Siten keskimääräinen säteilyenergia on yhtä suuri kuin: $E = \hbar \omega$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $\varepsilon _{n}=n\hbar \omega$ $n$ $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}\varepsilon _{n},

missä on todennäköisyys, että säteilyn energia on yhtä suuri kuin . Todennäköisyys kuvataan Boltzmannin energiajakauman avulla $P_{n}$ $\varepsilon_{n}$ jollain vakiolla : $A$

{\displaystyle P_{n}=Ae^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT))))

Ottaen huomioon totta : ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=1}$ $A$

A=\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {\varepsilon _{n}}{kT}}}\right)^{-1}

Eli ilmaistuna seuraavasti: $\langle \varepsilon \rangle$

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }n\hbar \omega e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT)) }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {n\hbar \omega }{kT))))}=\hbar \omega {\frac {\sum _{ n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }}}

täällä . Nimittäjä laajennetaan geometrisen progression summan kaavan mukaan ja osoittaja esitetään nimittäjän derivaatana suhteessa : ${\textstyle \xi ={\frac {\hbar \omega }{kT))}$ ${\textstyle \xi }$

{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\xi }={\frac {1}{1-e^{-\xi ))))

\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\xi }=-{\frac {dS}{d\xi }}={\frac {e^{-\xi } }{(1-e^{-\xi })^{2}}}

Keskimääräisen energian lauseke saadaan:

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT))-1))

Jos korvaamme kaavaan säteilyn spektrienergiatiheyden, saamme yhden Planckin kaavan lopullisista versioista: $\langle \varepsilon \rangle$

u_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {\ hbar \omega }{kT}}-1}}

Suhde antaa sinun saada kaavan emissiivisuudelle [6] : ${\textstyle \varepsilon ={\frac {c}{4}}u}$

\varepsilon _{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\ frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Jos jaetaan luvulla , saadaan lauseke kirkkauden spektritiheydelle [23] : $\pi$

B_{\omega }={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac { \hbar \omega }{kT}}-1}}

Nämä suureet voidaan ilmaista muilla parametreilla, kuten syklisellä taajuudella tai aallonpituudella . Tätä varten on otettava huomioon, että määritelmän mukaan suhteet täyttyvät ( miinus näkyy johtuen siitä, että taajuus pienenee aallonpituuden kasvaessa) ja vastaavat emissiivisyyden ja energiatiheyden kaavat. Joten mennäksesi syklisiin taajuuksiin, sinun on korvattava (tässä tapauksessa niin ) ja kerrottava luvulla , jolloin kaavat ovat muotoa [3] [23] : $\nu$ $\lambda$ $B_{\omega }d\omega =B_{\nu }d\nu$ $B_{\nu }d\nu =-B_{\lambda }d\lambda$ $\omega =2\pi \nu$ ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ $h\nu =\hbar \omega$ ${\textstyle {\frac {d\omega }{d\nu }}=2\pi }$

u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{ kT}}-1}}}

\varepsilon _{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}

B_{\nu }={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}} -yksi}}

Aallonpituuksien kaavat saadaan samalla tavalla. Korvaamisen ja [3] [23] :lla kertomisen jälkeen : ${\textstyle \nu ={\frac {c}{\lambda ))}$ ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}=-{\frac {c}{\lambda ^{2))))$

u_{\lambda }={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1 }}

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\ lambda kT}}-1}}}

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}- yksi}}

Johtaminen Bose-Einsteinin tilastojen avulla

Jos tasapainosäteilyä pidetään fotonikaasuna, siihen voidaan soveltaa Bose-Einsteinin tilastoja . Se määrittää hiukkasten keskimääräisen määrän energialla kvanttitilassa [24] : $\langle n_{i}\rangle$ $i$ $E_{i}$

\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{kT}}-1}}

Tämä kaava on kaasun kemiallinen potentiaali . Fotonikaasulle se on nolla, joten sen kaava voidaan esittää seuraavassa muodossa [24] : $\mu$

\langle n\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}

Jos kerromme fotonien keskimääräisen lukumäärän niiden energialla , saamme saman keskimääräisen energian kuin Boltzmannin jakaumasta. Kun se korvataan spektrin energiatiheyden kaavassa, saadaan Planckin laki [24] . $\langle n\rangle$ $\hbar \omega$ $\langle \varepsilon \rangle$ ${\textstyle u_{\omega }={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\langle \varepsilon \rangle }$

Johtopäätös spontaanin ja stimuloidun emission kautta

Planckin kaava voidaan johtaa myös spontaanin ja stimuloidun atomiemission mekanismien tarkastelusta [25] .

Tämä Einsteinin vuonna 1916 ehdottama johtopäätös ottaa huomioon myös atomit energiatasoilla ja vastaavasti. Tällöin siirtymien määrä korkeimmalta tasolta alimmalle aikayksikköä kohti on verrannollinen ja voidaan kirjoittaa muodossa . Stimuloidulla emissiolla siirtymien määrä aikayksikköä kohti on verrannollinen säteilyn spektritiheyteen siirtymätaajuudella , eli se voidaan kirjoittaa muodossa . Absorptiosta johtuvien siirtymien määrä aikayksikköä kohti on verrannollinen ja kirjoitetaan [25] . $N_{m}$ $N_{n}$ $E_m$ $E_{n}$ $E_{n}$ $E_m$ $N_{n}$ $A_{n}^{m}N_{n}$ $N_{n}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})$ $N_{m}$ $u(\omega _{mn})$ $B_{m}^{n}N_{m}u(\omega _{mn})$

Määrät ovat ominaisia vain itse atomille ja valituille energiatasoille, joita kutsutaan Einstein-kertoimiksi . Jos säteilykenttä on tasapainossa ja sen lämpötila on , niin yksityiskohtainen tasapainoehto on seuraava [25] : ${\displaystyle A_{n}^{m},B_{n}^{m},B_{m}^{n))$ $T$

A_{n}^{m}N_{n}+B_{n}^{m}N_{n}u(\omega _{mn})=B_{m}^{n}N_{m} u(\omega _{mn})

Rajassa spontaani emissio voidaan jättää huomioimatta stimuloituun emissioon verrattuna, jolloin tasapainotila saa muodon . Mistä lähtien täyttyy , ja Einsteinin kertoimet eivät riipu lämpötilasta, yhtäläisyys on totta , mikä pätee yksinkertaisille tasoille; Useita tasoja varten on lisäksi otettava huomioon monikertoimet. Tulevaisuudessa voidaan ajatella vain yksinkertaisia tasoja, koska säteilyn energiatiheys ei riipu aineen rakenteen yksityiskohdista [25] . $T\rightarrow\infty$ ${\displaystyle B_{n}^{m}N_{n}=B_{m}^{n}N_{m))$ $T\rightarrow\infty$ ${\displaystyle N_{n}=N_{m))$ ${\displaystyle B_{n}^{m}=B_{m}^{n))$

Voit käyttää Boltzmann-jakelua [25] :

{\displaystyle {\frac {N_{n}}{N_{m}}}=e^{\left({\frac {E_{n}-E_{m}}{kT}}\oikea)))

Tasapainoehtoon sovellettaessa käy ilmi [25] :

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})}{e^{\left({\frac {\hbar \omega _{mn)){kT }}\oikea)}-1}},

missä . Tämä arvo ei riipu lämpötilasta, ja se voidaan löytää ehdosta, että Rayleigh-Jeansin kaavan [25] pitäisi olla voimassa korkeissa lämpötiloissa : ${\textstyle \alpha (\omega _{mn})={\frac {A_{n}^{m}}{B_{n}^{m))))$

u(\omega _{mn})={\frac {\alpha (\omega _{mn})kT}{\hbar {\omega _{mn))))

\alpha (\omega _{mn})={\frac {\hbar \omega _{mn}^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}

Energiatasot voidaan ottaa mielivaltaisesti, joten indeksit ja voidaan poistaa ja mielivaltaisten taajuuksien kaavaa voidaan käyttää. Kun korvataan alkuperäiseen kaavaan , saadaan Planckin kaava. Tärkeä seuraus Planckin kaavan pätevyydestä on siis pakkosiirtymien olemassaolo, jotka ovat välttämättömiä lasergeneroinnin toteuttamiseksi [25] . $m$ $n$ $\alpha (\omega )$ $u(\omega )$

Suhde muihin kaavoihin

Rayleigh-Jeansin laki

Rayleigh-Jeansin laki on Planckin lain approksimaatio, joka toimii hyvin (eli suurten aallonpituuksien ja matalien taajuuksien alueella), mutta poikkeaa siitä voimakkaasti , vertailukelpoinen tai suuri . Rayleigh-Jeansin laki käyttää approksimaatiota , joka on voimassa pienille , joten approksimaatio näyttää tältä [26] [27] : $hc\ll \lambda kT$ $h.c.$ $\lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT))\noin 1+{\frac {hc}{\lambda kT))}$ ${\textstyle {\frac {hc}{\lambda kT))}$

B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {\lambda kT}{hc}}={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}

Klassisen fysiikan puitteissa säteilylain johdosta saadaan Rayleigh-Jeansin laki. Kuitenkin lyhyillä aallonpituuksilla Rayleigh-Jeansin laki ei vain ole samaa mieltä kokeen kanssa, vaan se ennustaa myös rajattoman säteilytehon kasvun aallonpituuden lähestyessä nollaa. Tätä paradoksia kutsutaan ultraviolettikatastrofiksi (katso edellä ) [6] [27] .

Wienin säteilylaki

Wienin säteilylaki on Planckin lain approksimaatio, joka toimii hyvin - pienten aallonpituuksien ja korkeiden taajuuksien alueella. Wienin säteilylaki ehdottaa, että kun Planckin kaavan nimittäjässä oleva yksikkö voidaan jättää huomiotta ja harkita . Sitten kaava saa muotoa [26] [27] : $hc\gg \lambda kT$ $hc\gg \lambda kT$ ${\textstyle e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\approx e^{\frac {hc}{\lambda kT}}}$

{\displaystyle B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT))))

Stefan-Boltzmannin laki

Stefan-Boltzmannin laki on lauseke, joka kuvaa täysin mustan kappaleen säteilyä koko sähkömagneettisella alueella. Se on johdettu Planckin laista integroimalla yli taajuuden tai tallennusmuodosta riippuen yli aallonpituuden [28] :

B(T)=\int _{0}^{\infty }{B_{\nu }}d\nu =\int _{0}^{\infty }{B_{\lambda }}d\ lambda

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}d\nu }{e^ {\frac {h\nu }{kT}}-1}}

Korvaa sitten [28] : ${\textstyle x={\frac {h\nu }{kT))}$ ${\textstyle d\nu ={\frac {kT}{h}}dx}$

B(T)={\frac {2h}{c^{2}}}{\frac {k^{4}}{h^{4}}}T^{4}\int _{0 }^{\infty }{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}

Tämä kiinteä integraali on . Voimme ilmaista , missä on vakio [28] : ${\textstyle {\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ ${\displaystyle B(T)=AT^{4))$ $A$

A={\frac {2k^{4}}{c^{2}h^{3}}}{\frac {\pi ^{4}}{15}}

Tässä tapauksessa energiavuon tiheys on useita kertoja suurempi kuin energian kirkkaus , joten ensimmäisen laskemiseen käytetään kerrointa , jota kutsutaan Stefan-Boltzmannin vakioksi , joka on 5,67⋅10 -8 W m -2 · K −4 . Pinta-alayksikön säteilyteho voidaan tässä tapauksessa ilmaista muodossa . Tätä ilmaisua kutsutaan Stefan-Boltzmannin laiksi [28] . $\pi$ $\sigma =\pi A$ $F$ $F=\sigma T^{4}$

Wienin siirtymälaki

Wienin siirtymälaki suhteuttaa aallonpituuden, jolla mustan kappaleen emissiokyky on suurin, sen lämpötilaan. Se johdetaan Planckin laista erottamalla se taajuuden tai aallonpituuden suhteen tallennusmuodon mukaan ja rinnastamalla derivaatta nollaan, joka saavutetaan funktion maksimipisteessä. Tämä johtaa relaatioon , jossa on vakio 0,0029 m K . Siten lämpötilan noustessa maksimin aallonpituus pienenee [29] . $\lambda _{max}T=b$ $b$

Vaikka samanlainen menettely voidaan tehdä taajuuksille, spektrin maksimitiheyden taajuutta ei voida laskea kaavalla , koska taajuuden ja aallonpituuden välinen suhde on epälineaarinen ja emissiivisyys lasketaan säteilystä yksittäisellä taajuuksien tai aallonpituuksien välillä [ 29] . ${\textstyle \nu _{max}={\frac {c}{\lambda _{max))))$

Sovellus

Täysin mustalle kappaleelle Planckin lain kuvaama spektri liittyy ainutlaatuisesti sen lämpötilaan. Siksi lakia voidaan soveltaa pyrometriassa eli kuumien kappaleiden lämpötilan etämäärityksessä. Jos kappaleen spektri eroaa täysin mustan kappaleen säteilystä, pyrometri mittaa tehollisen lämpötilan, jota kutsutaan säteilyksi . Kun tiedetään tutkittavan kappaleen emissiokyvyn suhde täysin mustan kappaleen emissiokykyyn , mikä osoittaa eron Planckin kaavasta, voidaan löytää todellinen lämpötila . Monien käytännönläheisten tärkeiden materiaalien arvot tunnetaan [30] . $T_{r}$ $Q_{T}=E_{T}/\varepsilon _{T}<1$ $T=T_{r}/(Q_{T})^{1/4}$ $Q_{T}$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Planckin säteilylaki . Encyclopedia Britannica . Haettu 18. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 13. joulukuuta 2020.
↑ 1 2 3 4 5 Masalov A. V. Planckin säteilylaki // Suuri venäläinen tietosanakirja . - BRE Publishing House , 2014. - T. 26. - 767 s. — ISBN 978-5-85270-363-7 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Karttunen et al., 2007 , s. 103.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , s. 170.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , s. 181.
↑ 1 2 3 4 5 6 1.2. Säteilyn kvanttiteoria . Moskovan valtion teknillisen yliopiston fysiikan laitos . Bauman . Haettu 18. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 28. syyskuuta 2015. (määrätön)
↑ Juan Carlos Cuevas. Aliaallonpituisten kohteiden lämpösäteily ja Planckin lain rikkominen // Nature Communications . - Luontotutkimus , 2019. - 26. heinäkuuta (nide 10). - P. 3342. - ISSN 2041-1723 . - doi : 10.1038/s41467-019-11287-6 . Arkistoitu alkuperäisestä 12. maaliskuuta 2022.
↑ 1.1. Lämpösäteilyn lait . Moskovan valtion teknillisen yliopiston fysiikan laitos . Bauman . Haettu 24. tammikuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 8. elokuuta 2020. (määrätön)
↑ Harmaa runko . Fysiikan ja tekniikan tietosanakirja . Haettu 24. tammikuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 17. huhtikuuta 2021. (määrätön)
↑ Karttunen ym., 2007 , s. 104.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , s. 193-194.
↑ Kononovich, Moroz, 2004 , s. 239-240.
↑ Jammer, 1985 , s. 14-16.
↑ Sivukhin, 2002 , s. 681-682.
↑ 1 2 3 4 Max Planck: vastahakoinen vallankumouksellinen . Physics World (1. joulukuuta 2000). Haettu 19. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 6. heinäkuuta 2022.
↑ Jammer, 1985 , s. 21.
↑ Jammer, 1985 , s. 22-27.
↑ Jammer, 1985 , s. 27-30.
↑ Jammer, 1985 , s. 30-33.
↑ Jammer, 1985 , s. 30-34.
↑ Sivukhin, 2002 , s. 697.
↑ Nobelin fysiikan palkinto 1918 . NobelPrize.org . Nobelin säätiö . Käyttöpäivä: 19.12.2020. Arkistoitu alkuperäisestä 7.6.2020.
↑ 1 2 3 Planckin lain eri muotoilut . www.physics-in-a-nutshell.com . Haettu 19. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 14. joulukuuta 2020. (määrätön)
↑ 1 2 3 Sivukhin, 2002 , s. 703-704.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Sivukhin, 2002 , s. 704-706.
↑ 1 2 Kononovich, Moroz, 2004 , s. 182.
↑ 1 2 3 Karttunen et al., 2007 , s. 105.
↑ 1 2 3 4 Karttunen et al., 2007 , s. 103-104.
↑ 1 2 Karttunen et al., 2007 , s. 104-105.
↑ Landsberg, 2003 , s. 639.

Kirjallisuus

E. V. Kononovich; Moroz V. I. Tähtitieteen yleinen kurssi / Toim. V. V. Ivanova . - 2, oikein. — M .: Pääkirjoitus URSS , 2004. — 544 s. — ISBN 5-354-00866-2 .
Sivukhin DV Yleinen fysiikan kurssi . - M . : Fizmatlit MIPT , 2002. - T. 4. Optiikka. — 792 s. — ISBN 5-9221-0228-1 .
Jammer M. Kvanttimekaniikan käsitteiden kehitys. — M .: Nauka , 1985. — 384 s.
Elyashevich M. A. Planckin säteilylaki // Physical Encyclopedia . - M .: BRE , 1992. - T. 3 . - S. 625-626 .
Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner KJ Fundamental Astronomy . – 5. painos. - Berliini: Springer , 2007. - 510 s. — ISBN 978-3-540-34143-7 .
Landsberg G.S. Optics: oppikirja yliopistoille. - 6. painos stereot.. - M. : Fizmatlit, 2003. - 848 s. — ISBN 5-9221-0314-8 .