Matriisin neliöjuuri

Matriisin neliöjuuri on numeerisen neliöjuuren käsitteen laajennus neliömatriisien renkaaseen .

Määritelmä

Matriisia kutsutaan matriisin neliöjuureksi, jos neliö eli matriisitulo on sama kuin matriisi $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {B}),$ $\mathbf {BB} ,$ $\mathbf {A} .$

Olemassaolo ja ainutlaatuisuus

Kaikilla matriiseilla ei ole neliöjuurta. Esimerkiksi matriisilla ei ole juuria . Tämä matriisi on myös nollan jakaja ja nollan neliöjuuri. Siten matriisirenkaassa nollalla on äärettömän monta neliöjuurta. $\left({\begin{smallmatrix}0&a\\0&0\end{smallmatrix}}\right),a\neq 0$

Niissä tapauksissa, joissa juuri on olemassa, sitä ei aina määritellä yksiselitteisesti. Esimerkiksi matriisilla on neljä juuria: ja . $\left( \begin{smallmatrix}33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}1&4\\8&5\end{smallmatrix}}\right)$ $\pm \left({\begin{smallmatrix}5&2\\4&7\end{smallmatrix}}\right)$

Identiteettimatriisilla on seuraavat 6 juurta matriisien joukossa, jotka koostuvat , ja : $\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr)$ $0$ $-yksi$ $+1$

\left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{matrix}}\right),\quad \left({\begin{matrix}\pm 1&0\\0&\mp 1\end{matriisi}}\oikea),\quad \left({\begin{matrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{matrix}}\right);

sekä äärettömän monta muodon symmetristä rationaalista neliöjuurta:

{\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}s&r\\r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}} \left({\begin{matrix}s&-r\\-r&-s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}- s&r\\r&s\end{matrix}}\right),\quad {\frac {1}{t}}\left({\begin{matrix}-s&-r\\-r&s\end{matrix}}\ oikein),

missä on mielivaltainen Pythagoraan kolminkertainen , Eli luonnollisten lukujen kolminkertainen, jolle . $(r, s, t)$ $r^2+s^2=t^2$

Juuren erottamisen matriisista monimutkaisuus johtuu siitä, että matriisirengas on ei-kommutiivinen ja siinä on nolla jakajaa, eli se ei ole eheysalue . Esimerkiksi eheyskentässä polynomirenkaassa kentän yläpuolella jokaisella elementillä on enintään kaksi neliöjuurta.

Positiiviset määrätyt matriisit

Positiivisella määrätyllä matriisilla on aina täsmälleen yksi positiivinen määrätty juuri, jota kutsutaan aritmeettiseksi neliöjuureksi [1] .

Kaiken kaikkiaan positiivisen määrätyn järjestyksen matriisilla , joilla on erilaiset ominaisarvot , on juuret. Laajentamalla tällaista matriisia ominaisvektorien suhteen, saamme sen esityksen muodossa, jossa on diagonaalimatriisi ominaisarvoilla . Silloin matriisin neliöjuurilla on muoto, jossa on diagonaalimatriisi, jonka merkinnät ovat diagonaalissa. $A$ $n$ $2^{n}$ $\mathbf {A} =\mathbf {VDV^{-1}} ,$ $\mathbf {D}$ $\lambda _{i}>0$ $A$ $\mathbf{VD^\frac12V^{-1}},$ $\mathbf {D^{\frac {1}{2))}$ $\pm\sqrt{\lambda_i}$

Kirjallisuus

Gantmakher F. R. . Matriisi teoria. Moskova: GITTL, 1953, s. 212-219.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Lineaarialgebran tietosanakirja. Elektroninen järjestelmä LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.

Muistiinpanot

↑ Valentin Vasilievich Voevodin, Juri Aleksejevitš Kuznetsov. Matriisit ja laskenta . — "Tiede", luku. toim. Fysiikan ja matematiikan kirjallisuus, 1984. - S. 88-89. – 330 s.