Kvaasanalyyttinen funktio

Kvasianalyyttiset funktiot matemaattisessa analyysissä ovat luokka funktioita, jotka voidaan löyhästi sanottuna rekonstruoida täysin niiden arvoista pienellä alueella (esimerkiksi alueen rajalla). Tämä ominaisuus helpottaa suuresti differentiaaliyhtälöiden ratkaisua ja muiden analyysiongelmien tutkimista. Koska tämä ominaisuus pätee analyyttisille funktioille (katso monimutkainen analyysi ), niin kvasianalyyttisten funktioiden luokka sisältää tavallisten analyyttisten funktioiden luokan ja sitä voidaan pitää sen jatkeena [1] .

Määritelmät

Yksimuuttujafunktiot

Yksi analyyttisen funktion monista määrittävistä piirteistä : olkoon funktio äärettömästi differentioituva janan kaikissa pisteissä ja olkoon (funktiosta riippuen) sellainen luku, että epäyhtälö pätee kaikkiin pisteisiin: $f(x)$ $[a,b]$ $A$ $x\in[a,b]$

|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!

(yksi)

Tällöin funktio on analyyttinen ( myös käänteinen lause on tosi) [2] . $f(x)$

Jacques Hadamard ehdotti vuonna 1912 edellä olevan epätasa-arvon yleistämistä korvaamalla sekvenssi positiivisten reaalilukujen yleisen muodon sekvenssillä . Hän määritteli välille [ a , b ] funktioiden luokan C M ([ a , b ]) seuraavasti: $n!$ $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$

Mikä tahansa luokan funktio on äärettömästi differentioituva ( f ∈ C ∞ ([ a , b ])), ja kaikissa pisteissä x ∈ [ a , b ] ja kaikille seuraava ehto täyttyy: $f$ $k\geqslant 0$

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}

(2)

jossa A on jokin vakio (riippuen funktiosta).

Jos otamme sekvenssin M k =1, niin osan alussa sanotun mukaan saadaan täsmälleen tavallisten reaalianalyyttisten funktioiden luokka välillä [ a , b ].

Luokkaa C M ([ a , b ]) kutsutaan kvasi -analyyttiseksi, jos minkä tahansa funktion f ∈ C M ([ a , b ]) ainutlaatuisuusehto täyttyy : jos jossain vaiheessa x ∈ [ a , b ] kaikille k , niin f on identtisesti nolla. ${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

Kvasianalyyttisen luokan elementtejä kutsutaan kvasianalyyttisiksi funktioiksi . Yllä oleva ehto tarkoittaa, että kaksi funktiota, jotka ovat jossain vaiheessa yhteneväisiä, sekä niiden derivaatat ovat kaikkialla yhtäläisiä. Toisin sanoen funktion arvot mielivaltaisen pienellä alueella määräävät täysin sen kaikki arvot.

Useiden muuttujien funktiot

Funktiolle ja indeksijoukolle merkitsemme: $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n))$

{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n))

D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \ osittainen x_{n}^{j_{n}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.

Silloin sitä kutsutaan kvasi -analyyttiseksi avoimessa toimialueella , jos jokaiselle kompaktille on olemassa vakio , joka: $f$ $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ $K\subset U$ $A$

\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}

kaikille joukon indekseille ja kaikissa pisteissä . $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $x\in K$

Muuttujien kvasi-analyyttisten funktioiden luokka joukon sekvenssin suhteen voidaan merkitä merkillä , vaikka lähteissä on muitakin merkintöjä. $n$ $M$ $U$ $C_{n}^{M}(U)$

Kvasianalyyttiset luokat logaritmisesti kuperalle sekvenssille

Oletetaan, että yllä olevassa määritelmässä , ja sekvenssi on ei- laskeva. Tämän sekvenssin sanotaan olevan logaritmisesti kupera , jos ehto täyttyy: $M_{1}=1$ $M_{k}$

Sarja kasvaa.

{M_{k+1} \over M_{k}}

Jos sekvenssi on logaritmisesti kupera, niin: $M_{k}$

{\näyttötyyli (M_{k})^{1/k))

myös lisääntyy.

M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}

kaikille .

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

Logaritmisesti konveksille kvasianalyyttinen luokka on rengas . Erityisesti se on suljettu kertolaskussa ja koostumuksessa . Jälkimmäinen tarkoittaa: $M$ $C_{n}^{M}$

Jos ja , niin sitten .

{\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p))

{\displaystyle g\in C_{p}^{M))

{\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M))

Denjoy-Carlemanin lause

Denjoy-Carleman-lauseen muotoili ja osittain ratkaisi Arnaud Denjoy ( Denjoy (1921 )) ja täysin todennut Thorsten Carleman ( Carleman (1926 )). Tämä lause tarjoaa kriteerin sen päättämiselle, minkä sekvenssien M alla funktiot C M ([ a , b ]) muodostavat kvasi-analyyttisen luokan.

Lauseen mukaan seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja:

C M ([ a , b ]) on kvasi-analyyttinen luokka.
$\sum 1/L_{j}=\infty ,$ missä . $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$
$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$ missä M j * on suurin logaritmisesti konveksi sekvenssi, jonka yläpuolella rajoittaa M j .
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

Todistamaan, että väitteet 3, 4 ovat ekvivalentteja 2.:n kanssa, käytetään Carlemanin epäyhtälöä .

Esimerkki : Denjoy (1921 ) [3] huomautti, että jos annettiin jokin sarjoista $M_{n}$

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\pisteet ,

silloin vastaava luokka on kvasi-analyyttinen. Ensimmäinen sekvenssi (yksiköitä) antaa tavanomaiset analyyttiset funktiot.

Lisäominaisuudet

Logaritmisesti kuperalle sekvenssille pätevät seuraavat vastaavan funktioluokan ominaisuudet. $M$

$C^{M}$ sopii yhteen analyyttisten funktioiden luokan kanssa jos ja vain jos . $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
Jos on toinen logaritmisesti konveksi jono, jolle (tässä on jokin vakio), niin . $N$ ${\displaystyle M_{j}\leqslant C^{j}N_{j))$ $C$ $C^{M}\subset C^{N}$
$C^{M}$ stabiili erottelun suhteen jos ja vain jos . $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
Kaikille äärettömästi differentioituville funktioille voidaan löytää kvasi-analyyttisiä renkaita ja elementtejä , jotka ovat . $f$ $C^{M}$ $C^{N}$ $g\in C^{M},h\in C^{N}$ $f=g+h$

Jako Weierstrassin mukaan

määritelmä . Toiminnon sanotaan olevan säännöllinen järjestyksessä jos ja . $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $d$ $x_{n}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d))$ $h(0)\neq 0$

Antaa olla säännöllinen järjestysfunktio suhteessa . Sanotaan, että muuttujien todellisten tai monimutkaisten funktioiden rengas täyttää Weierstrassin jaon sen suhteen, onko jokaiselle olemassa myös sellainen, että: $g$ $d$ $x_{n}$ $A_{n}$ $n$ $g$ $f\in A_{n}$ $q\in A$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1))$

f=gq+h

, missä .

{\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j))

Esimerkki : Analyyttisten funktioiden rengas ja muodollisen potenssisarjan rengas täyttävät Weierstrassin jakoominaisuuden. Jos kuitenkin on logaritmisesti kupera eikä ole sama kuin analyyttisten funktioiden luokka, se ei täytä Weierstrass-jaon ominaisuutta suhteessa . $M$ $C^{M}$ $C^{M}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2))$

Historia

Tämän aiheen avainkysymys on analyyttisen funktion kyky palauttaa ainutlaatuisesti "globaali ilmeensä" funktion itsensä ja sen johdannaisten arvoista mielivaltaisessa säännöllisessä pisteessä [4] . Émile Borel havaitsi ensimmäisenä, että tämä ominaisuus ei koske vain analyyttisiä toimintoja.

Vuonna 1912 Jacques Hadamard muotoili kysymyksen: mikä pitäisi olla yllä olevan " yksilöllisyysehdon " sekvenssi, joka pätee mille tahansa vastaavan luokan funktioparille. Arnaud Denjoy antoi vuonna 1921 riittävät edellytykset kvasi-analyyttisille luokille ja joukon esimerkkejä kvasianalyyttisistä luokista (katso Denjoy (1921 )). Täydellisen ratkaisun ongelmaan antoi viisi vuotta myöhemmin Thorsten Carleman (katso Carleman (1926 )), joka loi välttämättömät ja riittävät ehdot kvasi-analyyttiselle [1] . $M_{n},$

Myöhemmin S. N. Bernshtein ja S. Mandelbroit yleistivät kvasi-analyyttisuuden käsitteen ei-differentioituvien ja jopa epäjatkuvien funktioiden luokkiin. Yksinkertaisin esimerkki on sarja lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisuja jatkuvilla kertoimilla; tähän ratkaisuun sisältyvillä funktioilla ei yleisesti ottaen ole ääretöntä määrää derivaattoja [5] ..

Muistiinpanot

↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1979 , s. 798.
↑ Mandelbroit, 1937 , s. 10-12.
↑ Leontiev, 2001 .
↑ Mandelbroit, 1937 , s. 9-11.
↑ Gorny, 1938 , s. 171.

Kirjallisuus

Gorny A. Kvasianalyyttiset funktiot // Matemaattisten tieteiden edistysaskel . - M. , 1938. - Nro 5 . — S. 171–186 .
Leontiev A.F. Kvasiananalyyttinen funktioluokka // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1979. - T. 2. - S. 798-800.
Mandelbroit S. Kvasianalyyttiset funktioiden luokat. - M. - L .: ONTI NKTP, 1937.
Mandelbroit S. Vierekkäiset sarjat, sekvenssien regularisointi. Sovellukset, käänn. ranskasta, Moskova: Ulkomainen kirjallisuus, 1955.
Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars (fr.)
Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, CR Acad. sci. Paris T. 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), Lineaaristen osittaisten differentiaalioperaattoreiden analyysi I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. Kvasi -analyyttinen luokka // Hazewinkel, Michiel . Matematiikan tietosanakirja. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Linkit

Cohen, Paul J. (1968), Yksinkertainen todiste Denjoy-Carlemanin lauseesta , The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). — T. 75 (1): 26–31, ISSN 0002-9890 , DOI 10.2307/2315100