Tiivistä (geometria)

Collapsi on eräänlainen tilasarja, tavallisesti Riemannilainen monisto , joka muuttaa merkittävästi paikallista rakennetta (erityisesti menettää ulottuvuuden) siirtyessään rajaan.

Määritelmä

On olemassa useita ei-vastaavia määritelmiä romahtamisesta.

Täyttösäteen kautta

Suljettujen Riemannin monistoputkien sarja romahtaa, jos niiden täyttösäteet pyrkivät nollaan.

Mittahäviön kautta

Oletetaan, että -ulotteisten Riemannin monistojen sekvenssin kaarevuus rajoittuu alapuolelle ja se konvergoi Alexander-avaruuteen Gromov-Hausdorffin mielessä . Jos tässä tapauksessa ulottuvuus on ehdottomasti pienempi kuin , sen sanotaan romahtavan arvoon . $m$ $M_{n}$ $A$ $A$ $m$ $M_{n}$ $A$

Eroa kutsutaan romahduksen koodiulottuvuudeksi. $m-\dim A$

Esimerkkejä

Litteän tori -jono isometrinen pituus ympyrän ja yksikköympyrän tuloon nähden romahtaa yksikköympyrään. Tässä tapauksessa sekvenssi konvergoi ympyräksi Gromov-Hausdorffin mielessä . $T_{n}$ ${\tfrac {1}{n))$ $T_{n}$

Ominaisuudet

Oletetaan, että sarja yksinkertaisesti yhdistettyjä -ulotteisia Riemannin monistoja , joilla on poikkileikkauksen kaarevuus , romahtaa koodiulottuvuuden kanssa . Sitten sallii tehokkaan -ulotteisen toruksen toiminnan kaikille suurille kiertoradoille, joiden halkaisija pyrkii nollaan. $m$ $M_{n}$ $|K(M_{n})|\leq 1$ $k$ $M_{n}$ $k$ $n$

Katso myös

Melkein litteä monisto on monisto, joka sallii joukon rajatun kaarevuuden Riemannin mittareita, jotka romahtavat yhteen pisteeseen.

Kirjallisuus

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrinen geometrian kurssi. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .