Gromov-Hausdorff-metriikka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Gromov-Hausdorff-metriikka on tapa määrittää kahden kompaktin metrialueen välinen etäisyys . Tarkemmin sanottuna se on kompaktien metristen avaruuksien isometristen luokkien metriikka.

Tämän mittarin esitteli Edwards vuonna 1975 [1] [2] ja sitten M. L. Gromov löysi sen uudelleen ja yleisti vuonna 1981 [3] . Gromov käytti tätä metriikkaa todistaessaan lauseen polynomikasvun ryhmistä .

Määritelmä

Gromov-Hausdorffin etäisyys kompaktien metriavaruuksien isometristen luokkien välillä ja se määritellään pienimmäksi Hausdorffin etäisyyksistä niiden kuvien välillä globaalisti isometristen upotusten alla ja yhteisessä metriavaruudessa . Tässä tapauksessa infimum otetaan sekä kaikkien globaalisti isometristen upotusten että kaikkien tilojen yli . $X$ $Y$ $X\hookrightarrow Z$ $Y\hookrightarrow Z$ $Z$ $Z$

Vastaavasti Gromov-Hausdorff-etäisyys voidaan määritellä Hausdorffin välisten etäisyyksien pienimmäksi arvoksi hajaliitossa, joka on varustettu metriikalla siten , että rajoitus on sama kuin metriikka päällä ja rajoitus on sama kuin metriikka on . Tässä tapauksessa tarkka alaraja otetaan huomioon kaikki tällaiset tiedot . $X$ $Y$ $X\sqcup Y$ $\rho$ $\rho$ $X$ $X$ $\rho$ $Y$ $Y$ $\rho$

Kommentit

Usein sanat "isometrinen luokka" jätetään pois, toisin sanoen "isometristen luokkien välinen Gromov-Hausdorff-etäisyys " ja "he sanovat "Gromov-Hausdorff-etäisyys välillä ja " sijaan. $X$ $Y$ $X$ $Y$
Etäisyys isometristen luokkien ja välillä on yleensä merkitty tai . $X$ $Y$ $d_{GH}(X,Y)$ $|X,Y|_{GH}$
Gromov-Hausdorff-metriikalla varustettujen kompaktien metriavaruuksien isometristen luokkien joukko on yleensä merkitty , tai . $GH$ ${\mathcal {M}}$ $\mathfrak{M}$
Oikea metristen avaruuksien luokka isometreihin asti on merkitty . ${\mathcal {GH))$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kompaktien metriavaruuksien isometristen luokkien sarja konvergoi kompaktin metriavaruuden isometriseen luokkaan, jos $X_n$ ${\displaystyle X_{\infty ))$ $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0$ $n\to\infty$

Ominaisuudet

Metrinen avaruus on polkuun yhdistetty , täydellinen , erotettavissa oleva . $GH$
- Lisäksi on
geodeettinen [4] ; eli mitkä tahansa kaksi sen pistettä on yhdistetty lyhyimmällä käyrällä, jonka pituus on yhtä suuri kuin näiden pisteiden välinen etäisyys. $M$

Gromov-Hausdorff-avaruus on maailmanlaajuisesti epähomogeeninen; eli sen isometriaryhmä on triviaali [5] , mutta paikallisesti on olemassa monia ei-triviaaleja isometrioita [6] .

GH

Avaruus on isometrinen Urysohn -avaruuden kompaktien osajoukkojen kongruenssiluokkien avaruuteen Hausdorffin metriikan kanssa liikkeeseen asti . [7]

GH

{\mathcal {U}}

{\mathcal {U}}

Mikä tahansa täysin tasaisesti rajattu metriavaruuksien perhe on suhteellisen kompakti Gromov-Hausdorff-metriikassa.

Metristen avaruuksien perheen sanotaan olevan täysin tasaisesti rajattu, jos tämän perheen kaikkien avaruuksien halkaisijat ovat saman vakion rajoittamia, ja jokaiselle on olemassa positiivinen kokonaisluku siten, että mikä tahansa väli sallii enintään pisteen -verkon. $X$ $\varepsilon > 0$ $N(\varepsilon)$ $X$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$
Tämä ominaisuus viittaa erityisesti Gromovin kompaktisuuslauseeseen , joka on analoginen Blaschken Hausdorffin metriikan valintalauseen kanssa.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Määritelmässä on mahdollista korvata tiiviys halkaisijan äärellisyydellä, mutta tässä tapauksessa määritetään metriikka objektiluokalle (eikä joukolle). Toisin sanoen muodollisesti kaikkien isometristen metriavaruuksien, joiden halkaisija on äärellinen, luokka , joka on varustettu Gromov-Hausdorffin metriikalla, ei ole metriavaruus.
Jos annamme metriikan ottaa arvon , voimme myös kieltäytyä halkaisijan äärellisyydestä. $\infty$

Muistiinpanot

↑ D. Edwards, " The Structure of Superspace Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa ", julkaisussa "Studies in Topology", Academic Press, 1975
↑ A. Tuzhilin, " Kuka keksi Gromov-Hausdorffin etäisyyden?" Arkistoitu 20. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa (2016)", arXiv: 1612.00728
↑ M. Gromov, Polynomikasvun ryhmät ja laajeneva kartat, julkaisut mathematiques IHÉ.S. , 53, 1981 Arkistoitu 29. marraskuuta 2016.
↑ A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic , arXiv:1504.03830 , < http://arxiv.org/pdf/1504.0383 . >
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space , arXiv:1806.02100 , < https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf > Arkistoitu 13. kesäkuuta 2018 Wayback Machinessa
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Gromov–Hausdorff-avaruuden paikallinen rakenne lähellä äärellisiä metriavaruuksia yleisasemassa , arXiv:1611.04484 , < https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf > Arkistoitu 13. kesäkuuta 2018 Wayback Machinessa
↑ A. Petrunin. Puhdas metrinen geometria : johdantoluennot . — 2020. arXiv : 2007.09846

Kirjallisuus

M. Gromov . Structures metriques pour les variétés riemanniennes, toimittajina Lafontaine ja Pierre Pansu, 1981.
M. Gromov. Riemannin ja ei-Riemannisten tilojen metriset rakenteet , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (käännös lisäsisällöllä).
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Metrisen geometrian kurssi. - M., Izhevsk: Computer Research Institute, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .