Koszul-kompleksi

Koszul-kompleksin esitteli ensimmäisenä matematiikassa Jean-Louis Koszul [ määrittääkseen Lie-algebroiden kohemologiateorian . Myöhemmin se osoittautui hyödylliseksi homologisen algebran yleiseksi rakentamiseksi . Sen homologiaa voidaan käyttää määrittämään, onko renkaan elementtien sarja M -säännöllinen , ja sen seurauksena sitä voidaan käyttää todistamaan moduulin tai ihanteen perussyvyysominaisuudet .

Määritelmä

Olkoon R kommutatiivinen rengas ja E vapaa R - moduuli , jolla on äärellinen r . Merkitään E :n i : nnellä ulkoisella teholla . Sitten R -lineaarisessa kuvauksessa s:hen liittyvä Koszul-kompleksi on R - moduulien ketjukompleksi $\wedge ^{i}E$ $s:E\to R$

K_{\bullet }(s):0\to \wedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}E\to \cdots \ \wedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0,

jossa differentiaali d k on annettu säännöllä: mille tahansa e i :lle arvosta E

{\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{ i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i))}\wedge \cdots \wedge e_{k))

Yläindeksi tarkoittaa, että tekijä ohitetaan. ${\widehat {\cdot ))$

Huomaa, että ja . Huomaa myös, että ; tämä isomorfismi ei ole kanoninen (esimerkiksi tilavuuden muodon valinta differentiaaligeometriassa on esimerkki tällaisesta isomorfismista). $\wedge ^{1}E=E$ $d_{1}=s$ $\wedge ^{r}E\simeq R$

Jos E = R r (eli kanta valitaan), R -lineaarisen kuvauksen s määrittäminen : R r → R vastaa R :n (rivivektori) elementtien äärellisen sekvenssin s 1 , …, s r määrittämistä. ja tässä tapauksessa merkitse $K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).$

Jos M on äärellisesti generoitu R -moduuli, laitetaan

K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M

Koszul-kompleksin i :s homologia

\operaattorinnimi {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operaattorin nimi {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operaattorinnimi {im} (d_ {i+1}\otimes 1_{M})

kutsutaan i:nneksi Koszul-homologiaksi . Esimerkiksi jos E = R r ja on R :n alkioiden rivivektori, niin Koszul-kompleksin differentiaali on $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M))$

s:M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{ r}

\operaattorin nimi {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1} ,\pisteet ,s_{r})\otimes _{R}M.

Myös

\operaattorin nimi {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r }m=0\}=\operaattorinimi {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).

Pienikokoiset Koszul-kompleksit

Kun annetaan renkaan R alkio x ja R - moduuli M , kertominen x : llä antaa R - moduulien homomorfismin

M\to M.

Kun sitä tarkastellaan ketjukompleksina (keskittynyt potenssiin 1 ja 0), se on merkitty . Sen homologia on $K(x,M)$

H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)=\{m\in M,xm= 0\},

Siten Koszul-kompleksi ja sen homologia tallentavat perustietoa x :llä kertomisen ominaisuuksista .

Ketjukompleksia K • ( x ) kutsutaan renkaan R alkion x Koszul-kompleksiksi . Jos x 1 , x 2 , …, x n ovat R :n alkioita, sekvenssin x 1 , x 2 , …, x n Koszul-kompleksi, jota yleensä merkitään K • ( x 1 , x 2 , …, x n ) , on kompleksien Koszul tensoritulo jokaiselle i :lle . $K_{\bullet }(x_{1})\otimes K_{\bullet }(x_{2})\otimes \cdots \otimes K_{\bullet }(x_{n})$

Koszul-kompleksi pariskunnalle on muotoiltu $(x,y)\in R^{2}$

0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,

jossa matriisit ja annetaan muodossa $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.

Tällöin asteen 1 syklit ovat täsmälleen lineaarisia suhteita elementtien x ja y välillä , kun taas rajat ovat triviaaleja suhteita. Ensimmäinen Koszul-homologia H 1 ( K • ( x , y )) kuvaa siis suhteita modulo triviaaleja suhteita.

Siinä tapauksessa, että elementit x 1 , x 2 , …, x n muodostavat säännöllisen sekvenssin, kaikki korkeampi Koszul-homologia katoaa.

Esimerkki

Jos k on kenttä, X 1 , X 2 , …, X d ovat tuntemattomia ja R on polynomirengas k [ X 1 , X 2 , …, X d ], Koszul-kompleksi K • ( X i ) sekvenssi X i on konkreettinen esimerkki R - moduulin k vapaasta resoluutiosta .

Kirjallisuus

David Eisenbud , kommutatiivinen algebra. Algebrallista geometriaa silmällä pitäen, Graduate Texts in Mathematics, osa 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8