Friedmanin kriteeri

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Friedman -testi [1] ( eng. Friedman-testi ) on ei-parametrinen tilastollinen testi , jonka on kehittänyt amerikkalainen taloustieteilijä Milton Friedman . Se on Wilcoxon-kriteerin yleistys, ja sitä käytetään vertaamaan mittausolosuhteita ( ) kohteille (kohteita) yksittäisten mittausarvojen mukaiseen järjestykseen [2] . Varianssianalyysin ei-parametrinen analogi toistuvilla mittauksilla ANOVA . $c$ $c\geqslant 3$ $n$

Haaste

Annettu näyte mittauksista kullekin aiheelle , joka voidaan esittää taulukon muodossa [2] [3] : $c$ $n$

	Ehdot
kohteen numero	$yksi$	$2$	$\pisteet$	$c$
$yksi$	$x_{11}$	$x_{21}$	$\pisteet$	${\näyttötyyli x_{c1))$
$2$	${\näyttötyyli x_{12))$	$x_{22}$	$\pisteet$	${\näyttötyyli x_{c2))$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	$x_{1n}$	$x_{2n}$	$\pisteet$	${\näyttötyyli x_{cn))$

Nollahypoteesina pidetään seuraavaa: "eri olosuhteissa saatujen mittausten välillä on vain satunnaisia eroja" [2] . Merkitystaso valitaan esimerkiksi ( nollahypoteesin virheellisen hylkäämisen todennäköisyys ). $H_{0}$ $\alpha$ $\alpha =0,01$

Hypoteesin testaus

Ensin saadaan taulukko riveittäin , josta saamme kohteen arvot järjestettäessä [3] : $r_{{ij}}$ $x_{ij}$ ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{cj))$

	Sijoitukset
kohteen numero	$yksi$	$2$	$\pisteet$	$c$
$yksi$	$r_{11}$	$r_{21}$	$\pisteet$	${\displaystyle r_{c1))$
$2$	$r_{12}$	$r_{22}$	$\pisteet$	${\displaystyle r_{c2))$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$n$	${\displaystyle r_{1n))$	${\displaystyle r_{2n))$	$\pisteet$	${\displaystyle r_{cn))$

Hankimme tasojen summat ja otamme käyttöön muita merkintöjä:

{\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij))

{\bar {R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}

{\bar {\bar {R}}}={\frac {c+1}{2}}

Hypoteesin testaamiseksi käytämme kriteerin empiiristä arvoa - tilastot :

S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\ baari{R}}})^{2}

joka voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:

S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)

Nollahypoteesi hyväksytään, jos kriteerin kriittinen arvo ylittää empiirisen arvon:

S<S_{\alpha }(n,c)

Pienille arvoille ja kriittiselle Friedman-arvolle on taulukot eri merkitsevyystason (tai luottamustason [3] ) arvoille. $n$ $c$ $\alpha$ $1-\alfa$

Approksimaatiota voidaan soveltaa ja - chi - neliöjakauman kvantiiliin vapausasteilla [ 3] : $n\geqslant 13$ $c\geqslant 20$ $\alpha$ $c-1$

S_{\alpha }(n,c)\noin \chi _{\alpha }^{2}(c-1)

Joillekin pienille arvoille tilastot voidaan muuntaa likimääräiseksi Fisher- jakauman kvantiiliksi tai soveltaa Iman-Davenport -tilastoa [3] . $\alpha$

Esimerkkejä

Esimerkkejä klassisista sovelluksista:

$n$ maistajat arvioivat erilaisia viinejä. Onko viineillä merkittäviä eroja?
Hitsaajien hitsauspolttimilla tekemien hitsien laatu arvioitiin. Onko polttimissa laadussa eroja? $n$ $c$

Post hoc -analyysi

Post- hoc - analyysiä ehdottivat Shaikh ja Hamerly (1984) [4] sekä Conover (1971, 1980) [5] määrittääkseen, mitkä olosuhteet eroavat merkittävästi toisistaan, perustuen niiden keskiarvojen eroihin [ 6 ] ] .

Ohjelmiston toteutus

Friedman-testi sisältyy useisiin tilastollisen tiedonkäsittelyn ohjelmistopaketteihin ( SPSS , R [7] ja muut [8] ).

Kaikki tilastopaketit eivät tue Friedman-testin post hoc -analyysiä, mutta koodi löytyy esim. SPSS:lle [9] ja R [10] .

Muistiinpanot

↑ Kobzar A. I. ("Applied Mathematical Statistics") kutsuu tätä kriteeriä Friedman-Kendall-Babbington Smithin kriteeriksi
↑ 1 2 3 Afanasiev, Sivov, 2010 .
↑ 1 2 3 4 5 Kobzar, 2006 .
↑ Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berliini: Springer. ISBN 3-540-13776-9 .
↑ Conover, WJ (1971, 1980). Käytännön ei-parametriset tilastot. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3 .
↑ Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berliini: Springer. ISBN 3-540-67590-6 .
↑ Friedman Rankin summatesti . Haettu 22. marraskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 9. tammikuuta 2019. (määrätön)
↑ Friedmanin testi . Käyttöpäivä: 22. marraskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 29. heinäkuuta 2014. (määrätön)
↑ Post-hoc-vertailut Friedman-testille (downlink) . Haettu 10. marraskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 3. marraskuuta 2012. (määrätön)
↑ Post hoc -analyysi Friedmanin testille (R-koodi) . Haettu 10. marraskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 13. marraskuuta 2012. (määrätön)

Kirjallisuus

Afanasiev V. V., Sivov M. A. Matemaattiset tilastot pedagogiikassa . - Jaroslavl: YaGPU Publishing House, 2010. - S. 63 -65. - 76 s. - ISBN 978-5-87555-366-0 .
Kobzar AI Applied Matemaattiset tilastot. Insinööreille ja tutkijoille. — M .: Fizmatlit , 2006. — S. 484-486. — 816 s. — ISBN 5-9221-0707-0 .
Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. Ei-parametriset tilastomenetelmät . - New York: John Wiley & Sons, 1973. - 503 s. — s . 139–146 . — ISBN 9780471406358 .
Friedman, Milton . Luokkien käyttö varianssianalyysin implisiittisen normaaliuden oletuksen välttämiseksi // Journal of the American Statistical Association : Journal. - American Statistical Association, 1937. - joulukuu ( nide 32 , nro 200 ). - s. 675-701 . - doi : 10.2307/2279372 . — .
Friedman, Milton. Korjaus: Ristelukujen käyttö varianssianalyysin implisiittisen normaaliuden oletuksen välttämiseksi // Journal of the American Statistical Association : Journal. - American Statistical Association, 1939. - maaliskuu ( nide 34 , no. 205 ). - s. 109 . - doi : 10.2307/2279169 . — .
Friedman, Milton. Vaihtoehtoisten testien vertailu m ranking -ongelman kannalta // The Annals of Mathematical Statistics : päiväkirja. - 1940. - Maaliskuu ( osa 11 , nro 1 ) . - s. 86-92 . - doi : 10.1214/aoms/1177731944 . — .