Vääntö (algebra)

Yleisessä algebrassa termi vääntö viittaa ryhmän elementteihin , joilla on äärellinen järjestys, tai moduulin elementtejä, jotka renkaan säännöllinen elementti tuhoaa.

Määritelmä

Ryhmän G alkiota g kutsutaan vääntöelementiksi, jos sillä on äärellinen kertaluku , eli on olemassa luonnollinen luku n , jossa g n = e , missä e on ryhmän neutraali alkio . Ryhmää kutsutaan jaksolliseksi (tai vääntöryhmäksi ), jos kaikki sen elementit ovat vääntöelementtejä, ja vääntövapaaksi ryhmäksi, jos ainoa vääntöelementti on neutraali. Tiedetään, että mikä tahansa Abelin ryhmä on kokonaislukurenkaan yläpuolella oleva moduuli ; erityisesti sen vääntöelementin määritelmä voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: on olemassa nollasta poikkeava kokonaisluku siten, että kertominen tällä luvulla tekee tämän elementin nollaan. Tämä motivoi seuraavaa määritelmää:

Moduulin M alkiota m renkaan R päällä kutsutaan vääntöelementiksi, jos renkaassa R on nollasta poikkeava säännöllinen elementti r (eli alkio, joka ei ole vasen tai oikea nollan jakaja ), joka tuhoaa m , eli siten, että rm = 0. Kun kyseessä on integraalirengas , säännöllisyyden oletus voidaan hylätä. Vääntömoduuli ja vääntövapaa moduuli määritellään samalla tavalla . Siinä tapauksessa, että rengas R on kommutatiivinen , moduulin M kaikkien vääntöelementtien joukko muodostaa alimoduulin, jota kutsutaan vääntöalamoduuliksi (erityisesti Z :n yläpuolella olevaa moduulia kutsutaan vääntöalaryhmäksi ).

Yleisemmin ottaen olkoon M moduuli R :n yläpuolella ja S renkaan multiplikatiivisesti suljettu järjestelmä . Moduulin M elementtiä m kutsutaan S-vääntöelementiksi , jos multiplikatiivisessa järjestelmässä on elementti, joka tuhoaa m :n . Erityisesti renkaan säännöllisten elementtien joukko on suurin kertova järjestelmä.

Esimerkkejä

Olkoon M vapaa moduuli renkaan R päällä , määritelmästä seuraa heti, että M on vääntövapaa moduuli. Erityisesti vektoriavaruudet ovat vääntövapaita.
Modulaarisessa ryhmässä millä tahansa ei - triviaalilla vääntöelementillä on joko kertaluku 2 ja se on konjugoitu S :ään tai luokkaa 3 ja se on konjugoitu ST :ään . Vääntöelementit eivät tässä muodosta alaryhmää: esimerkiksi S · ST = T , ja T :llä on ääretön järjestys.
Abelin ryhmä (jota voidaan pitää ympyrän kiertojen ryhmänä ympyrän kehän kanssa verrannollisen kulman läpi) on vääntöryhmä. Tämä esimerkki voidaan yleistää seuraavasti: jos R on kommutatiivinen rengas ja Q on sen osamääräkenttä , niin Q/R on vääntöryhmä. $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
Olkoon vektoriavaruus V annettu kentän F yli lineaarioperaattorilla . Jos tätä avaruutta pidetään luonnollisesti F(x) -moduulina, niin tämä moduuli on vääntömoduuli (Hamilton-Cayley-lauseen mukaan tai yksinkertaisesti siksi, että avaruus on äärellisulotteinen).

Pääihanteiden alueen tapaus

Olkoon R pääideaalialue ja M äärellisesti generoitu R - moduuli. Vastaavan rakennelauseen mukaan tämä moduuli voidaan hajottaa suoraksi summaksi

M\simeq F\oplus T(M),

missä F on vapaa R - moduuli ja T ( M ) on M :n vääntöosamoduuli . Moduuleille, joita ei generoida äärellisesti, tällaista hajotusta ei yleisesti ottaen ole olemassa: edes Abelin ryhmän vääntöalaryhmä ei välttämättä ole suora summa.

Vääntö ja lokalisointi

Olkoon R eheysalue, jossa on murtolukukenttä Q , ja M R - moduuli. Sitten voidaan harkita Q -moduulia (eli vektoriavaruutta)

M_{Q}=M\otimes _{R}Q.

On olemassa luonnollinen homomorfismi Abelin ryhmästä M Abelin ryhmään M Q , ja tämän homomorfismin ydin on täsmälleen vääntöalamoduuli. Samoin renkaan R lokalisoimiseksi suhteessa kertovaan järjestelmään S $a\mapsto a\otimes 1$

M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},

luonnollisen homomorfismin ydin on täsmälleen S - torsion elementit. Siten vääntöalamoduuli voidaan ymmärtää niiden elementtien joukkona, jotka tunnistetaan lokalisoinnin aikana.

Vääntö homologisessa algebrassa

Vääntökäsitteellä on tärkeä rooli homologisessa algebrassa . Jos M ja N ovat moduuleja kommutatiivisen renkaan R yli , Tor-funktionaali tuottaa R -moduulien perheen Tor i ( M , N ). Lisäksi moduulin M S -torsion-moduuli on luonnollisesti isomorfinen Tor 1 :lle ( M , R S / R ). Erityisesti tästä seuraa välittömästi, että litteät moduulit ovat vääntövapaita moduuleja. Nimi Tor on lyhenne englannin kielestä torsion (torsion).

Kirjallisuus

Ernst Kunz , Johdatus kommutatiiviseen algebraan ja algebralliseen geometriaan, Birkhauser 1985 - ISBN 0-8176-3065-1
Irving Kaplansky , Äärettömät Abelin ryhmät, Michiganin yliopisto, 1954.
Michiel Hazewinkel (2001), Vääntöalamoduuli , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer - ISBN 978-1-55608-010-4