Jaksottainen ryhmä

Jaksollinen ryhmä on ryhmä , jossa jokaisella elementillä on äärellinen järjestys . Kaikki äärelliset ryhmät ovat jaksollisia. Jaksottaisen ryhmän käsitettä ei pidä sekoittaa syklisen ryhmän käsitteeseen .

Jaksollisen ryhmän eksponentti (tai jakso ) on elementtijärjestyksen pienin yhteinen kerrannainen , jos sellainen on. Jokaisella äärellisellä ryhmällä on eksponentti - tämä on luvun jakaja . $G$ $G$ $|G|$

Yksi ryhmäteorian avainongelmista - Burnside-ongelma - on omistettu jaksollisten ryhmien ja äärellisten ryhmien välisen suhteen kysymykselle äärellisesti generoitujen ryhmien luokassa , pääkysymys on, seuraako ryhmän rajallisuus ryhmän olemassaolosta. eksponentti (yleisessä tapauksessa vastaus on negatiivinen).

Esimerkkejä äärettömistä jaksollisista ryhmistä ovat polynomirenkaan additiivinen ryhmä äärellisen kentän yli ja osamääräryhmä , kuten Prufer-ryhmä , on aliryhmä . Toinen esimerkki on kaikkien dihedraalisten ryhmien liitto . Yhdelläkään näistä ryhmistä ei ole äärellistä määrää generaattoreita, ja mikä tahansa jaksollinen lineaarinen ryhmä , jolla on äärellinen määrä generaattoreita, on äärellinen. Esimerkkejä äärettömistä jaksollisista ryhmistä, joissa on äärellinen määrä generaattoreita, rakensi Golod Shafarevitšin kanssa tehdyn yhteisen työn perusteella ( Golod -Shafarevich-lause ), sekä Aljoshin ja Grigorchuk käyttäen automaatioteoriaa . $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

Matemaattinen logiikka

Yksi jaksollisten ryhmien huomionarvoinen ominaisuus on, että niitä ei voida formalisoida ensimmäisen asteen logiikan avulla . Muussa tapauksessa vaadittaisiin lomakkeen aksiooma:

\forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )

sisältää äärettömän disjunktion ja siksi sitä ei voida hyväksyä. On mahdotonta kiertää tätä ääretöntä disjunktiota käyttämällä ääretöntä määrää aksioomia - kompaktisuuslauseesta seuraa, ettei mikään ensimmäisen asteen kaavojen joukko voi kuvata jaksollisten ryhmien luokkaa [1] .

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Abelin ryhmän vääntöalaryhmä on alaryhmä , joka koostuu kaikista äärellisen järjestyksen alkioista. Abelin vääntöryhmä on Abelin ryhmä, jossa jokaisella elementillä on äärellinen järjestys. Vääntövapaa Abelin ryhmä on Abelin ryhmä, jossa identiteettielementti on ainoa äärellisen järjestyksen elementti. $A$

Katso myös

Vääntö (algebra)
Jordan-Schurin lause

Muistiinpanot

↑ Ebbinghaus, Flume, Thomas 1994 , s. viisikymmentä.

Kirjallisuus

Golod E. S. Nolla -algebroista ja äärellisesti approksimoitavista p-ryhmistä // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemian ser. Mat.. - 1964. - V. 28 , no. 2 . - S. 273-276 .
Aleshin S. V. Äärilliset automaatit ja Burnside-ongelma jaksollisissa ryhmissä // Math. muistiinpanoja. - 1972. - T. 11 , no. 3 . — S. 319–328 .
Grigorchuk R. I. Burnside-ongelmasta jaksollisissa ryhmissä // Funct. analyysi ja sen sovellukset - 1980. - V. 14 , no. 1 . - S. 53-54 .

Grigorchuk R. I. Äärillisesti muodostettujen ryhmien kasvuasteet ja invarianttien keskiarvojen teoria // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemian ser. Mat.. - 1984. - T. 48 , no. 5 . — S. 939–985 .

H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. matemaattinen logiikka. - 2. painos, 4. pr.. - New York [ua]: Springer, 1994. - ISBN 978-0-387-94258-2 .