Ryhmätehtävä

Ryhmän määrittäminen ryhmäteoriassa on yksi menetelmistä ryhmän määrittämiseksi määrittämällä generaattorijoukko ja joukko relaatioita generaattoreiden välillä . Tässä tapauksessa ryhmällä sanotaan olevan tehtävä . $S$ $R$ $G$ $\langle S\mid R\rangle$

Epämuodollisesti sillä on tällainen tehtävä, jos se on "vapain " kaikista ryhmistä, jotka on luotu ja joihin kohdistuu elementtien välisiä suhteita . Muodollisemmin ryhmä on isomorfinen relaatiojoukon normaalin sulkemisen synnyttämän vapaan ryhmän tekijäryhmälle . $G$ $S$ $S$ $R$ $G$ $S$ $R$

Jokaisella ryhmällä on tehtävä ja lisäksi monia erilaisia tehtäviä; toimeksianto on usein tiiviin tapa määritellä ryhmä.

Ryhmätehtäviä tutkii ryhmäteorian erikoishaara - kombinatorinen ryhmäteoria .

Yksinkertaisin esimerkki ryhmän määrittämisestä on määrittää syklinen järjestysryhmä : $n$

\langle a\mid a^{n}\rangle .

Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa ryhmän elementti voidaan kirjoittaa asteeksi ja se on ryhmän neutraali elementti. $a$ ${\displaystyle a^{n))$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Äärillisesti annettu ryhmä (tai äärellisesti määritelty ryhmä ) on ryhmä, jolla on äärellinen määrä generaattoreita ja joka on määritelty näissä generaattoreissa äärellisellä määrällä suhteita .
Äärillisesti luotu ryhmä on ryhmä, jolla on äärellinen määrä generaattoreita . Jokainen äärellisesti annettu ryhmä luodaan äärellisesti.
Generaattorijoukon minimikardinaliteettia kutsutaan ryhmän arvoksi . $S$
- $s$ Ryhmän -rank on sen alaryhmän, joka on
-ensisijainen Abelin ryhmä , suurin sijoitus . $s$

Terminologia

Termi " tehtävä " ei ole täysin yleinen. Jotkut kirjat käyttävät [1] [2] termiä " ryhmä (geneettinen) koodi ". Voit myös tavata käsitteen " ryhmäesitys " tässä käsitellyssä mielessä [3] [4] [5] , sitä voidaan pitää englannin kielen käännöksenä. ryhmäesitys on kuitenkin moniselitteinen, koska termiä ryhmäesitys on laajalti käytetty niin sanotuille lineaarisille ryhmien esityksille - jälkimmäisillä ei ole mitään tekemistä tehtävän kanssa, ja lisäksi ne ovat jossain mielessä sen vastakohta.

Jälkimmäistä ajatellen tehtävää kutsutaan joskus myös " esittelyksi ". Tarkemmin sanottuna edellä mainittua vapaan ryhmän osamääräryhmän isomorfismia tarkasteltavana olevaan ryhmään voidaan kutsua esitykseksi . Etuliite "ko-" osoittaa tämän isomorfismin kaksinaisuuden suhteessa ryhmän esitykseen, "kun päinvastoin homomorfismia ei konstruoida "G:lle" vaan "G:stä" johonkin [hyvin tutkittu] ryhmä lineaarisia operaattoreita, permutaatioita jne. » [6] . $G$

Ominaisuudet

On olemassa lause, jonka mukaan mielivaltainen ryhmä on sopivan vapaan ryhmän tekijäryhmä jonkin normaalin alaryhmän suhteen , joten millä tahansa ryhmällä on tehtävä. Tehtävän ei tarvitse olla ainoa. On vaikea todistaa tai kumota, että kaksi tehtävää määrittävät saman ryhmän (vanha ongelman nimi on yksi Danin ongelmista). Yleensä tämä ongelma on algoritmisesti ratkaisematon . On olemassa useita ryhmien luokkia, joille on rakennettu algoritmi tämän ongelman ratkaisemiseksi. Neljän tyypin Tietze-muunnosten avulla voit siirtyä ryhmän tehtävästä toiseen: ensimmäinen Tietze-muunnos on vanhoista johdetun uuden suhteen lisääminen relaatioiden joukkoon; toinen Tietze-muunnos on uuden muuttujan käyttöönotto vanhoina muuttujina; kolmas ja neljäs Tietze-muunnos ovat käänteisiä ensimmäiselle ja toiselle vastaavasti. Kun otetaan huomioon ongelman algoritminen ratkaisemattomuus, Tietzen muunnosketjun löytäminen esityksestä toiseen on eräänlaista taidetta.

Kun otetaan huomioon ryhmä, on myös vaikea määrittää muita ryhmän ominaisuuksia, kuten sen järjestystä tai vääntöalaryhmää .

Esimerkkejä

Seuraavassa taulukossa luetellaan tapoja määrittää joitain yleisesti esiintyviä ryhmiä. Kussakin tapauksessa on muita mahdollisia tehtäviä.

Ryhmä	Harjoittele	Selitykset
Ilmainen ryhmä S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Vapaa ryhmä on "vapaa" siinä mielessä, että sitä ei rajoita mikään suhde.
Zn on syklinen ryhmä kertalukua n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D n on dihedraaliryhmä, jonka kertaluku on 2 n	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ tai $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r tarkoittaa rotaatiota, s symmetriaa
D ∞ on ääretön kaksitahoinen ryhmä	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Quaternion ryhmä Q 8	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1 \rangle$ tai $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Yleistetty kvaternioniryhmä Q 4 n	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .$
ilmainen abelin ryhmä S :llä	$\langle S\mid R\rangle$	R on kaikkien elementtien S kommutaattorien joukko
Symmetrinen ryhmä S n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\ sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$ tai $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ \|ij\| >1\rangle$	σ i on transpositio, joka vaihtaa i :nnen elementin i + 1:n kanssa.
Punosryhmä B n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i }=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i} \ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$	Ainoa ero symmetrisestä ryhmästä on suhteiden katoaminen . $\sigma _{i}^{2}=1$
Vaihteleva ryhmä A n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3 \leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$
Tetraedrin kiertoryhmä T ≅ A 4 _	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Oktaedrin rotaatioryhmä , O ≅ S 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Ikosaedrin kiertoryhmä , I ≅ A 5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Coxeter-ryhmä	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r n ovat heijastuksia monitahoisen pinnassa ja kohdassa , — jos pinnat eivät muodosta dihedristä kulmaa monitahossa $m_{ii}=1$ $m_{ij}\geqslant 2$ $i\neq j$ $m_{ij}=\infty$
Kolmioryhmä Δ( l , m , n )	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^ {m=1\alue$	a , b , c - heijastukset
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2, Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2; Z )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Modulaarinen ryhmä PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) on Z / 2Z :n ja Z / 3Z :n vapaa tulo
Tissit ryhmä F 4 (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}= (ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] - kommutaattori

Katso myös

ilmainen ryhmä

Linkit

↑ 1.3 // Yleinen algebra / L. A. Skornyakovin yleistoimituksella. - M . : Tiede. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1990. - T. 1. - 592 s.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet. - Lan, 2009.
↑ Bogopolsky O.V. Johdatus ryhmäteoriaan. - Moskova, Izhevsk: Tietokoneiden tutkimuslaitos, 2002.
↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorinen ryhmäteoria. - M .: Mir, 1980.
↑ Magnus W., Karras A., Solitaire D. Kombinatorinen ryhmäteoria. Ryhmien edustaminen generaattoreiden ja suhteiden kannalta. - M .: Nauka, 1974.
↑ Olshansky A. Yu. § 4 // Suhteiden määrittelyn geometria ryhmissä. - M . : Tiede. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1989. - 448 s.