Etäisyysmatriisi

Etäisyysmatriisi on neliömäinen objektien välinen matriisi (luokkaa n ), joka sisältää elementteinä metrisen tilan kohteiden väliset etäisyydet .

Ominaisuudet

Matriisin ominaisuudet heijastavat itse etäisyyksien ominaisuuksia [1] :

symmetria diagonaalin suhteen, eli ; $d_{ij} = d_{ji}$
etäisyyden identiteettiominaisuuden heijastus etäisyysmatriisissa ilmenee 0:n läsnäolossa matriisin diagonaalia pitkin, koska kohteen etäisyys itseensä on ilmeisesti 0, ja myös nolla-arvojen läsnä ollessa ehdottoman samanlaisille esineitä; $d_{ij}=0 \nuoli vasemmalle oikealle i = j$
etäisyysarvot matriisissa ovat aina ei-negatiivisia $d_{ij}\geqslant 0$
kolmion epätasa-arvo saa muodon kaikille Ja . $d_{ij}+d_{jk}\geqslant d_{ik}$ $i$ $j$ $k$

Yleisesti ottaen matriisi näyttää tältä:

\begin{bmatrix} 0 & \cdots & d_{1j} & \cdots & d_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ d_{i1} & \cdots & d_{ ij} & \cdots & d_{in} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ d_{n1} & \cdots & d_{nj} & \cdots & 0 \\ \end{ bmatrix}

Laajassa merkityksessä etäisyydet ovat heijastus sellaisesta käsitteestä kuin ero , joka on kaksoiskäsite samankaltaisuuden kanssa, ja eromatriisin elementit (yleisesti divergenssimatriisit) ovat duaalisia samankaltaisuusmatriisin elementtien kanssa ( yleensä konvergenssimatriisit ). Samankaltaisuusmitan ja eron suuren välinen suhde voidaan kirjoittaa muodossa , jossa F on eron mitta; K on samankaltaisuuden mitta. Siksi kaikki samankaltaisuusmitan ominaisuudet voidaan ekstrapoloida niitä vastaaviksi eromittauksiksi yksinkertaisella muunnolla ja päinvastoin. Visuaalisesti objektien väliset suhteet voidaan esittää käyttämällä graafiklusterointialgoritmeja . Voidaan sanoa, että etäisyyksiä käytetään paljon useammin kuin samankaltaisuusmittauksia: ne toteutetaan useammin tilastoohjelmissa ( Statistica , SPSS jne.) klusterianalyysimoduulissa . $F = 1 - K$

Etäisyydet

Tiedetään [2] , että Hermann Minkowskin ehdottama etäisyyksille on yleinen mitta :

d_{ij}=\left[\sum _{k=1}^{n}\left|x_{ik}-x_{jk}\right|^{p}\right]^{\frac { 1}{p}}.

Yllä oleva etäisyysperhe sisältää:

at p = 1 - " Manhattan distance " ("distance of city blocks", englantilainen city-block ) tai " -norm". Yleistetty Hamming-mitta [3] [4] joukkoteoreettisessa merkinnässä (normalisoinnin jälkeen) voidaan esittää absoluuttisen samankaltaisuuden kaksoismitana ja olla se . $l$ $d_{ij} = n(A) + n(B) - 2n(A \cap B)$
jos p = 2 , euklidinen etäisyys . Usein käytetään myös tämän etäisyyden neliötä.
kuten p → ∞ , se on sup-metriikka tai "dominanssi"-metriikka. Tunnetaan myös nimellä Chebyshev-etäisyys .

Tämän perheen ulkopuolella on käytettyjä etäisyyksiä. Tunnetuin on Mahalanobiksen etäisyys .

Mielenkiintoinen esimerkkinä samankaltaisuuden ja eron välisestä yhteydestä on myös Yurtsevin etäisyys , joka on kaksinkertainen Brown-Blanquen samankaltaisuusmitan kanssa [5] :

F_{\text{Yu}}=1-K_{\text{BB}}=1-{\frac {n(A\cap B)}{\max {\big (}n(A), n(B){\iso )))}={\frac {n(A)+n(B)-2n(A\cap B)+|n(A)-n(B)|}{n(A) )+n(B)-|n(A)-n(B)|}}.

Esimerkki

Tasossa on kuusi eri pistettä (katso kuva). Mittariksi valittiin euklidinen etäisyys pikseleinä .

Vastaava etäisyysmatriisi on yhtä suuri kuin

	a	b	c	d	e	f
a	0	184	222	177	216	231
b	184	0	45	123	128	200
c	222	45	0	129	121	203
d	177	123	129	0	46	83
e	216	128	121	46	0	83
f	231	200	203	83	83	0

Tuloksena oleva matriisi voidaan esittää lämpökartana . Tässä tummempi väri vastaa pienempää pisteiden välistä etäisyyttä.

Muistiinpanot

↑ Schrader, Yu. A. Mikä on etäisyys? . — M .: Fizmatgiz , 1963. — 76 s.
↑ Kim, J.-O. , Muller, C.W., Klekka , W.R. , Oldenderfer, M.S. , Blashfield, R.K. Factor, diskriminant and cluster analysis. - M. : Talous ja tilastot, 1989. - 215 s. — ISBN 5-279-00247-X .
↑ Sokal, R. R. , Sneath, P. H. A. Numeerisen taksonomian periaatteet . - San Francisco, Lontoo: W. H. Freeman and Co., 1963. — 359 s.
↑ Godron, M. Quelques applications de la conception de fréquence en ecologie végétale (ranska) // Oecol. Plant.. - 1968. - Voi. 3 , n o 3 . - s. 185-212 .
↑ Semkin, B. I. Erikokoisten sarjojen analyysimenetelmään vertailevassa kukkakaupassa // Komarov Readings. - 2009. - Ongelma. LVI . - S. 170-185 .

	a	b	c	d	e	f
a	0	184	222	177	216	231
b	184	0	45	123	128	200
c	222	45	0	129	121	203
d	177	123	129	0	46	83
e	216	128	121	46	0	83
f	231	200	203	83	83	0

	a	b	c	d	e	f
a	0	184	222	177	216	231
b	184	0	45	123	128	200
c	222	45	0	129	121	203
d	177	123	129	0	46	83
e	216	128	121	46	0	83
f	231	200	203	83	83	0

	a	b	c	d	e	f
a	0	184	222	177	216	231
b	184	0	45	123	128	200
c	222	45	0	129	121	203
d	177	123	129	0	46	83
e	216	128	121	46	0	83
f	231	200	203	83	83	0