Kapitsan heiluri

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. marraskuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Kapitzan heiluri on järjestelmä, joka koostuu painosta, joka on kiinnitetty kevyeen venymättömään pinnaan, joka on kiinnitetty tärisevään jousitukseen. Heiluri kantaa nimeä akateemikko ja Nobel-palkittu P. L. Kapitsa , joka vuonna 1951 rakensi teorian kuvaamaan tällaista järjestelmää [1] . Kiinteällä ripustuspisteellä malli kuvaa tavallista matemaattista heiluria , jolle on kaksi tasapainoasentoa: alapisteessä ja yläpisteessä. Tässä tapauksessa matemaattisen heilurin tasapaino yläpisteessä on epävakaa ja mikä tahansa mielivaltaisen pieni häiriö johtaa tasapainon menettämiseen.

Kapitza-heilurin hämmästyttävä ominaisuus on, että vastoin intuitiota heilurin käänteinen (pysty) asento voi olla vakaa jousituksen nopean tärinän sattuessa. Vaikka A. Stephenson [2] teki tällaisen havainnon jo vuonna 1908 , tällaisen vakauden syille ei ollut pitkään aikaan matemaattista selitystä. P. L. Kapitsa tutki kokeellisesti tällaista heiluria ja rakensi myös dynaamisen stabiloinnin teorian jakaen liikkeen "nopeisiin" ja "hitaisiin" muuttujiin ja ottamalla käyttöön tehokkaan potentiaalin. P. L. Kapitzan vuonna 1951 julkaistu teos [1] avasi uuden suunnan fysiikassa - värähtelymekaniikassa. PL Kapitsan menetelmää käytetään kuvaamaan värähtelyprosesseja atomifysiikassa , plasmafysiikassa ja kyberneettisessä fysiikassa . "Hidasta liikkeen komponenttia" kuvaava tehollinen potentiaali on kuvattu L. D. Landaun teoreettisen fysiikan kurssin osassa "mekaniikka" [3] .

Kapitzan heiluri on mielenkiintoinen myös siksi, että näin yksinkertaisessa järjestelmässä voidaan havaita parametrisiä resonansseja , kun alempi tasapainoasema ei ole enää vakaa ja heilurin pienten poikkeamien amplitudi kasvaa ajan myötä [4] . Myös suurella pakottavien värähtelyjen amplitudilla järjestelmässä voidaan toteuttaa kaoottisia tiloja, kun Poincarén osiossa havaitaan outoja attraktoreita .

Merkintä

Suunnataan akseli pystysuunnassa ylöspäin ja akseli vaakasuoraan siten, että heilurin tasoliike tapahtuu tasossa ( - ). Esitellään merkintä: $y$ $x$ $x$ $y$

$\nu$ on jousituksen pakottavien pystysuuntaisten harmonisten värähtelyjen taajuus,
$a$ on pakottavien värähtelyjen amplitudi,
$\omega _{0}={\sqrt {g/l))$ on matemaattisen heilurin värähtelyjen luonnollinen taajuus,
$g$ - painovoiman kiihtyvyys,
$l$ - valotangon pituus,
$m$ - kuorman paino.

Jos tangon ja akselin välinen kulma on merkitty , niin painon koordinaattien riippuvuus ajasta kirjoitetaan seuraavilla kaavoilla: $y$ $\varphi$

\left\{{\begin{aligned}x&=l\sin \varphi ,\\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t.\end{aligned}}\right.

Pendulum Energy

Heilurin potentiaalienergia gravitaatiokentässä saadaan painon pystyasennosta as

E_{\text{pot}}=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).

Kineettisessä energiassa on tavallisen matemaattisen heilurin liikettä kuvaavan termin lisäksi jousituksen värähtelyn aiheuttamia lisäkomponentteja: $E_{\text{kin}}=ml^{2}{\piste {\varphi }}^{2}/2$

E_{\text{kin}}={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t) \sin(\varphi ){\piste {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t).

Kokonaisenergia saadaan kineettisten ja potentiaalisten energioiden summana ja systeemin Lagrange saadaan niiden erotuksena . $E=E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}$ $L=E_{\text{kin}}-E_{\text{pot}}$

Matemaattiselle heilurille kokonaisenergia on säilynyt suuruus, joten liike-energia ja potentiaalienergia niiden aikariippuvuuden kuvaajassa ovat symmetrisiä vaakasuoran suoran suhteen. Viriaalisesta lauseesta seuraa , että keskimääräiset kineettiset ja potentiaaliset energiat harmonisessa oskillaattorissa ovat yhtä suuret. Siksi vaakaviiva, jonka suhteen on symmetria ja , vastaa puolta kokonaisenergiasta. $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$ $t$ $E_{\text{kin}}$ $E_{\text{pot}}$

Jos kardaani värähtelee, kokonaisenergia ei enää säily. Kineettinen energia on herkempi pakottavalle värähtelylle kuin potentiaalienergia. Potentiaalienergiaa rajoitetaan sekä ylhäältä että alhaalta: , kun taas kineettistä energiaa rajoitetaan vain alhaalta: . Korkeilla taajuuksilla kineettinen energia voi olla paljon suurempi kuin potentiaalienergia. $E_{\text{pot}}=mgy$ $-mg(l+a)<E_{\text{pot))<mg(l+a)$ $E_{\text{kin}}\geqslant 0$ $\nu$

Liikeyhtälö

Heilurin liike täyttää Euler-Lagrange-yhtälöt . Heilurin vaiheen riippuvuus ajasta määrää painon sijainnin [5] : $\varphi$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }} .

Differentiaaliyhtälö

{\ddot {\varphi }}=-(a\nu ^{2}\cos \nu t+g){\frac {\sin \varphi }{l)),

kuvaavat heilurin vaiheen kehitystä epälineaarisesti siinä olevan kertoimen vuoksi . Epälineaarisen termin läsnäolo voi johtaa kaoottiseen käyttäytymiseen ja outojen houkuttelevien tekijöiden esiintymiseen . $\sin \varphi$

Tasapainoasemat

Kapitzan heilurimalli on yleisempi kuin matemaattinen heilurimalli. Jälkimmäinen saadaan rajoittavassa tapauksessa . Matemaattisen heilurin vaihekuva tunnetaan hyvin. Koordinaattitasolla se on vain ympyrä . Jos alkuhetkellä heilurin energia oli suurempi kuin maksimipotentiaalienergia , niin lentorata on suljettu ja syklinen. Jos heilurin energia oli pienempi , se suorittaa jaksollisia värähtelyjä ainoan vakaan tasapainopisteen ympärillä, jolla on pienin potentiaalienergian arvo . Matemaattisen heilurin tapauksessa järjestelmän kokonaisenergia ei muutu. $a = 0$ $x^{2}+y^{2}=l^{2}=\mathrm {const}$ $E>mgl$ $E<mgl$ $x=0,~y=-l$

Siinä tapauksessa järjestelmä ei ole enää suljettu ja sen kokonaisenergia voi muuttua. Jos samaan aikaan pakottavien värähtelyjen taajuus on paljon suurempi kuin luonnollisen värähtelyn taajuus , niin tällainen tapaus voidaan analysoida matemaattisesti . Osoittautuu [1] , että jos otamme käyttöön tehokkaan potentiaalin, jossa heiluri liikkuu (hitaasti suhteessa taajuuteen ), niin tällä potentiaalilla voi olla kaksi paikallista minimiä - yksi, kuten aiemmin, alemmassa pisteessä ja toinen ylempi kohta . Toisin sanoen matemaattisen heilurin ehdottoman epävakaan tasapainon piste voi osoittautua Kapitsa-heilurin vakaan tasapainon pisteeksi. $a\neq 0$ $\nu$ $\omega_0$ $\nu$ ${\näyttötyyli (0,-l)}$ ${\näyttötyyli (0,l)}$ ${\näyttötyyli (0,l)}$

Vaihe muotokuva

Mielenkiintoisia vaihekuvia voidaan saada parametriarvoista, jotka eivät ole käytettävissä analyyttisesti, esimerkiksi suuren jousituksen värähtelyamplitudin tapauksessa [6] [7] . Jos lisäämme pakottavien värähtelyjen amplitudia puoleen heilurin pituudesta, saadaan samanlainen kuva kuin kuvassa. $a\approx l$ $a=l/2$

Kun amplitudi kasvaa edelleen (arvosta alkaen ), koko sisätila alkaa "tahroitua" kokonaan, eli jos aiemmin kaikki koordinaattiavaruuden sisäiset pisteet eivät olleet käytettävissä, nyt järjestelmä voi vierailla missä tahansa pisteessä. On selvää, että pituuden lisääminen ei muuta kuvaa olennaisesti enää. $a$ $a=l$ $a$

Mielenkiintoisia faktoja

Kuten P. L. Kapitsa totesi, värähtelevällä alustalla olevilla heilurikelloilla on aina kiire.
Fyysisten ongelmien instituutin käytävällä oli toimiva malli Kapitsan heilurista, ja jokainen halukas saattoi nähdä itse, kuinka heiluri käynnistettynä nousi ja pysyi pystyasennossa.
Tehokkaan potentiaalin menetelmän kehitti P. L. Kapitsa työskennellessään suurtaajuusgeneraattorin "Nigotron" parissa, joka on nimetty tutkimuspaikan mukaan hänen Nikolina Gorassa sijaitsevassa mökissä. Välttääkseen "salaisuuden" aiheuttamia ongelmia menetelmän julkaisemisen yhteydessä P. L. Kapitsa keksii yksinkertaisen fyysisen mallin, johon tätä menetelmää voitaisiin soveltaa. Siten on olemassa artikkeleita [1] heilurista, jossa on värähtelevä jousitus.
P. L. Kapitsa tarjoutui ratkaisemaan ongelman muunnetussa versiossa tutkijakoulunsa aloittaville. Akrobaatin vakaustilanne oli löydettävä kyljelleen makaavalle sylinterille asetetulta laudalta. Odotettu vastaus oli, että jos akrobaatti alkoi nopeasti astua jalkojensa yli, hänen asentonsa muuttui vakaaksi.
Kävellessä kehon vakaus kasvaa useita kertoja verrattuna vakauteen seistessä. Tätä biomekaanista ilmiötä ei ole vielä tutkittu. On olemassa hypoteesi, joka selittää kehon vakauden kävellessä nilkkanivelen keskustan värähtelevillä liikkeillä. Ihmiskeho on esitetty käänteisen heilurin asennosta, jonka keskipiste on nilkan nivelten alueella ja joka saavuttaa vakauden pystyasennossa, jos sen keskus värähtelee ylös ja alas riittävän korkealla taajuudella (Kapitzan heiluri).

Kirjallisuus

↑ 1 2 3 4 Kapitsa P.L. "Värittävällä ripustuspisteellä varustetun heilurin dynaaminen stabiilius" ZhETF, osa 21, no. 5. s. 588 - 597 (1951); Kapitsa P.L. "Heiluri tärisevällä jousituksella", UFN, osa 44, no. 1. S. 7-20 (1951).
↑ A. Stephenson "Indusoidusta vakaudesta" Phil. Mag. 15, 233 (1908).
↑ Landau L.D., Lifshits E.M. Mechanics. - 5. painos, stereotyyppinen. - M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — ("Teoreettinen fysiikka", osa I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Butikov E. I. "Heiluri värähtelevällä jousituksella ( Kapitza -heilurin 60-vuotispäivän kunniaksi)", oppikirja Arkistokopio päivätty 12. heinäkuuta 2014 Wayback Machinessa .
↑ Krainov V.P. Valitut matemaattiset menetelmät teoreettisessa fysiikassa. MIPT Publishing House (1996).
↑ Astrakharchik G.E. ja Astrakharchik N.A. "Kapitza-heilurin tutkimus" (GE Astrakharchik, NA Astrakharchik "Kapitza-heilurin numeerinen tutkimus") arXiv:1103.5981 (2011)
↑ Reaaliaikainen visualisointi Kapitsa-heilurin liikkeistä on saatavilla Internetissä osoitteissa Arkistoitu kopio (pääsemätön linkki) . Haettu 8. huhtikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 1. lokakuuta 2011. (määrätön) ja http://faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear/index.html Arkistoitu 2. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa Pendulum-parametrit voidaan valita mielivaltaisesti ja syöttää manuaalisesti.