Erard-polynomi

Tietyn moniulotteisen avaruuden monitahoisen Herard-polynomi on polynomi, jonka arvo missä tahansa kokonaislukupisteessä on sama kuin avaruuden kokonaislukupisteiden lukumäärä (yleensä minkä tahansa hilan pisteet ), jotka sijaitsevat tietyn polyhedronin sisällä, lisättynä kertoimella . $t>0$ $t$

Itse monitahoisen tilavuus (homoteetisuuskertoimella ) on yhtä suuri kuin Erard-polynomin johtava kerroin, jota voidaan pitää Pickin lauseen moniulotteisen yleistyksen muunnelmana . $k = 1$

Nimetty Eugène Herard mukaan, joka tutki niitä 1960-luvulla.

Määritelmä

Antaa olla monitahoinen kokonaisluku vertics, ja olla sen homothety kanssa kokonaisluku kerroin . Merkitään kokonaislukupisteiden määrällä . Voidaan osoittaa, että luku ilmaistaan polynomina vuonna ; tätä polynomia kutsutaan Erardin polynomiksi . $P$ $t\cdot P$ $t$ ${\näyttötyyli L_{P}(t)}$ $t\cdot P$ ${\näyttötyyli L_{P}(t)}$ $t$

Esimerkkejä

${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d))$ yhdelle kokonaislukuulotteiselle kuutiolle . $d$ $K$

Ominaisuudet

(Erard-McDonald-vastavuoroisuus) Sisäisten kokonaislukupisteiden määrä on yhtä suuri kuin $t\cdot P$ $(-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),$

missä d on P :n mitta .

Mikä tahansa kokonaislukupolytooppien arvostus , joka on invariantti kokonaislukusiirtymien alla ja ilmaistaan Herard-polynomin kertoimien lineaarisena yhdistelmänä . [yksi] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Minkä tahansa ulotteisen polytoopin tapauksessa Herardin polynomin kolmella kertoimella on yksinkertainen tulkinta $d$ $P$
- Erard-polynomin vapaa termi on 1.
- Pääkerroin at on yhtä suuri kuin monitahoisen tilavuus. $t^{d}$
- Kerroin at on yhtä suuri kuin puolet pintojen pinta-alojen ja hilan determinantin suhteiden summasta, joka saadaan kokonaislukupisteiden ja kasvon jatkeen leikkauspisteestä. $t^{d-1}$
Erityisesti , Erard-polynomi monikulmion on yhtä suuri $d = 2$ $S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,$

missä on monikulmion pinta-ala ja kokonaislukupisteiden lukumäärä sen rajalla. Korvaamalla saamme Peak - kaavan .

S

\Gamma

t = 1

Muistiinpanot

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematiikka. 358, 202-208.

Linkit

Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
G. A. Merzon. Algebra, geometria ja peräkkäisten lukujen potenssien summien analyysi // Kokoelma " Matemaattinen koulutus ". Kolmas sarja. - 2017. - Ongelma. 21. - S. 104-118.