Neula ongelma

Neulaongelmana on määrittää hahmon vähimmäispinta-ala tasossa, jossa yhtä segmenttiä, "neulaa", voidaan kiertää 180 astetta, jolloin se palautetaan alkuperäiseen asentoonsa käänteisessä suunnassa. Tämä voidaan tehdä ympyrässä, jonka säde on 1/2. Toinen esimerkki - hartialihaksen rajoittama hahmo - näkyy kuvassa, sen pinta-ala on pienempi.

Osoittautuu, että on mahdollista rakentaa hahmo mielivaltaisen pienellä alueella.

Historia

Kakeya pohti tätä kysymystä . Hän osoitti, että kuperilla alueilla minimipinta-ala saavutetaan tasasivuisella kolmiolla , jonka korkeus on 1. Sen pinta-ala on [1] .

Ehkä Kakeya oletti myös, että hartialihaksen rajoittamalla hahmolla , kuten kuvassa, on pienin pinta-ala. Besikovich on kiistänyt tämän väitteen .

Besicovitch-setti

Besikovich rakensi kompaktin nollamittajoukon, joka sisälsi yksikkösegmentin mihin tahansa suuntaan.

Tästä seuraa helposti, että neula voidaan avata mielivaltaisen pienen alueen kuviossa. On todellakin helppo nähdä, että yksikköympyrä voidaan jakaa sektoreihin ja sijoittaa joukon mielivaltaisen pienelle alueelle yhdellä rinnakkaiskäännöksellä .

Huomaa, että yksikkösegmentti voidaan siirtää yhdensuuntaiselle viivalle mielivaltaisen pienen alueen kuviossa. Siksi kääntämällä segmenttiä yhdessä sektorissa, se voidaan vetää seuraavaan, jolloin se kulkee mielivaltaisen pienen alueen läpi; toistamalla tämän toimenpiteen useita kertoja, saamme tarvittavan käännöksen.

Muunnelmia ja yleistyksiä

• Besikovichin rakenteessa hahmon pinta-ala pyrkii nollaan, sen halkaisija pyrkii äärettömyyteen. Vuonna 1941 H.J. Van Alphen osoitti [2] , että neulaa voidaan käyttää mielivaltaisen pienen alueen kuviossa, joka on ympyrän sisällä, jonka säde on 2 + ε (mielivaltaiselle ε > 0).

• Mukana on yksinkertaisesti yhdistettyjä sopivia (joissa neulaa voi kääntää) sarjoja, joiden pinta-ala on pienempi kuin hartialihaksen rajoittaman hahmon.
  • Tällaisia ​​esimerkkejä löytyi vuonna 1965. Melvin Bloom ja I. Yu. Schoenberg osoittivat, että heidän alueensa voidaan tehdä mielivaltaisesti lähelle .
  • Vuonna 1971 Cunningham osoitti [3] , että mille tahansa ε > 0:lle on olemassa sopiva yksinkertaisesti yhdistetty kuvio, jonka pinta-ala on pienempi kuin , ja joka sisältyy säteen 1 ympyrään.

• Määrittelemme Besicovitch-joukon Rn : ssä nollamitan joukoksi, joka sisältää yksikkösegmentin mihin tahansa suuntaan (tällaista joukkoa kutsutaan myös Kakeya-joukoksi tai Kakeya-joukoksi). Niin sanottu Kakeya-oletus väittää, että Besicovitch-joukoilla on ulottuvuus n ( Hausdorffin ja Minkowskin mukaan ), eli yhtä suuri kuin ympäröivän tilan ulottuvuus.
  • Kakein arvelu on totta dimensioissa 1 ja 2 [4] .
  • Wolff osoitti [5] , että n - ulotteisessa avaruudessa Besicovitch-joukon ulottuvuuden tulee olla vähintään ( n + 2)/2.
  • Vuonna 2002 Katz ja Tao paransivat Wolffin arviota [6] osoittamalla, että mitta ei voi olla pienempi kuin . Tämä rajoitus on parempi arvolle n > 4.

• Määrittelemme ( n , k )-Besicovitch-joukon kompaktiksi joukoksi R n :ssä mittaa nolla, joka sisältää jokaisessa k - ulotteisessa suunnassa k - ulotteisen yksikkökiekon. Oletus ( n , k )-Besicovitch-joukoista: ( n , k )-Besicovitch-joukkoja ei ole olemassa k > 1:lle.
  • Vuonna 1979 Marstrand todisti [7] , että (3, 2)-Besicovitch-joukkoa ei ole olemassa.
  • Samoihin aikoihin Faulkner osoitti [8] , että arvolle 2 k > n ei ole olemassa ( n , k )-joukkoja .
  • Paras arvio tähän mennessä kuuluu Bourgainiin, joka todisti [9] , että joukkoja, joiden arvo on 2 k -1 + k > n , ei ole olemassa.

• Vuosina 1997 [10] ja 1999 [11] Wolff osoitti, että joukoilla, jotka sisältävät minkä tahansa säteen pallon, täytyy olla täysi ulottuvuus, eli ympäröivän tilan ulottuvuus.

• Elias Stein osoitti [12] , että jokaisella joukolla, joka sisältää pallon jokaisen pisteen ympärillä, on oltava positiivinen mitta arvolle n ≥ 3, ja Marstrand osoitti saman [13] tapaukselle n = 2.

• Vuonna 1999 Wolff muotoili analogin neulaongelmalle äärellisille kentille . Olkoon F  äärellinen kenttä. Joukkoa K ⊆ F n kutsutaan Besicovitchin joukoksi, jos jokaiselle vektorille y ∈ F n on olemassa x ∈ F n siten, että K sisältää kaikki vektorit muotoa { x + ty  : t ∈ F }.

• Neulaongelma avaruudessa äärellisen kentän yli : K :n alkioiden lukumäärä on vähintään c n | F | n , jossa c n >0 on vakio, joka riippuu vain n :stä .
• Dvir [14] [15] osoitti tämän oletuksen arvolle c n = 1/ n ! käyttämällä seuraavaa argumenttia. Dvir totesi, että mikä tahansa polynomi, jonka n astemuuttuja on pienempi kuin | F |, joka on yhtä suuri kuin nolla Besicovitch-joukossa, on oltava yhtä suuri kuin nolla. Toisaalta polynomit, joiden n astemuuttuja on pienempi kuin | F | muodostavat ulottuvuuden vektoriavaruuden

Siksi on olemassa ainakin yksi ei-triviaali polynomi, jonka aste on pienempi kuin | F |, joka on yhtä suuri kuin nolla mielivaltaisessa joukossa, jossa on pienempi määrä pisteitä. Siksi Besikovich-sarjassa on oltava vähintään | F | n / n ! pisteitä. Dvir kirjoitti arvostelun tästä ongelmasta. [neljätoista]

Sovellukset

• Vuonna 1971 Fefferman käytti [16] Besicovitch-joukon rakennetta osoittaakseen, että mitoissa, jotka ovat suurempia kuin 1, katkaistut Fourier-integraalit, jotka on otettu palloihin, joiden keskipiste on origossa ja joiden säteet pyrkivät äärettömyyteen, eivät ehkä lähentyisi L p -normiin kohdassa p ≠ 2 (toisin kuin yksiulotteisessa tapauksessa, jossa tällaiset katkaistut integraalit konvergoivat).

Katso myös

• Deltoidi
• Lebesguen ongelma
• Paljon Nikodemus

Muistiinpanot

1. ↑ Kaveri, Julius. Ueber ein elementares variationsproblem // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1-35.
2. ↑ Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
3. ↑ Cunningham, F. Kakeya-ongelma yksinkertaisesti kytketyille ja tähtimäisille sarjoille // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, no. 2. - S. 114-129. - doi : 10.2307/2317619 .
4. ↑ Davies, Roy. Muutamia huomioita Kakeya-ongelmasta // Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1971. - T. 69, no. 3. - S. 417-421. - doi : 10.1017/S0305004100046867 .
5. ↑ Wolff, Thomas. Parannettu rajoitus Kakeya-tyypin maksimifunktioille // Rev. Matto. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. - doi : 10.4171/rmi/188 .
6. ↑ Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. Uusia rajoja Kakeya-ongelmille // J. Anal. Math.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. - doi : 10.1007/BF02868476 .
7. ↑ Marstrand, JM Packing Planes in R 3 // Mathematika. - 1979. - T. 26, numero. 2. - S. 180-183. - doi : 10.1112/S0025579300009748 .
8. ↑ Falconer, KJ K-tasointegraalien ja Besicovitch-joukkojen jatkuvuusominaisuudet // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1980. - T. 87, no. 2. - S. 221-226. - doi : 10.1017/S0305004100056681 .
9. ↑ Bourgin, Jean . Besicovitch-tyyppiset maksimioperaattorit ja sovellukset Fourier-analyysiin // Geom. Toiminto. Anal.. - 1997. - Vol. 1, numero. 2. - S. 147-187. - doi : 10.1007/BF01896376 .
10. ↑ Wolff, Thomas. Kakeya-tehtävä piireille // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119, numero. 5. - S. 985-1026. - doi : 10.1353/ajm.1997.0034 .
11. ↑ Wolff, Thomas (1999).
12. ↑ Stein, Elias. Maksimifunktiot: Palloiset keinot // PNAS. - 1976. - T. 73, numero. 7. - S. 2174-2175. - doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482
13. ↑ Marstrand, JM Pakkaa ympyröitä tasossa // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37-58. - doi : 10.1112/plms/s3-55.1.37 .
14. ↑ 1 2 Dvir, Zeev (2009).
15. ↑ Dvirin todiste äärellisestä kentästä Kakeya-oletus Arkistoitu 3. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa // Terence Tao (2008-03-24).
16. ↑ Fefferman, Charles. Pallon kerroinongelma // Matematiikan Annals. - 1971. - T. 94, no. 2. - S. 330-336. - doi : 10.2307/1970864 .

Kirjallisuus

• Yaglom IM , Boltyansky VG Kuperat hahmot . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 s. - (Matematiikan ympyrän kirjasto, numero 4).

• Besicovitch, Abram (1963). "Kakeya-ongelma". American Mathematical Monthly 70 (7): 697-706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .

• Dvir, Zeev (2009). "Kakeya-joukkojen koosta äärellisissä kentissä". Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093-1097. arXiv : 0803.2336 . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). Fraktaalijoukkojen geometria . Cambridge Tracts in Mathematics 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). "Joitakin ongelmia maksimissa ja minimissä soikion suhteen". Tohoku Science Reports 6 :71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Isabella; Tao, Terence (2000). "Parannettu sidonta Besicovitch-sarjojen Minkowski-ulottuvuuden suhteen " (PDF). Annals of Mathematics 152 (2): 383-446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 .
• Wolff, Thomas (1999). "Viimeaikainen työ liittyy Kakeya-ongelmaan". Rossissa, Hugo. Matematiikan näkymät: Kutsutut keskustelut Princetonin yliopiston 250-vuotisjuhlan yhteydessä . Providence, RI: American Mathematical Society. s. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Isabella; Shubin, Carol, toim. Harmonisen analyysin luentoja . Yliopiston luentosarja 29 . Charles Feffermanin esipuheella ja Izabella Łaban esipuheella. Providence, RI: American Mathematical Society. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254 .
• Kakeya-ongelma ja yhteydet harmoniseen analyysiin British Columbian yliopistossa.
• Besicovitch UCLA:ssa
• Kakeya-neulaongelma matematiikan maailmassa
• Johdatus Besicovitch-Kakeya-sarjoihin