Moninapainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. marraskuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 24 muokkausta .

Multipoles ( latinasta multum - monta ja kreikaksi πόλος - napa) - tietyt pistelähteiden ( lataukset ) kokoonpanot. Yksinkertaisimmat esimerkit moninapasta ovat pistevaraus, nollakertainen moninapa; kaksi vastakkaista varausta etumerkillisesti, itseisarvoltaan yhtä suuri - dipoli tai 1. asteen multipoli; 4 samansuuruista varausta, jotka on sijoitettu suunnikkaan kärkipisteisiin siten, että sen kumpikin puoli yhdistää vastakkaisen merkin varauksia (tai kahta identtistä, mutta vastakkaiseen suuntaan suunnattua dipolia) - kvadrupoli tai 2. asteen moninapa. Multipole-nimi sisältää merkinnän moninapaisten varausten lukumäärälle (latinaksi), esim.oktupoli (octu-8) tarkoittaa, että moninapainen koostumus sisältää 8 varausta [1] .

Tällaisten konfiguraatioiden valinta liittyy kentän laajentamiseen [2] monimutkaisista, avaruusrajoitteisista kenttälähteiden järjestelmistä (mukaan lukien tapaus, jossa lähteet jakautuvat jatkuvasti) monikenttiin - niin sanottu "multipole expansion" [3] . ] .

Kenttä voi tarkoittaa sähköstaattista tai magnetostaattista kenttää sekä niitä vastaavia kenttiä (esim. Newtonin gravitaatiokenttä) [4] .

Tällaista hajotusta voidaan usein käyttää kentän likimääräiseen kuvaukseen monimutkaisesta lähdejärjestelmästä, joka on suurella (paljon suurempi kuin tämän järjestelmän koko) etäisyydellä siitä; tässä tapauksessa on tärkeää, että jokaisen seuraavan järjestyksen moninapakenttä pienenee etäisyyden myötä paljon nopeammin kuin aiemmat, joten voit usein rajoittua muutamaan (etäisyydestä ja vaaditusta tarkkuudesta riippuen) termiin (alemmat tilaukset) ) moninapalaajennus. Toisessa tapauksessa useista syistä moninapalaajennus osoittautuu käteväksi silloinkin, kun kaikki tilaukset summataan (silloin se on ääretön sarja); tässä tapauksessa se antaa tarkan ilmaisun kentästä ei vain laajasti, vaan periaatteessa millä tahansa etäisyydellä lähdejärjestelmästä (lukuun ottamatta sen sisäisiä alueita).

Staattisten (tai suunnilleen staattisten) kenttien lisäksi moninapaisten momenttien yhteydessä puhutaan usein moninapasäteilystä - säteilystä, jonka katsotaan johtuvan emitterijärjestelmän moninapommenttien muutoksesta ajassa. Tämä tapaus eroaa siinä, että siinä eri kertaluvun kentät pienenevät yhtä nopeasti etäisyyden mukaan eroten kulman riippuvuudesta.

Skalaarikentän moninapalaajennus

Pistemaksujärjestelmä levossa

Varausjärjestelmän sähköstaattinen potentiaali pisteessä $\mathbf {R}$

\varphi ({\mathbf {R}})=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i} |}},

missä ovat maksut ja niiden koordinaatit. Laajennamme tämän potentiaalin Taylor-sarjaksi , saamme $q_{i}$ ${\mathbf {r}}_{i}$

\varphi ({\mathbf {R)))=\summa \limits _{{l=0}}^{{\infty }}\varphi ^{{(l)))({\mathbf {R}}) ,

kutsutaan moninapalaajennukseksi , jossa merkintä otetaan käyttöön

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\ summa \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\pisteet r_{i}^{\alpha _{l}}{\ frac {\partial ^{l)){\partial R^{\alpha _{1))\dots \partial R^{\alpha _{l))))\left({\frac {1}{R} }\oikea)

-kenttäpotentiaalia kutsutaan moninapalaajenemisen termin järjestykseksi. 0. tilaustermillä on muoto $2^l$ $l$

\varphi ^{{(0)}}({\mathbf {R}})={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},

joka on sama kuin pistevarauksen potentiaali (monopolin potentiaali). Ensimmäisen tilauksen termi on yhtä suuri kuin $Q=\summa \limits _{i}q_{i}$

\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i} \right){\mathbf {n}}}{R^{2}}},

missä on yksikkövektori, joka on suunnattu pitkin . Jos esittelemme varausjärjestelmän dipolimomentin as , niin järjestelmä osuu yhteen pistedipolin potentiaalin kanssa . Siten potentiaalilla 1. laajenemisjärjestyksessä multipoleissa on muoto ${\mathbf {n}}={\mathbf {R}}/R$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {d}}=\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i}$ $\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +O\left({\frac {1}{R^{3}}}\oikea).

Jos , niin dipolimomentti ei riipu origon valinnasta. Jos , niin voit valita koordinaattijärjestelmän, joka on keskitetty pisteeseen , niin dipolimomentti tulee yhtä suureksi kuin nolla. Tällaista järjestelmää kutsutaan latauskeskusjärjestelmäksi. Seuraavalla laajennustermillä on muoto $q = 0$ $q\neq 0$ ${\mathbf {R}}_{0}={\mathbf {d}}/q$

\varphi ^{{(2)}}({\mathbf {R}})={\frac {D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}n_{{\alpha _{1 ))}n_{{\alpha _{2}}}}{2R^{3}}},

missä on varausjärjestelmän kvadrupolimomentti . Otetaan käyttöön kvadrupolimomenttimatriisi . Sitten potentiaali 2. laajenemisjärjestyksessä multipoleissa saa muodon $D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\sum \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{{\alpha _{1}}}r_{i }^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}_{i}^{2})$ $D$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +{\frac {{\mathbf {n}}D{\mathbf {n}}}{2R^{3}}}+O\vasen({\frac {1}{R^{4}}}\oikea ).

Matriisi on jäljitön , eli . Lisäksi se on symmetrinen , eli . Siksi se voidaan pienentää diagonaalimuotoon kiertämällä suorakulmaisten koordinaattien akseleita. $D$ ${\mathrm {tr}}D=0$ $D^{T}=D$

Yleisessä tapauksessa kolmannen asteen panos potentiaaliin voidaan esittää seuraavasti: $l$

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}} \dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},

missä on varausjärjestelmän kenttämomentti, joka on : nnen kertaluvun redusoitumaton tensori. Tämä tensori on symmetrinen minkä tahansa indeksiparin suhteen ja katoaa, kun se taitetaan minkä tahansa indeksiparin päälle. $d^{{\alpha _{1}\dots \alpha _{l))}$ $2^l$ $l$

Hajautettu maksujärjestelmä

Jos varaus jakautuu tietyllä tiheydellä , niin diskreetin jakauman kaavoissa jatkuvaan rajaan siirtymällä (tai suoraan alkuperäisistä kaavoista johdettuun), voidaan tässäkin tapauksessa saada moninapalaajennus: $\rho ({\mathbf {r}})$

\varphi ({\mathbf {R)))=\int \limits _{{(V)}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}})}{|{\mathbf {R}}- {\mathbf {r}}|}}d^{3}{\mathbf {r}},

missä on tilavuus, jossa hajautettu varaus sijaitsee. Sitten moninapamomentilla on muoto: $V$

q=\int \limits _{{(V)}}\rho ({\mathbf {r}})d^{3}{\mathbf {r}},

{\mathbf {d}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r}}){\mathbf {r}}d^{3}{\mathbf {r}} ,

D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r)))(3r^{{\alpha _ {1}}}r^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}^{2})d ^{3}{\mathbf {r}}

Moninapapotentiaalien kaavat pysyvät ennallaan. Diskreetin varausjärjestelmän tapaus voidaan saada korvaamalla niiden jakautumistiheys, joka voidaan ilmaista δ-funktioilla :

\rho ({\mathbf {r}})=\sum _{i}q_{i}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{i}).

Potentiaalia laskettaessa on hyödyllinen kaava , missä ovat Legendren polynomit , . [5] ${\frac {1}{|Rr|}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\left({ \frac {r}{R}}\oikea)^{n}$ $P_{{n}}(x)$ $x=\cos \theta$

Sähköstaattisen kentän voimakkuuden moninapalaajeneminen

Varausjärjestelmän sähköstaattisen kentän voimakkuus on yhtä suuri kuin sähköstaattisen potentiaalin gradientti päinvastaisella etumerkillä

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=-\nabla \varphi ({\mathbf {R}}).

Korvaamalla tässä kaavassa potentiaalin moninapalaajenemisen voimakkuuden, saamme sähköstaattisen kentän voimakkuuden moninapalaajenemisen

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=0}}^({\infty }}{\mathbf {E}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}),

missä

(\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ))_{\alpha _{0}}={\frac {(-1)^{l+1}}{l !}}\sum \limits _{i}q_{i}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{n}}{\frac {\partial ^ {l+1}}{\osittainen R_{i}^{\alpha _{0}}\osittainen R_{i}^{\alpha _{1}}\pisteet \osittais R_{i}^{\alpha _ {n}}}}\vasen({\frac {1}{R}}\oikea)

- sähkökenttä - kentät. $2^l$

Erityisesti pistevarauksen (monopoli) kentällä on muoto:

{\mathbf {E}}^{{(0)))({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}},

joka vastaa Coulombin lakia .

Pistedipolin kenttä:

{\mathbf {E}}^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {3({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf { n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}.

Pistekvadrupolin kenttä:

{\mathbf {E}}^{{(2)))({\mathbf {R}})={\frac {5{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf { n)))-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}.

Siten levossa olevan varausjärjestelmän sähkökenttä moninapalaajennuksen 2. järjestyksessä on muotoa:

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}}+{\frac {3({\mathbf {n }}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {5{\mathbf {n}}({\ mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}} }\oikea).

Tästä kaavasta on helppo saada sähkökentän normaali (säteittäinen) komponentti

E_{n}({\mathbf {R}})={\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2} ))+{\frac {2{\mathbf {n}}{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {3{\mathbf {n}}D{\mathbf {n }}}{2R^{4}}}+O\vasen({\frac {1}{R^{5}}}\oikea).

Tangentiaalinen komponentti voidaan löytää vähentämällä normaali

E_{{\tau }}({\mathbf {R}})=E({\mathbf {R}})-{\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}} )={\frac {({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-D{\mathbf {n}}}{R^{4}}}+O\vasen({\) frac {1}{R^{5}}}\right).

Jos normaali (säteittäinen) komponentti heijastaa pallosymmetristä varausjakaumaa, tangentiaalinen komponentti heijastaa ei-pallomaista vaikutusta sähköstaattiseen kenttään . Näin ollen kvadrupolimomentti on mielenkiintoinen tutkittavaksi, ei vain silloin, kun järjestelmän kokonaisvaraus ja dipolimomentti ovat nolla, vaan myös silloin, kun Coulombin panos on nollasta poikkeava. Sitten tangentiaalikomponentin kaavan mukaisesti kvadrupolimomentti luonnehtii sähkökentän epäpalloisuuden astetta varauskeskusjärjestelmässä. Näin mitattiin atomiytimien sähköiset kvadrupolimomentit ja pääteltiin, että niillä ei ole pallosymmetriaa.

Staattisen magneettikentän moninapalaajeneminen

Vakionopeudella liikkuvien varausten vektoripotentiaali on muotoa:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})={\frac {1}{c}}\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}{\mathbf {v}} _{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i}}|}}

Se hajoaa samalla tavalla moninapalaajennukseksi:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=1}}^({\infty }}{\mathbf {A}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}).

Sarja alkaa kirjaimella , koska magneettivarauksia ei ole (magneettisia varauksia ei ole löydetty perusvuorovaikutusten fysiikasta, vaikka niitä voidaan käyttää mallina solid-state-fysiikan ilmiöiden kuvaamiseen). Tämä termi vastaa magneettista dipolia (pyöreä virtaa kuljettava ääriviiva): $l = 1$

{\mathbf {A}}^{{(1)))({\mathbf {R}})={\frac {[{\mathbf {m}},{\mathbf {R}}]}{R^ {3}}},

missä on virtajärjestelmän (liikkuvan varauksen) magneettinen momentti : ${\mathbf {m))$

{\mathbf {m}}={\frac {1}{2c}}\sum \limits _{i}q_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {v}} _{i}]

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Prokhorov A. M. (toim.). Fyysinen tietosanakirja . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .
Denisov V. I. Luku II. Kiinteät sähkömagneettiset kentät // Luennot sähködynamiikasta. Opastus. - 2. painos - M . : UNC DO:n kustantaja, 2007. - 272 s. - ISBN 978-5-88800-330-5 .

Muistiinpanot

↑ Prokhorov A. M. (toim.). Fyysinen tietosanakirja . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Tietenkin esitetty kenttä voi olla sekä potentiaalia että jännitystä.
↑ Denisov V.I. Luku II. Kiinteät sähkömagneettiset kentät // Luennot sähködynamiikasta. Opastus. - 2. painos - M . : UNC DO:n kustantaja, 2007. - 272 s. - ISBN 978-5-88800-330-5 .
↑ Kentillä, kuten gravitaatiokentillä, joilla ei ole negatiivisia varauksia, moninapalaajennuksessa on vain parillisia järjestyksiä. Tässä tapauksessa negatiivisia varauksia parillisten kertalukujen moninapeissa (esimerkiksi kvadrupolissa) tarkastellaan tässä tapauksessa puhtaasti muodollisesti.
↑ Li Tsung-dao Matemaattiset menetelmät fysiikassa. - M.: Mir, 1965. - s. 146