Moninapainen säteily

Moninapasäteily on säteilyä, joka johtuu järjestelmän moninapommenttien ajanmuutoksesta. Käytetään kuvaamaan sähkömagneettista tai gravitaatiosäteilyä kaukaisten lähteiden ajallisesti vaihtelevasta (ei-stationaarisesta) jakaumasta. Moninapahajoamista sovelletaan fysikaalisiin ilmiöihin, jotka tapahtuvat eri mittakaavassa, galaksien törmäyksestä johtuvista gravitaatioaalloista radioaktiivisen hajoamisen aiheuttamaan gammasäteilyyn [1] [2] [3] . Moninapasäteilyä analysoidaan samalla tavalla kuin kiinteistä lähteistä peräisin olevien kenttien moninapalaajennuksessa . Siinä on kuitenkin merkittäviä eroja, koska moninapasäteilykentät käyttäytyvät jonkin verran eri tavalla kuin kiinteiden lähteiden kentät. Tämä artikkeli käsittelee ensisijaisesti sähkömagneettista moninapasäteilyä, vaikka gravitaatioaaltoja käsitellään samalla tavalla.

Moninapasäteilyn ominaisuudet

Hetkien lineaarisuus

Koska Maxwellin yhtälöt ovat lineaarisia, sähkökenttä ja magneettikenttä riippuvat lineaarisesti lähteen jakautumisesta. Lineaarisuuden avulla kentät voidaan laskea itsenäisesti eri moninapommenteistä ja lisätä ne järjestelmän kokonaiskentän saamiseksi. Tämä on hyvin tunnettu superpositioperiaate .

Moninapumomenttien riippuvuus vertailupisteestä

Moninapumomentit lasketaan suhteessa kiinteään referenssipisteeseen, joka otetaan annetun koordinaattijärjestelmän origoksi. Origon siirtymä muuttaa järjestelmän moninapumomentteja, paitsi ensimmäistä nollasta poikkeavaa momenttia. [4] [5] Esimerkiksi varauksen monopolimomentti on yksinkertaisesti järjestelmän kokonaisvarauksen suuruus. Vertailupisteen muuttaminen ei koskaan muuta tätä hetkeä. Jos monopolimomentti on nolla, niin järjestelmän dipolimomentti on translaation suhteen muuttumaton. Jos sekä monopoli- että dipolimomentit ovat nolla, niin kvadrupolimomentti on muuttumaton siirron aikana jne. Koska korkeamman kertaluvun momentit riippuvat origon sijainnista, niitä ei voida pitää järjestelmän invarianteina ominaisuuksina.

Kentän riippuvuus etäisyydestä

Kenttä moninapamomentista riippuu sekä etäisyydestä koordinaattien origosta että tarkasteltavan pisteen kulma-orientaatiosta suhteessa koordinaattijärjestelmään. [4] Erityisesti sähkömagneettisen kentän säteittäinen riippuvuus stationaarisen kentän momentista on verrannollinen [2] :een . Siten sähkömonopolin sähkökenttä on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Samoin sähköinen dipolimomentti luo kentän, joka on kääntäen verrannollinen etäisyyden kuutioon ja niin edelleen. Kun etäisyys kasvaa, korkean kertaluvun momenttien osuus tulee paljon pienemmäksi kuin matalan kertaluvun momenttien osuus. Siksi korkealuokkaiset momentit voidaan jättää pois laskennan helpottamiseksi. ${\displaystyle 2^{\ell ))$ $1/r^{\ell +2}$

Moninapaisten säteilyaaltojen säteittäinen riippuvuus poikkeaa paikallaan olevan tapauksen kentistä, koska nämä aallot kuljettavat energiaa pois järjestelmästä. Koska energiaa on säilytettävä, yksinkertainen geometrinen analyysi osoittaa, että säteisen pallomaisen säteilyn energiatiheyden on oltava verrannollinen . Kun pallomainen aalto laajenee, sen kiinteän energian on jaettava pallolle, jonka pinta-ala on . Vastaavasti jokaisen ajasta riippuvan moninapamomentin tulee myötävaikuttaa säteilevän energian tiheyteen suhteessa , riippumatta hetken järjestyksestä. Tästä johtuen korkealuokkaisia hetkiä ei voida hylätä yhtä helposti kuin kiinteässä kotelossa. Kuitenkin myös tässä tapauksessa järjestelmän moninapakertoimet yleensä pienenevät kasvavassa järjestyksessä, yleensä suhteessa , joten säteilykentät voidaan silti arvioida hylkäämällä korkean kertaluvun momentit [5] . $r$ $1/r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $1/r^{2}$ $1/(2\ell +1)!!$

Ajasta riippuvat sähkömagneettiset kentät

Lähteet

Aikariippuvaiset lähdejakaumat voidaan ilmaista Fourier-analyysillä . Tämä mahdollistaa eri taajuuksien analysoinnin toisistaan riippumatta.

Varaustiheys on annettu

\rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

ja virrantiheys

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

[6] .

Mukavuuden vuoksi tästä hetkestä alkaen tarkastelemme vain yhtä kulmataajuutta ; täten $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Superpositioperiaatetta voidaan soveltaa yleistämään tulokset useille taajuuksille [5] .

Vektorimäärät on lihavoitu. Vakiosopimusta kompleksiluvun reaaliosan ottamisesta käytetään ilmaisemaan fyysisiä määriä.

Alkuainehiukkasten sisäinen kulmamomentti (katso Spin ) voi vaikuttaa lähteiden sähkömagneettiseen säteilyyn. Näiden vaikutusten huomioon ottamiseksi otetaan huomioon järjestelmän sisäinen magnetointi . Kuitenkin mukavuuden vuoksi näiden vaikutusten tarkastelua lykätään yleistyneestä moninapasäteilystä keskustelemiseen asti. $\mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)$

Potentiaalit

Lähdejakaumat voidaan integroida ajasta riippuvaisen sähköpotentiaalin φ ja magneettisen potentiaalin A saamiseksi . Kaavat ilmaistaan ottaen huomioon Lorentzin mittarin SI-yksiköissä [5] [6] .

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left(t'-() t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left (t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

Näissä kaavoissa c on valon nopeus tyhjiössä, on Diracin deltafunktio ja on euklidinen etäisyys lähteen x′ aloituspisteestä tarkasteltavaan pisteeseen x . $\delta$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Aikariippuvaisten lähdejakaumien integrointi antaa

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))))

missä k =ω/ c . Nämä kaavat toimivat perustana moninapasäteilyn analyysille.

Moninapalaajennus pienillä etäisyyksillä lähteestä

Pienet etäisyydet ovat lähdettä lähellä oleva avaruusalue, jossa sähkömagneettista kenttää voidaan pitää kvasistinaarisena. Jos etäisyys tarkasteltavaan pisteeseen lähteestä on paljon pienempi kuin säteilyn aallonpituus , niin . Tämän seurauksena eksponentti voidaan arvioida tällä alueella seuraavasti (katso Taylor-sarja ): $r=\|\mathbf {x} \|_{2}$ $\lambda =2\pi /k$ $kr\ll 1$

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))=1+O(kr)

Tässä approksimaatiossa jäljellä oleva x ′-riippuvuus on sama kuin kiinteässä järjestelmässä ja sovelletaan samaa analyysiä [4] [5] . Itse asiassa tietyn ajanhetken potentiaalit pienillä etäisyyksillä lähteestä voidaan laskea ottamalla yksinkertaisesti tilannekuva järjestelmästä ja käsittelemällä sitä ikään kuin se olisi paikallaan. Siksi tätä tapausta kutsutaan kvasistationaariseksi [5] . Erityisesti käänteisetäisyyttä laajennetaan käyttämällä pallomaisia funktioita , jotka integroidaan itsenäisesti pallomaisten moninapakertoimien saamiseksi (katso moninapalaajennus ). ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Moninapainen laajennus suurilla etäisyyksillä lähteestä: moninapasäteily

Suurilla etäisyyksillä suurtaajuisesta lähteestä , seuraavat likiarvot tapahtuvat: $\lambda \ll r$

{\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^ {2})

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))

Koska suurilla etäisyyksillä lähteestä vain ensimmäisen asteen termit ovat merkittäviä, laajennus pienenee olennaisesti: $1/r$

{\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^ {2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})

Jokainen aste vastaa erilaista moninapommenttiä. Alla on muutama ensimmäinen kohta. $\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'}$

Sähkömonopolin säteily, olemassaolon mahdottomuus

Nollan kertaluvun termi suhteessa skalaaripotentiaaliin antaa: ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\phi _{\text{electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr -i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}} {4\pi \epsilon _{0}r}}q

jossa järjestelmän kokonaisvaraus on sähköinen monopoli, joka värähtelee taajuudella ω. Sähkövarauksen säilymislaki vaatii sen $q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )$ $q = 0$

q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho ( \mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}

Jos järjestelmä on suljettu, varauksen suuruus ei voi vaihdella, mikä tarkoittaa, että värähtelyamplitudin q on oltava nolla. Siksi ,. Vastaavien kenttien ja säteilytehon tulee myös olla nolla [5] . $\phi _{\text{sähköinen monopoli}}(\mathbf {x} ,t)=0$

Sähköinen dipolisäteily

Sähköinen dipolipotentiaali

Sähködipolin säteily voidaan saada ottamalla huomioon nollan kertaluvun termi, , jota sovelletaan vektoripotentiaaliin [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\mathbf {A} _{\text{electric dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Osien integrointi antaa [7]

\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

Ja latauksen jatkuvuuden yhtälö näyttää

{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t) =\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t} =0

Tästä seuraa siis

\mathbf {A} _{\text{sähköinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Samanlaisia tuloksia voidaan saada tarkastelemalla ensimmäisen kertaluvun termiä skalaaripotentiaaliin sovellettuina. ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

Järjestelmän sähköisen dipolimomentin amplitudin suuruus

\mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Tämä antaa meille mahdollisuuden ilmaista potentiaalit muodossa

\phi _{\text{electric dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d}

\mathbf {A} _{\text{sähköinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d}

Sähködipolikentät

Kun ajasta riippuvat potentiaalit on löydetty, ajasta riippuva sähkökenttä ja magneettikenttä voidaan laskea tavalliseen tapaan. Nimittäin,

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\ mathbf {x} ,t)}{\osittainen t))

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)

tai lähteettömällä avaruuden alueella voidaan käyttää magneettikentän ja sähkökentän välistä suhdetta

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf { x} ,t)

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)

missä on tyhjiön aaltoimpedanssi . ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0))))$

Sähkö- ja magneettikentät, jotka vastaavat yllä olevia potentiaalia:

\mathbf {H} _{\text{sähköinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \ kertaa \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {E} _{\text{sähköinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{sähköinen dipoli}}\times \mathbf {n} )

joka vastaa pallomaisen säteilyn aaltoja [5] .

Sähködipolin säteilyteho

Energiavuon tiheys käyttäen Poynting-vektoria . Tästä seuraa, että aikakeskiarvoinen energiavuon tiheys avaruuskulmayksikköä kohti määräytyy $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

{\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf { E} \times \mathbf {H} )

Skalaaritulo kanssa antaa säteilyn suuruuden, ja kerroin 1/2 saadaan aikakeskiarvosta. Kuten edellä on selitetty, eliminoi säteilevän energiatiheyden säteittäisen riippuvuuden. Sähködipoliin sovellettuina saamme $\mathbf {n}$ $r^{2}$

{\frac {dI_{\text{electric dipoli}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^ {2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

missä θ mitataan suhteessa [5] :een . $\mathbf{d}$

Integrointi pallon yli antaa kokonaissäteilytehon:

I_{\text{electric dipoli}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2 }^{2}

Magneettinen dipolisäteily

Magneettinen dipolipotentiaali

Ensimmäisen kertaluvun termi vektoripotentiaalin suhteen antaa magneettisen dipolin säteilyn tai sähköisen kvadrupolin säteilyn [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magneettinen dipoli / sähköinen kvadrupoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integrandi voidaan jakaa symmetrisiin ja antisymmetrisiin osiin n: n ja x : n yli

(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2))\left((\mathbf {n } \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x '} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n}

Toinen termi sisältää virrasta johtuvan tehollisen magnetisoinnin ja integraatio antaa magneettisen dipolimomentin $\mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) )$ $\mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{voimassa))(\mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magneettinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac { e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n}

Huomaa, että sillä on samanlainen ulkonäkö. Tämä tarkoittaa, että magneettisen dipolin luoma magneettikenttä käyttäytyy samalla tavalla kuin sähködipolin sähkökenttä. Samoin magneettisen dipolin sähkökenttä on samanlainen kuin sähködipolin magneettikenttä. $\mathbf {A} _{\teksti{magneettinen dipoli))$ $\mathbf {H} _{\text{sähköinen dipoli))$

Suorittaa muunnoksia

\mathbf {E} _{\teksti{sähköinen dipoli}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\teksti{magneettinen dipoli}}

\mathbf {H} _{\text{sähköinen dipoli}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\teksti{magneettinen dipoli}}

\mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c

aiemmissa laskelmissa antaa tuloksia magneettiselle dipolille [5] .

Magneettiset dipolikentät

\mathbf {E} _{\text{magneettinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\ mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {H} _{\teksti{magneettinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\ teksti{magneettinen dipoli}}\times \mathbf {n} )

[5]

Magneettisen dipolin säteilyteho

Aikakeskiarvoinen magneettisen dipolisäteilyn energiavuon tiheys avaruuskulmayksikköä kohti määräytyy

{\frac {dI_{\text{magneettinen dipoli}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}} k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

missä θ mitataan suhteellisella magneettisella dipolilla . ${\mathbf {m}}$

Kokonaissäteilyteho [5] :

I_{\text{magneettinen dipoli}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}

Sähköinen kvadrupolisäteily

Sähköinen kvadrupolipotentiaali

Edellisen osan integrandin symmetrinen osa voidaan pro-integroida soveltamalla osien integrointia ja varausjatkuvuusyhtälöä , kuten on jo tehty sähköiselle dipolisäteilylle.

{\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\ mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2 }}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

\mathbf {A} _{\text{electric quadrupoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

Otetaan käyttöön jäljitön sähköinen kvadrupolimomenttitensori . Toisen indeksin rajoittaminen normaalivektoriin mahdollistaa vektorin potentiaalin ilmaisemisen muodossa [5] $D_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \| _{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )$ ${\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta ))$

\mathbf {A} _{\text{sähköinen dipoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)}

Sähköiset kvadrupolikentät

Tuloksena olevat magneetti- ja sähkökentät [5] :

\mathbf {H} _{\text{electric quadrupoli}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)}

\mathbf {E} _{\text{electric quadrupoli}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{sähköinen neliö}}\times \mathbf {n} )

Sähkökvadrupolin säteilyteho

Sähköisen kvadrupolin säteilyn aikakeskiarvoinen energiavuon tiheys avaruuskulmayksikköä kohti määräytyy

{\frac {dI_{\text{electric quadrupoli}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^ {2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}

Kokonaissäteilyteho [5] :

I_{\text{electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{ \alpha \beta }^{2}

Yleistetty moninapasäteily

Hajautettujen maksujen järjestelmän moninapamomentin kasvaessa tähän asti käytetyt suorat laskelmat tulevat liian hankalia. Korkeampien momenttien analysointi vaatii yleisempää teoreettista lähestymistapaa. Kuten aiemmin, otamme huomioon vain yhden taajuuden . Siksi varauksen, virran ja sisäisen magnetointitiheyden määrää $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

vastaavasti.

Tuloksena olevilla sähkö- ja magneettikentillä on sama aikariippuvuus kuin lähteillä

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Käyttämällä näitä määritelmiä ja jatkuvuusyhtälöitä voimme kirjoittaa Maxwellin yhtälöt muodossa:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J } (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} ( \mathbf {x} )\right)

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0))}\mathbf {E} (\mathbf {x} ) +\mathbf {J} (\mathbf {x} )

Nämä yhtälöt voidaan yhdistää käyttämällä kiemuraa viimeisiin yhtälöihin ja käyttämällä identiteettiä . Tämä antaa epähomogeenisen Helmholtzin yhtälön vektorimuodot : $\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\ mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V}$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\ nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\oikea]

Aaltoyhtälön ratkaisut

Homogeeniset aaltoyhtälöt, jotka kuvaavat sähkömagneettista säteilyä taajuudella alueella ilman lähteitä, ovat muotoa: $\omega$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0

Aaltofunktio voidaan esittää vektorin pallomaisten harmonisten summana $\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )$

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2) )}h_{\ell }^{(2)}(kr)

missä ovat normalisoidut vektorin pallomaiset harmoniset ja ja ovat pallomaisia Hankel-funktioita (katso Besselin funktiot ). Differentiaalioperaattori on kulmamomenttioperaattori, jolla on ominaisuus . Kertoimet ja vastaavat laajenevia ja supistuvia aaltoja, vastaavasti. Näin ollen säteilyn tapauksessa . Loput kertoimet määritetään Vihreän funktiolla . Jos lähdeyhtälö $\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)))$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(2)))$ $\mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla }$ ${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)))$ $A_{\ell m}^{(2)}=0$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )

sitten ratkaisu:

\Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x } ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )

Vihreän funktio voidaan ilmaista vektorin pallomaisilla harmonisilla:

G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta } ^{*}(\theta ',\phi ')

Huomaa, että tämä on differentiaalioperaattori, joka vaikuttaa lähdefunktioon . $\mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)))$ ${\mathbf {V}}$

Joten ratkaisu aaltoyhtälöön on:

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac { ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\ int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )

Sähköiset moninapakentät

Sovelletaan yllä saatua ratkaisua sähköiseen moninapaaaltoyhtälöön

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\oikea]

saamme magneettikentän ratkaisun [5] :

\mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} ( \mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]

Sähkökenttä:

\mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{ (E)}(\mathbf {x} )

Kaavaa voidaan yksinkertaistaa käyttämällä identiteettejä

\mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x) } } ))

\mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf { x))

\mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0

integrandiin, joka antaa [5]

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]

Greenin lause ja osien integrointi johtavat kaavaan

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr' ))

pallomaista Besselin funktiota voidaan myös yksinkertaistaa, jos oletetaan, että säteilyn aallonpituus on paljon suurempi kuin lähteen mitat, kuten useimmissa antenneissa $j_{\ell }(kr')$

j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})

Hylkäämällä kaikki ehdot, paitsi pienimpien tilausten ehdot, saadaan yksinkertaistettu muoto sähköisistä moninapakertoimista [5] :

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\oikea)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']

Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\ rho (\mathbf {x'} )

Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)))\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))

${\displaystyle Q_{\ell m))$ on sama moninapamomentti kuin paikallaan olevassa tapauksessa, jos sitä sovellettaisiin stationaariseen varausjakaumaan , kun taas se vastaa indusoitunutta sähköistä moninapamomenttia alkuperäisten lähteiden sisäisestä magnetoinnista. $\rho(\mathbf{x})$ $Q_{\ell m}'$

Magneettiset moninapakentät

Sovelletaan yllä saatu ratkaisu magneettiseen moninapaaaltoyhtälöön

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

saamme ratkaisun sähkökenttään [5] :

\mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\ mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

Magneettikenttä:

\mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^ {(M)}(\mathbf {x} )

Kuten aiemmin, kaava on yksinkertaistettu:

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x' } \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r' ))(r'j_{\ell }(kr'))

Hylkäämällä kaikki termit, paitsi pienimpien kertalukujen termit, saadaan yksinkertaistettu muoto magneettisista moninapakertoimista [5] :

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\oikea)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']

M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^ {*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ') \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )

${\displaystyle M_{\ell m))$ on tehollisen magnetisoinnin magneettinen moninapamomentti ja vastaa sisäistä magnetointia . $\mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2$ $M_{\ell m}'$ $\mathbf {M} (\mathbf {x} )$

Yleinen ratkaisu

Sähkö- ja magneettikentät yhdistetään lopulliseksi kentäksi [5] :

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+ {\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\oikea)

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )- {\frac {i}{kZ_{0))}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\oikea)

Huomaa, että säteittäistä toimintoa voidaan yksinkertaistaa suurilla etäisyyksillä . $h_{\ell }^{(1)}(kr)$ $1/r\ll 1$

h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^ {2})

Siten säteilyn radiaalinen riippuvuus palautuu.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Hartle, James B. Gravity: Johdatus Einsteinin yleiseen suhteellisuusteoriaan . — Addison-Wesley , 2003. — ISBN 0-8053-8662-9 .
↑ 12 Rose, M.E. Multipole Fields . — John Wiley & Sons , 1955. Arkistoitu 24. kesäkuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Blatt, John M. Teoreettinen ydinfysiikka - seitsemäs painos / John M. Blatt, Victor F. Weisskopf. - John Wiley & Sons , 1963. - ISBN 0-471-30932-X . Arkistoitu 24. kesäkuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ 1 2 3 Raab, Roger E. Multipole Theory in Electromagnetism / Roger E. Raab, Owen L. de Lange. - Oxford University Press , 2004. - ISBN 978-0-19-856727-1 . Arkistoitu 24. kesäkuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jackson, John David. Klassinen elektrodynamiikka - Kolmas painos . — John Wiley & Sons , 1999. — ISBN 0-471-30932-X .
↑ 1 2 Hafner, Christian. Laskennallisen sähkömagnetiikan yleinen moninapatekniikka . - Artech House , 1990. - ISBN 0-89006-429-6 . Arkistoitu 24. kesäkuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Robert G. Brown. Vektorilaskenta: Integrointi osilla . Klassinen elektrodynamiikka: Osa II (28. joulukuuta 2007). Haettu 19. kesäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016. (määrätön)