Kiinteä piste

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Kiinteä piste matematiikassa on piste, jonka annettu kartoitus muuntaa siihen, toisin sanoen yhtälön ratkaisu . $f(x)=x$

Esimerkiksi kartoituksessa on kiinteät pisteet ja , koska ja . $f(x)=x^2-3x+3$ $x=1$ $x=3$ $f(1)=1$ $f(3)=3$

Jokaisella kartoituksella ei ole kiinteitä pisteitä – esimerkiksi todellisen suoran kartoituksella itseensä ei ole kiinteitä pisteitä. $f(x)=x+1$

Pisteet palaavat itseensä tietyn iteraatiomäärän jälkeen eli yhtälön ratkaisemisen jälkeen

f(f(\pisteet f(x)\pisteet))=x

kutsutaan jaksollisiksi (erityisesti kiinteät pisteet ovat jaksollisia pisteitä ). $yksi$

Houkuttelevat kiinteät pisteet

Näytön kiinteä piste on houkutteleva , jos peräkkäinen sovellus mihin tahansa tarpeeksi lähellä olevaan pisteeseen pyrkii : $x=f(x)$ $f$ $f$ $y$ $x$ $x$

\underbarce {f(f(\dots f(y)\dots ))} _{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty

Tällöin yleensä vaaditaan, että jokaisen iteraation tulos ei jätä pisteen jostain suuremmasta ympäristöstä - eli että piste on asymptoottisesti stabiili . $x$ $x$

Erityisesti riittävä ehto pisteen houkuttelemiseksi on ehto . $|f'(x)|<1$

Newtonin menetelmä

Yksi houkuttelevan kiinteän pisteen idean sovelluskohde on Newtonin menetelmä : yhtälön ratkaisu osoittautuu jonkin kartoituksen houkuttelevaksi kiinteäksi pisteeksi, ja siksi se voidaan löytää erittäin nopeasti konvergoivan saadun lukusarjan rajana. sen toistuvalla soveltamisella.

Tunnetuin esimerkki tästä menetelmästä on luvun neliöjuuri kuvauksen iteraatioiden rajana $a\geqslant 0$

f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2}

Katso myös

Banachin kiinteän pisteen lause
Brouwerin kiinteän pisteen lause
Differentiaaliyhtälön singulaaripiste
Schauder-Tikhonov -lause
Kiinteän pisteen kombinaattori
Kleenen kiinteän pisteen lause
Kiinteän pisteen lause normaaleille funktioille

Kirjallisuus

Kolmogorov AN , Fomin SV Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit . - M.: Nauka, 1976. - Ch. 2, kohta 4.
Krasnoselsky M. A. , Zabreiko P. P. Epälineaarisen analyysin geometriset menetelmät. - M.: Nauka, 1975. - Ch. 5.
Agarwal R.P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press , 2001. - ISBN 0-521-80250-4 .
Borisovich Yu. G. , Gel'man BD, Myshkis AD , Obukhovskii VV Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Voi. 24, numero 6, s. 719-791.
Fitzpatrick PM, Petryshyn WV Kiinteän pisteen lauseet moniarvoisille ei-kompakteille asyklisille mappauksille // Pacific Journal of Mathematics , 54:2, 1974.
Shashkin Juri Aleksejevitš, Kiinteät pisteet, "NAUKA", Moskova, 1989.