Fisherin eriarvoisuus

Fisherin epäyhtälö on välttämätön ehto tasapainoisen epätäydellisen lohkokaavion olemassaololle , toisin sanoen osajoukkojen järjestelmälle, joka täyttää tietyt kombinatorisen matematiikan ehdot . Eriarvoisuutta kuvaili populaatiogeneetikko ja tilastotieteilijä Ronald Fisher , joka tutki kokeellista suunnittelua tutkimalla eroja joidenkin eri kasvilajikkeiden välillä erilaisissa kasvuolosuhteissa, joita kutsutaan lohkoiksi .

Päästää:

$v$ on kasvilajikkeiden lukumäärä;
$b$ on lohkojen lukumäärä.

Jotta epätäydellinen lohkokaavio olisi tasapainoinen, on välttämätöntä, että:

$k$ eri lajikkeita kussakin lohkossa, mikään lajike ei esiinny kahdesti lohkossa $1\leqslant k<v$
mitkä tahansa kaksi lajiketta esiintyvät yhdessä täsmälleen lohkoina $\lambda$
jokainen lajike esiintyy täsmälleen lohkoina. $r$

Fisherin eriarvoisuus kertoo tämän

b\geqslant v

Todiste

Olkoon viereisyysmatriisi matriisi , joka on määritelty siten, että se on 1, jos elementti sisältyy lohkoon, ja 0 muussa tapauksessa. Sitten on matriisi , kuten . Koska , niin . Toisaalta , niin . $\mathbf {M}$ $v\times b$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{i,j))$ $i$ $j$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {MM} ^{T))$ $v\times v$ $\mathbf {B} _{i,i}=r$ $\mathbf {B} _{i,j}=\lambda$ $i \ne j$ $r\neq \lambda ,det(\mathbf {B} )\neq 0$ $rank(\mathbf {B} )=v$ $rank(\mathbf {B} )\leqslant rank(\mathbf {M} )\leqslant b$ $v\leqslant b$

Yleistys

Fisherin epätasa-arvo pätee yleisemmille vuokaavioluokille. Pairwise balanced design (PSS, eng. pairwise balanced design , PBD) on joukko ei-tyhjiä osajoukkoja (joiden ei tarvitse olla samankokoisia ja voivat sisältää toistoja), niin että mikä tahansa eri pari elementit sisältyvät täsmälleen (positiivinen kokonaisluku ) osajoukkoon. Joukko saa olla yksi osajoukoista, ja jos kaikki osajoukot ovat kopioita , PSS:n sanotaan olevan "triviaali". Olkoon joukon koko , ja perheen osajoukkojen lukumäärä (moninkertaisuus huomioon ottaen) . $X$ $X$ $X$ $\lambda$ $X$ $X$ $X$ $v$ $b$

Lause: Kaikille ei-triviaalille PSS:lle [1] . $v\leqslant b$

Tämä tulos yleistää de Bruijn-Erdősin lauseen :

PSS:lle, jossa ei ole kooltaan 1 tai kooltaan lohkoja , yhtäläisyydellä jos ja vain jos PSS on projektiivinen taso tai melkein nippu (mikä tarkoittaa, että pisteet ovat täsmälleen kollineaarisia ) [2] . $\lambda=1$ $v,v\leqslant b$ $n-1$

Toisessa suunnassa vuonna 1975 Ray Chadhuri ja Wilson osoittivat, että piirissä olevien lohkojen määrä on vähintään [3] . $2s-(v,k,\lambda )$ ${\binom {v}{s))$

Muistiinpanot

↑ Stinson, 2003 , s. 193.
↑ Stinson, 2003 , s. 183.
↑ Ray-Chaudhuri, Wilson, 1975 , s. 737–744.

Kirjallisuus

Dijen K. Ray-Chaudhuri, Richard M. Wilson. T-suunnittelusta // Osaka Journal of Mathematics. - 1975. - T. 12 .
Bose RC Huomautus Fisherin epätasa-arvosta tasapainoisille epätäydellisille lohkomalleille // Annals of Mathematical Statistics . - 1949. - S. 619-620 .
Fisher RA Ongelman eri mahdollisten ratkaisujen tarkastelu epätäydellisissä lohkoissa // Annals of Eugenics . - 1940. - T. 10 . - S. 52-75 .
Douglas R. Stinson. Kombinatoriset mallit: rakenteet ja analyysi. - New York: Springer, 2003. - ISBN 0-387-95487-2 .
Anne Penfold Street, Deborah J. Street,. Kokeellisen suunnittelun kombinatoriikka. - = Oxford UP [Clarendon], 1987. - s. 400+xiv. — ISBN 0-19-853256-3 .