Normi (kenttäteoria)

Normi on kentän K äärellisen laajennuksen E elementtien kartoitus alkuperäiseen kenttään K , joka määritellään seuraavasti:

Olkoon E n -asteen kentän K äärellinen jatke , jokin kentän E alkio . Koska E on vektoriavaruus K :n yläpuolella , tämä elementti määrittää lineaarisen muunnoksen . Tämä muunnos jollakin perusteella voidaan liittää matriisiin . Tämän matriisin determinanttia kutsutaan elementin α normiksi . Koska toisella pohjalla kartoitus vastaa samanlaista matriisia $\alpha$ $x\mapsto \alpha x$ samalla determinantilla normi ei riipu valitusta perustasta, eli laajennuselementti voidaan liittää yksilöllisesti sen normiin. Se merkitään tai yksinkertaisesti , jos on selvää, mikä laajennus on kyseessä. $N_{K}^{E}(\alpha )$ $N(\alpha )$

Ominaisuudet

$N(\alpha )=0$ jos ja vain jos . $\alpha =0$
$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$ kenelle tahansa $\alpha \in K$
$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
Normi on transitiivinen, eli meillä on laajennusketju $K\osajoukko E\osajoukko F$ $N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$
Jos E = K ( α ) on yksinkertainen algebrallinen laajennus ja f ( x ) = x n + a n -1 x n -1 + … + a 1 x+ a 0 on siis minimipolynomi α ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0))$

Normin ilmaiseminen E :n ja K :n automorfismeina

Olkoon σ 1 , σ 2 … σ m kaikki E :n automorfismit, jotka pitävät kentän K elementit kiinteinä . Jos E on Galois'n laajennus , niin m on yhtä suuri kuin aste [ E : K ] = n . Sitten normille on olemassa seuraava lauseke:

$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )$

Jos E ei ole erotettavissa, niin m≠n , mutta n on m :n kerrannainen ja osamäärä on jokin ominaisuuden p potenssi .

Sitten $N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )) ^{n/m}.$

Esimerkki

Olkoon R reaalilukujen kenttä , C kompleksilukujen kenttä , jota pidetään R :n jatkeena . Sitten kannassa kertominen vastaa matriisia ${\näyttötyyli (1,i)}$ $a+bi$

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

Tämän matriisin determinantti on , eli kompleksiluvun tavanomaisen moduulin neliö . Huomaa, että tämä normi määritellään yleensä nimellä ja tämä sopii hyvin yhteen sen tosiasian kanssa, että kompleksilukukentän ainoa ei-triviaali automorfismi on kompleksikonjugaatio . $a^{2}+b^{2}$ $|z|^{2}=z{\bar {z)),$

Katso myös

Kirjallisuus