Kentän laajennus

Kenttälaajennus (termiä superkenttä käytetään harvemmin ) on kenttä , joka sisältää annetun kentän alikenttänä. Laajennusten tutkiminen on tärkeä tehtävä kenttäteoriassa , koska mikä tahansa kenttähomomorfismi on laajennus. $K$ $E$ $K$

Perusmääritelmät

Jos on kenttä , sen alikenttä on sen osajoukko , joka on suljettu yhteen- ja kertolaskulla , käänteis- ja vastaelementit ja sisältää yksikön, jolle tehdään samat operaatiot kuin kentässä . Tässä tapauksessa, jota kutsutaan kenttälaajennukseksi , annettu pääte yleensä merkitään (merkintä ja käytetään myös ). Mikä tahansa kenttähomomorfismi on injektiivinen , eli se on upotus . Tästä seuraa, että tietyn laajennuksen määrittäminen vastaa homomorfismin määrittämistä . $E$ $K$ $E$ $E$ $K$ $E\ järkyttynyt K$ $E/K$ $K\alajoukko E$ $E\ järkyttynyt K$ $f:K\to E$

Kun annetaan kentän laajennus ja osajoukko , niin pienin alikenttä, joka sisältää ja , merkitään ja sitä kutsutaan kentän yli luomaksi joukoksi . Yhden elementin generoimia laajennuksia kutsutaan yksinkertaisiksi laajennuksiksi , ja äärellisen joukon generoimia laajennuksia kutsutaan äärellisiksi generoiduiksi laajennuksiksi . Elementtiä, joka saa aikaan yksinkertaisen laajennuksen, kutsutaan primitiivielementiksi . $E\ järkyttynyt K$ $S$ $E$ $E$ $K$ $S$ $K(S)$ $S$ $K$

Minkä tahansa laajennuksen kohdalla on vektoriavaruus kentän päällä . Tässä tilanteessa elementit voidaan ymmärtää "vektoreiksi" ja elementit "skalaareiksi", vektorin kertominen skalaarilla saadaan kertolaskuoperaatiolla kentässä . Tämän vektoriavaruuden ulottuvuutta kutsutaan laajennusasteeksi ja sitä merkitään . Asteen 1 laajennusta kutsutaan triviaaliksi , asteen 2 ja 3 laajennuksia kutsutaan vastaavasti neliöllisiksi ja kuutioiksi . Äärillisen asteen laajennusta kutsutaan äärelliseksi , muuten sitä kutsutaan äärettömäksi. $E\ järkyttynyt K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $E$ $[E:K]$

Esimerkkejä

Kompleksilukujen kenttä on reaalilukukentän laajennus . Tämä laajennus on äärellinen: , koska se on perusta. Reaalilukukenttä puolestaan on rationaalisten lukujen kentän laajennus; tämän laajenemisen aste on yhtä suuri kuin jatkumon teho , joten tämä laajennus on ääretön. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ ${\näyttötyyli (1,i)}$

Sarja on kentän laajennus , mikä on ilmeisen yksinkertainen. Äärillisiä laajennuksia kutsutaan algebrallisiksi lukukentiksi ja ne ovat tärkeä tutkimuskohde algebrallisessa lukuteoriassa . $\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Tavallinen menettely tietyn kentän laajennuksen muodostamiseksi, joka mahdollistaa polynomijuuren lisäämisen siihen , on ottaa polynomirenkaan tekijärengas : n generoimalla pääideaalilla . Esimerkiksi, kenttä ei saa sisältää yhtälön juuria . Siksi polynomi on redusoitumaton kohdassa , joten ideaali on maksimaalinen ja osamäärä rengas on kenttä. Tämä kenttä sisältää yhtälön juuren, polynomin kuvan tekijäkartoituksessa. Toistamalla tätä menettelyä useita kertoja saat tietyn polynomin hajoamiskentän , eli kentän, jossa tämä polynomi on jaettu lineaarisiin tekijöihin. $f(x)$ $f(x)$ $K$ $x^{2}=-1$ $x^{2}+1$ $K$ $(x^{2}+1)$ $K[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1=0$ $x$

Algebraisuus ja transsendenssi

Antaa olla kentän laajennus . Elementtiä kutsutaan algebralliseksi yli, jos se on nollasta poikkeavan polynomin juuri, jonka kertoimet ovat . Elementtejä, jotka eivät ole algebrallisia, kutsutaan transsendentaalisiksi . Esimerkiksi laajennuksen imaginaariyksikkö on algebrallinen luku, koska se täyttää yhtälön . $E$ $K$ $E$ $K$ $K$ $\mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ $x^{2}+1=0$

Laajennusten erikoistapaus on erityisen tärkeä : termejä algebrallinen luku ja transsendenttinen luku (pääkenttää määrittelemättä) käytetään juuri tietyn laajennuksen tapauksessa. $\mathbb {C} \supset \mathbb {Q}$

Jos laajennuksen jokainen elementti on algebrallinen yli , sitä kutsutaan algebralliseksi laajennukseksi . Ei-algebrallisia laajennuksia kutsutaan transsendentaalisiksi. $E\ järkyttynyt K$ $K$ $E\ järkyttynyt K$

Kentän osajoukkoa kutsutaan algebrallisesti riippumattomaksi , jos ei ole nollasta poikkeavaa polynomia (äärellisessä määrässä muuttujia), jolla on kertoimet siten , että rajallisen lukujen osajoukon korvaaminen siihen johtaa nollaan. Algebrallisesti riippumattoman joukon suurinta kardinaaliutta kutsutaan tietyn laajennuksen transsendenssiasteeksi . Mille tahansa laajennukselle voidaan löytää algebrallisesti riippumaton joukko , joka on algebrallinen laajennus. Joukkoa , joka täyttää tämän ehdon, kutsutaan annetun laajennuksen transsendenssikantaaksi . Kaikilla transsendenssin perusteilla on sama kardinaliteetti, yhtä suuri kuin laajennuksen transsendenssin aste. $S$ $E$ $K$ $K$ $S$ $S$ $E\supset K(S)$ $S$

Yksinkertainen laajennus on äärellinen , jos se on generoitu algebrallisen elementin avulla. Muuten ainoat alkebralliset elementit ovat itse elementit . $E\ järkyttynyt K$ $K$ $K$

Galois-laajennukset

Algebrallista laajennusta kutsutaan normaaliksi , jos jokainen redusoitumaton polynomi yli , jolla on vähintään yksi juur , hajoaa lineaarisiksi tekijöiksi. $E\ järkyttynyt K$ $f(x)$ $K$ $E$ $E$

Algebrallisen laajennuksen sanotaan olevan erotettavissa , jos jokainen elementti on erotettavissa, eli sen minimaalisella polynomilla ei ole useita juuria. Erityisesti primitiivisen elementin lause sanoo, että kaikilla äärellisillä erotettavissa olevilla laajennuksilla on primitiivinen alkio (eli se on yksinkertainen laajennus). Galois-laajennus on sekä erotettava että normaali laajennus. $E\ järkyttynyt K$ $E$

Minkä tahansa laajennuksen kohdalla voidaan tarkastella kentän automorfismien ryhmää, joka toimii samalla tavalla kentällä . Kun laajennus on Galois-laajennus, tätä ryhmää kutsutaan annetun laajennuksen Galois-ryhmäksi . $E\ järkyttynyt K$ $E$ $K$

Laajennuksessa on usein hyödyllistä kuvata välikenttiä (eli alikenttiä, jotka sisältävät ). Galois'n teorian peruslause sanoo, että välikenttien joukon ja Galois'n ryhmän aliryhmien joukon välillä on bijektio, joka kääntää järjestyksen sisällyttämällä. $E\ järkyttynyt K$ $E$ $K$

Kirjallisuus

Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Kommutatiivinen algebra. - osa 1. - M .: IL, 1963.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.
P. Aluffi. Algebra: Luku 0 (Matematiikan jatko-opinnot) - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .