Yleistetty monikulmio

Yleistetty polygoni on Jacques Titsin vuonna 1959 ehdottama esiintyvyysrakenne . Yleistetyt n -kulmiot sisältävät erikoistapauksina projektitiiviset tasot (yleistetut kolmiot, n =3) ja yleistetyt nelikulmiot ( n =4) . Monet yleistetyt polygonit saadaan Lie-ryhmistä , mutta on joitain eksoottisia yleistettyjä polygoneja, joita ei saada tällä tavalla. Yleistetyt polygonit, jotka täyttävät Moufang-ominaisuutena tunnetun ehdon, luokitellaan täysin Tits ja Weiss. Mikä tahansa yleistetty n -kulmio, jossa on parillinen n , on myös lähes monikulmio .

Määritelmä

Yleistetty 2 -gon (dygon) on insidenssirakenne, jossa on vähintään 2 pistettä ja 2 viivaa, jossa jokainen piste kohtaa jokaista suoraa.

Yleistetylle n -kulmalle tämä on insidenssirakenne ( ), jossa on pisteiden joukko, viivojen joukko ja ilmaantuvuussuhde , siten että: $n\geq 3$ $P,L,I$ $P$ $L$ $I\subseteq P\times L$

Tämä on osittain lineaarinen avaruus.
Siinä ei ole tavallisia m -goneja aligeometriana . $2\leq m<n$
Siinä ei ole tavallisia n -kulmia aligeometriana.
Jokaiselle on olemassa aligeometria ( ), joka on isomorfinen n - kulman kanssa siten, että . $\{A_{1},A_{2}\}\subseteq P\cup L$ $P',L',I'$ $\{A_{1},A_{2}\}\subseteq P'\cup L'$

Vastaava mutta joskus yksinkertaisempi tapa ilmaista nämä termit on seuraava. Otetaan kaksiosainen insidenssigraafi , jossa on useita pisteitä ja viivoja yhdistäviä pisteitä ja reunoja. $P\cup L$

Ilmaantuvuuskäyrän ympärysmitta on kaksi kertaa ilmaantuvuuskäyrän halkaisija n .

Tästä eteenpäin pitäisi olla selvää, että yleistettyjen polygonien esiintyvyyskaaviot ovat Mooren graafit .

Yleistetyllä polygonilla on järjestys (s,t), jos

kaikilla elementtejä vastaavilla insidenssigraafin pisteillä on sama aste s + 1 jollekin luonnolliselle luvulle s . Toisin sanoen mikä tahansa rivi sisältää täsmälleen s + 1 pistettä, $L$
kaikilla elementtejä vastaavilla esiintymisgraafin kärjeillä on sama aste t + 1 jollekin luonnolliselle luvulle t . Toisin sanoen mikä tahansa piste sijaitsee täsmälleen t + 1 viivoilla. $P$

Sanomme, että yleinen monikulmio on paksu, jos mikä tahansa piste (viiva) osuu vähintään kolmeen suoraan (pisteeseen). Kaikilla paksuilla yleistetyillä polygoneilla on järjestys.

Yleistetyn n - gon ( ) duaali on insidenssirakenne, jossa pisteet ja viivat vaihtavat rooleja, ja vastaavasti esiintyvyysrelaatiosta tulee relaatiolle käänteinen [ . Voidaan helposti osoittaa, että duaalirakenne on myös yleistetty n - gon. $P,L,I$ $minä$

Esimerkkejä

Yleistetyn digonin insidenssigraafi on täydellinen kaksiosainen graafi K s +1, t +1 .
Jokaiselle luonnolliselle luvulle n ≥ 3 otetaan tavallisen monikulmion raja, jossa on n sivua. Ilmoitetaan monikulmion kärjet pisteiksi ja sivut suoriksi viivoiksi. Ilmaantuvuussuhde on luonnollinen. Saadaan yleistetty n -gon, jossa s = t = 1.
Mille tahansa Lie-tyypin ryhmälle G , jonka arvo on 2, on olemassa yleistetty n - gon X , jossa n on 3, 4, 6 tai 8 siten, että G toimii transitiivisesti lippujen X joukossa . Lopullisessa tapauksessa n=6 :lle voidaan saada murrettu Cayleyn kuusikulmio ( q , q ) G 2 :lle ( q ) ja kierretty kolmoiskuusikulmio ( q 3 , q ) 3 D 4 :lle ( q 3 ) , ja arvolle n=8 saamme Ree-Titsin kahdeksankulmion kertaluvun ( q , q 2 ) arvolle 2 F 4 ( q ) , jossa q =2 2 n +1 . Kaksinaisuuteen asti tunnetaan vain äärelliset paksut yleistetyt kuusikulmiot ja kahdeksankulmiot.

Parametrirajoitus

Walter Veit [1] ja Graham Higman osoittivat, että äärelliset yleistetyt n -kulmat, joiden kertaluku ( s , t ), joiden s ≥ 2, t ≥ 2, voivat olla olemassa vain seuraaville n :n arvoille :

2, 3, 4, 6 tai 8.

Näiden arvojen yleistettyjä "n"-kulmia kutsutaan yleistetyiksi digoneiksi (digoneiksi), kolmioiksi, nelikulmioiksi, kuusikulmioiksi ja kahdeksankulmioiksi.

Jos yhdistämme Veit-Higmanin lauseen Hemers-Roosin epäyhtälöihin, saamme seuraavat rajoitukset:

Jos n = 2, esiintyvyyskaavio on täydellinen kaksiosainen graafi, ja "s" ja "t" voivat olla mielivaltaisia kokonaislukuja.
Jos n =3, rakenne on äärellinen projektiivinen taso ja s = t .
Jos n =4, rakenne on äärellinen yleistetty nelikulmio ja t 1/2 ≤ s ≤ t 2 .
Jos n = 6, niin st on neliö ja t 1/3 ≤ s ≤ t 3 .
Jos n = 8, niin 2st on neliö ja t 1/2 ≤ s ≤ t 2 .
Jos s tai t on 1 ja rakenne ei ole tavallinen n - gon, niin yllä lueteltujen n :n arvojen lisäksi vain arvo n =12 on mahdollinen.

Kaikilla tunnetuilla äärellisillä yleistetyillä kuusikulmioilla , joiden kertaluku ( s , t ) s , t > 1 on järjestys

( q , q ) ovat jaetut Cayleyn kuusikulmiot ja niiden kaksois
( q 3 , q ) on kierretty kolmoiskuuskulmio tai
( q , q 3 ) on kaksoiskierretty kolmoiskuusikulmio,

missä q on alkuluvun potenssi.

Kaikilla tunnetuilla yleistetyillä kahdeksankulmioilla ( s , t ) s , t > 1 on järjestys

( q , q 2 ) on Ree-Titsin kahdeksankulmio tai
( q 2 , q ) on Ree-Tits kahdeksankulmion kaksoisluku,

missä q on luvun 2 pariton potenssi.

Puolifiniittiset yleistetyt polygonit

Jos molemmat luvut, s ja t , ovat äärettömiä, niin kaikille n :lle on olemassa yleistettyjä polygoneja , jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 2. Ei tiedetä, onko olemassa yleistettyjä polygoneja, joiden yksi parametreista on äärellinen (ja suurempi kuin 1 ) ja toinen on ääretön (näitä polygoneja kutsutaan puolifiniteiksi ). Peter Cameron osoitti, että puoliäärillisiä yleistettyjä nelikulmioita, joissa on kolme pistettä kullakin suoralla, ei ole olemassa. Endres Brewer ja Bill Kantor osoittivat itsenäisesti ei-olemassaolonsa neljällä pisteellä rivillä. G. Cherlin osoitti malliteorian avulla, että yleistettyjä nelikulmioita ei ole olemassa viidelle pisteelle kullakin suoralla [ 2] . Muita tuloksia ei tiedetä ilman, että tehdään joitain lisäoletuksia yleistetyistä kuusikulmioista tai kahdeksankulmioista, edes pienimmässä tapauksessa, jossa kullakin viivalla on kolme pistettä.

Kombinatoriset sovellukset

Kuten edellä todettiin, yleistettyjen polygonien esiintyvyyskaavioilla on tärkeitä ominaisuuksia. Esimerkiksi mikä tahansa yleistetty n -gon kertaluokkaa (s, s) on (s+1,2n) solu . Ne liittyvät myös laajennuksiin , koska niillä on hyvät laajenemisominaisuudet [3] . Jotkut äärimmäisten laajennusten luokat saadaan yleistetyistä polygoneista [4] . Ramseyn teoriassa yleistettyjen monikulmioiden avulla rakennetut graafit tarjoavat parempia alarajoja diagonaalisille Ramsey-luvuille [5] .

Katso myös

Rakenne (matematiikka)
Pari (B, N)
Ree ryhmä
Moufang lentokone
Melkein monikulmio

Muistiinpanot

↑ Saksalaisena sukunimi Feit luetaan Veit , mutta koska Veit muutti Yhdysvaltoihin, hänen sukunimensä lukeminen siellä voi olla erilainen.
↑ Paikallisesti äärelliset yleistetyt nelikulmiot, joissa on enintään viisi pistettä riviä kohden . Haettu 20. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. heinäkuuta 2021. (määrätön)
↑ Explicit Concentrators from Generalized N -Gons | SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods | Voi. 5, ei. 3 | Teollisen ja soveltavan matematiikan yhdistys
↑ Arkistoitu kopio . Haettu 20. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 22. elokuuta 2017. (määrätön)
↑ Samat Ramseyn numerorajat Arkistoitu 29. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa , hankittu Kostochka, Pudlak ja Rödl.

Kirjallisuus

Godsil Chris, Royle Gordon. Algebrallinen graafiteoria. - New York: Springer-Verlag, 2001. - Vol. 207. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 0-387-95220-9 . - doi : 10.1007/978-1-4613-0163-9 .
Feit Walter, Higman Graham. Tiettyjen yleistettyjen polygonien puuttuminen // Journal of Algebra. - 1964. - T. 1 . — S. 114–131 . - doi : 10.1016/0021-8693(64)90028-6 .
Haemers WH, Roos C. Epäyhtälö yleistetyille kuusikulmioille // Geometriae Dedicata. - 1981. - T. 10 . - S. 219-222 . - doi : 10.1007/BF01447425 .
Kantor WM Yleistetyt polygonit, SCAB:t ja GAB:t // Rakennukset ja kaavioiden geometria . - Springer-Verlag, Berliini, 1986. - T. 1181. - S. 79-158. — (Matematiikan luentomuistiinpanot).
Van Maldeghem Hendrik. Yleistetyt polygonit. - Basel: Birkhäuser Verlag, 1998. - Vol. 93. - (Matematiikan monografioita). — ISBN 3-7643-5864-5 . - doi : 10.1007/978-3-0348-0271-0 .
Stanton Dennis. Yleistetyt n -gonit ja Chebychev-polynomit // Journal of Combinatorial Theory . - 1983. - T. 34 . - S. 15-27 . - doi : 10.1016/0097-3165(83)90036-5 .
Tissit Jacques, Weiss Richard M. Moufang-polygonit. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 3-540-43714-2 .