Keskipitkä kiihtyvyys

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Keskipisteinen (normaali) kiihtyvyys - kehon kiihtyvyyden komponentti, joka kuvaa muutosnopeutta nopeusvektorin suunnassa (toinen komponentti, tangentiaalinen kiihtyvyys , luonnehtii nopeusmoduulin muutosta). Suunnattu kohti liikeradan kaarevuuskeskusta , johon termi liittyy. Ilmaistaan kiihdytykseen valitulla symbolilla, johon on lisätty "normaali"-kuvake: (harvemmin ); SI-järjestelmässä se mitataan yksikössä m/s 2 . ${\vec {a}}_{n}$ ${\vec {w}}_{n}$

Esimerkki liikkeestä nollasta poikkeavalla keskikiihtyvyydellä on liike ympyrää pitkin (tässä tapauksessa se on suunnattu kohti ympyrän keskustaa). ${\vec {a}}_{n}$

Klassisessa mekaniikassa normaalikiihtyvyyden aiheuttavat voimakomponentit , jotka on suunnattu kohtisuorasti nopeusvektoriin. Esimerkiksi avaruusobjektin liikkeelle kiertoradalla on ominaista painovoiman aiheuttama keskipetaalinen kiihtyvyys . Voimien summan komponenttia, joka määrittää normaalin kiihtyvyyden olemassaolon, kutsutaan keskivoimaksi . Ei-inertiaalisille viitekehykselle liittyvä käsite on keskipakovoima .

Värähtelevä kiihtyvyys, kun otetaan huomioon kappaleen pyöriminen akselin ympäri, projisoituna akselia vastaan kohtisuoraan tasoon, näyttää keskipisteeltä.

Yleinen kaava

Normaali kiihtyvyys lasketaan kaavalla $a_n$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

tai (käyttäen suhdetta ) $v=\omega R$

a_n = \omega^2 R

missä on (hetkellinen) lineaarinen liikkeen nopeus liikeradalla, on liikkeen (hetkellinen) kulmanopeus suhteessa liikeradan kaarevuuskeskipisteeseen, on liikeradan kaarevuussäde tietyssä pisteessä. $v$ $\omega$ $R$

Lausekkeet voidaan kirjoittaa uudelleen vektorimuotoon:

\mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} =\omega ^{2}R\mathbf {n}

Tässä on yksikkövektori, joka on suunnattu tietystä liikeradan pisteestä liikeradan kaarevuuskeskukseen. $\mathbf n$

Nämä kaavat soveltuvat sekä tiettyyn tasaisen liikkeen tilanteeseen ( const ) että mielivaltaiseen tapaukseen. Tasaisessa tapauksessa normaali kiihtyvyys on sama kuin täysi kiihtyvyys. Yleisessä tapauksessa normaalikiihtyvyys on vain liikerataa vastaan kohtisuorassa oleva vektorin komponentti (vektori ), ja koko kiihtyvyysvektori sisältää myös tangentiaalisen komponentin , jota ohjaa yhdessä liikkeen liikeradan tangentti [1] . $|{\vec {v}}|=\,$ ${\vec {a}}$ $\vec{v}$ $a_{\tau }=dv/dt$

Kaavan johtaminen

Kiihtyvyyden hajottamiseksi tangentiaaliseksi ja normaaliksi on mahdollista erottaa nopeusvektori ajassa , joka esitetään yksikkötangenttivektorina : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt))={\frac {\ mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}=\mathbf {a} _{\ tau }+v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl)){\frac {dl}{dt))=\mathbf {a} _{\tau }+v^{2}{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}{\frac {d\mathbf {\tau } }{d\varphi }}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\,\mathbf {n}

Tässä ensimmäinen termi on tangentiaalinen kiihtyvyys ja toinen on normaali kiihtyvyys. V on yksikkönormaalivektori, liikeradan kaarevuussäde tarkastelupisteessä ja liikeradan pituuden elementti. Minkä tahansa käyrän pientä osaa voidaan pitää ympyrän kaarena, ja sen säde on kaarevuussäde . Muutosketjussa käytetään ilmeisiä suhteita ja (missä on pieni kiertokulma kaarevuuskeskipisteen ympärillä). $\mathbf n$ $R$ $dl$ $R$ $dl/dt=v$ $dl=R\,d\varphi$ $d\varphi$

Tasa -arvo seuraa geometrisista näkökohdista. Ero yksikkötangenttivektorien välillä liikeradan tarkastelupisteissä ( ) ja lähellä sitä ( ) on , missä on ja välillä oleva kulma . Tämä ero on suunnattu kulmaan normaaliin nähden tarkasteltavassa pisteessä. Jos se on pieni , siinä on sattuma normaalivektorin kanssa . Pienuudella on myös mahdollista laajentaa sini Taylor-sarjaksi . Seurauksena on, että saavutamme tai, infinitesimaalien kohdalla, . $d\mathbf {\tau } /d\varphi =\mathbf {n}$ $\Delta \mathbf {\tau } =\mathbf {\tau } '-\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$ $\mathbf {\tau } '$ $2\sin(\Delta \varphi /2)$ $\Delta \varphi$ $\mathbf {\tau } '$ ${\mathbf \tau }$ $\Delta \varphi /2$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\Delta \mathbf {\tau } =\Delta \varphi \,\mathbf {n}$ $d\mathbf {\tau } /d\varphi =d\varphi /d\varphi \,\mathbf {n}$

Kaarevuussäteellä

Reitin kaarevuussäteen ja kaarevuuskeskipisteen koordinaattien laskeminen on matemaattinen ongelma (katso Kaarevuus ). Jos käyrä on annettu yhtälöllä , niin sen kaarevuussäde pisteessä ( , ) on [2] $y = f(x)$ $x$ $y$

R={\frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}

ja kaarevuuskeskipisteen sijainti - kaavojen [2] mukaan

\xi =x-{\frac {f'(1+f'^{2})}{f'')),\qquad \eta =y+{\frac {1+f'^{2} }{f''}}}

Yksikkönormaalivektori tässä tapauksessa on ( , - orts ) $\vec{i}$ $\vec{j}$

{\vec {n}}={\frac {\xi -x}{R}}\,{\vec {i}}+{\frac {\eta -y}{R}}\,{ \vec {j}}

Jos tunnetaan materiaalipisteen sädevektorin riippuvuus ajasta (matemaattisesta näkökulmasta tämä tarkoittaa liikeradan asettamista parametriseen muotoon), niin kaarevuussäde voidaan löytää kiihtyvyyden avulla: ${\vec {r}}(t)$

R={\frac {v^{2}}{\sqrt {a^{2}-a_{\tau }^{2}}}}

missä ja ; aiemmin löytyi nopeus kuin . Kaarevuuskeskus ei yleensä ole sama kuin sädevektorin origo. ${\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt$ $a_{\tau }=dv/dt$ ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt$

Motivaatio, huomautukset

Se, että kiihtyvyysvektorin hajottaminen komponenteiksi - yksi lentoradan tangenttia pitkin (tangentiaalinen kiihtyvyys) ja toinen sitä kohti kohtisuoraan (normaalikiihtyvyys) - voi olla kätevää ja hyödyllistä, on jo sinänsä ilmeistä. Vakiomoduulinopeudella liikkuessa tangentiaalinen komponentti tulee yhtä suureksi kuin nolla, eli tässä tärkeässä erityistapauksessa vain normaalikomponentti jää jäljelle. Lisäksi jokaisella näistä komponenteista on omat selvät ominaisuutensa ja rakenteensa, ja normaalikiihtyvyys sisältää melko tärkeän ja ei-triviaalin geometrisen sisällön kaavansa rakenteessa. Ympyrän liikkeen erikoistapaus on myös erittäin tärkeä.

Tangentiaalisen kiihtyvyyden absoluuttinen arvo riippuu vain maakiihtyvyydestä, joka on yhtäpitävä sen absoluuttisen arvon kanssa, toisin kuin normaalikiihtyvyyden absoluuttinen arvo, joka ei riipu maan kiihtyvyydestä, vaan riippuu ajonopeudesta.

Käsitteen historia

Ilmeisesti Huygens sai ensimmäisenä oikeat kaavat keskipakokiihtyvyydelle (tai keskipakovoimalle) . Käytännössä siitä lähtien keskikiihtyvyyden huomioiminen on ollut yleinen tekniikka mekaanisten ongelmien ratkaisemisessa.

Hieman myöhemmin näillä kaavoilla oli merkittävä rooli universaalin painovoiman lain löytämisessä (keskipetaalista kiihtyvyyskaavaa käytettiin Keplerin kolmanteen lakiin perustuvan lain saamiseksi gravitaatiovoiman riippuvuudesta painovoiman lähteen etäisyydestä. havainnoista johdettu ).

1800-luvulla keskikiihtyvyyden huomioimisesta oli tullut jo melko rutiinia sekä puhtaissa tieteen että tekniikan sovelluksissa.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kuten kaavasta voidaan nähdä, ajettaessa tasaisella ajonopeudella tangentiaalinen kiihtyvyys on yksinkertaisesti nolla.
↑ 1 2 Schneider V. E. et al. Korkeamman matematiikan lyhyt kurssi. Proc. yliopistojen tuki. M., "Korkeampi. koulu", c. 368-370.

mekaaninen liike
viitejärjestelmä	inertiaalinen viitekehys Ei-inertiaalinen viitekehys Yhdistelmäliike Suhteellisuusperiaate
Materiaalipiste	Tasainen liike Suoraviivainen liike Liikeyhtälö Liikeyhtälöt ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä Liikerata (polku) liikkuva Nopeus Kiihtyvyys ( keskipetaalinen kiihtyvyys tangentiaalinen kiihtyvyys ) ääliö
Fyysinen vartalo	translaatioliike Taso-rinnakkaisliike ( Rinnakkaiskäännös ) Pallomainen liike ( kiertoliike Pyöreä liike Precessio nutaatio )
jatkumo	laminaari virtaus turbulentti virtaus
Liittyvät käsitteet	Nopeussuunnitelma Junan pito Kuusi vapausastetta