Näyttö markiisi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23.11.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Markiisikartoitus dynaamisten järjestelmien teoriassa esitetään seuraavasti: $f_{\mu}=\mu \min\{x,1-x\}$

Arvoille telttakartta muuntaa segmentin itsestään, koska se on dynaaminen järjestelmä , jolla on diskreetti aika. Erityisesti pisteen kiertorata intervallista on sekvenssi : $\mu\in[0;2]$ $[0;1]$ $x_0$ $[0;1]$ $x_{n}$

x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2)) ,\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{cases}}

Huolimatta siitä, että telttakartoitus on melko yksinkertainen epälineaarinen dynaaminen järjestelmä, siinä on useita ominaisuuksia, jotka ovat tyypillisiä myös monimutkaisemmille järjestelmille: jaksollisten kiertoratojen tiheys , sekoittuminen , herkkyys alkuolosuhteille , ts. satunnaisuus [1] .

Ominaisuudet

Jos , on houkutteleva kiinteä piste : järjestelmä pyrkii nollaamaan ajan edetessä äärettömyyteen mille tahansa välin alkuarvolle . $\mu\in[0;1)$ $x=0$ $x$ $[0;1]$
Jos , kaikki ovat kiinteitä pisteitä ja ovat yksikköjakson preperiodisia pisteitä (yhden iteroinnin jälkeen niistä tulee kiinteitä pisteitä). $\mu=1$ $x\in[0;0,5]$ $x\in(0,5;1]$
Jos , kartoituksella on kaksi kiinteää pistettä: ja . Lisäksi molemmat ovat epävakaita, eli kiinteiden pisteiden läheisyydessä olevat arvot siirtyvät pois niistä myöhemmillä iteraatioilla. Lisäksi tällaisille arvoille väli sisältää sekä jaksollisia että ei-jaksollisia pisteitä. $\mu\in(1;2]$ $x=0$ $x={\frac {\mu }{1+\mu }}$ $x$ $\mu$ $x\in [\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
Jos , niin järjestelmä kartoittaa segmentin välijoukon itseensä, ja niiden liitto on telttakartoituksen Julia-joukko , ts. joukko pisteitä, joiden kiertoradat ovat epävakaita. $\mu\in(1;\sqrt2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$
- suurennus osoittaa, että kun μ ≈ 1, Julia-joukko koostuu useista intervalleista. Kaaviot näyttävät 4 ja 8 intervallia riittävällä suurennuksella.

Markiisin jakautumiskaavio. Suurempi tiheys vastaa suurempaa todennäköisyyttä, että muuttuja x saa parametrille tietyn arvon $\mu$
Kun suurennetaan lähellä kärkeä, näkyy 4 väliä
Lisäsuurennus näyttää 8 väliä

Jos , niin janan intervallit suppenevat ja Julia-joukko on koko intervalli (katso bifurkaatiokaavio). $\mu\in(\sqrt2;2]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$ $[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$

Jos , niin järjestelmä muuttaa segmentin [0;1] itsestään. Tässä tapauksessa jaksolliset pisteet ovat tiheitä janolla, joten kartoitus osoittaa satunnaisuutta [2] . Ei-jaksollinen käyttäytyminen on ainutlaatuista irrationaalisille luvuille, mikä voidaan osoittaa mekanismilla, jolla kartoitus vaikuttaa binäärimerkinnällä esitettyyn numeroon : se siirtää binaaripilkun oikealle yhden desimaalin verran, ja sitten, jos mitä tapahtui. olla pilkun vasemmalla puolella on yksikkö, hylkää sen ja muuttaa kaikki ykköset nolliksi ja päinvastoin (paitsi viimeinen luvuille, joilla on äärellinen binäärimerkintä). Irrationaaliselle luvulle, jonka binäärimerkintä on ei-jaksollinen, tämä on ääretön prosessi. Lisäksi on syytä huomata, että teltan kartoitus on topologisesti konjugoitu logistiseen kartoitukseen ja puolikonjugoitu tuplauskartoituksen kanssa, mikä osoittaa näiden kartoitusten dynaamisten ominaisuuksien samankaltaisuuden [3] . Todellakin, anna olla kartoitusteltan kiertorata kohteelle ja olla logistisen kartoituksen kiertorata , niin ne liittyvät suhteeseen: . $\mu=2$ $\mu=2$ $r = 4$ $\mu=2$ $x_{n}$ $\mu=2$ $y_{n}$ $r = 4$ $x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).$
Jos , kuvauksen Julia-joukko sisältää edelleen äärettömän määrän sekä jaksollisia että ei-jaksollisia pisteitä, mutta melkein kaikkialla janan pisteet pyrkivät äärettömyyteen. Itse sarjasta tulee kantorilainen . Erityisesti Julia-sarja markiisikartan on vakio Cantor-sarja. $\mu\in(2;+\infty)$ $[0;1]$ $\mu=3$

Epäsymmetrinen markiisin näyttö

Dynaamisten järjestelmien teorian tutkimuskohteena on myös markiisin epäsymmetrinen näyttö . Sitä voidaan pitää vakioteltan vitriinin jatkeena : $f_\alpha: [0;1] \nuoli oikealle [0;1], \alpha \in (1; +\infty)$ $\mu=2$

x_{n+1}=f_\alpha(x_n)=\begin{cases} \alpha x_n & \mathrm{for}~~ 0 \le x_n < \frac{1}{\alpha} \\ \\ \frac {\alpha}{\alpha-1} (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{\alpha} \le x_n \le 1 \end{cases}

Markiisin epäsymmetrinen näyttö säilyttää palakohtaisen lineaarifunktion muodon, ja sitä voidaan käyttää esittämään reaalilukuja analogisesti desimaalimerkinnän kanssa [4] . $[0;1]$

Katso myös

Kirjallisuus

↑ Lynch, Stephen. "Epälineaariset diskreetit dynaamiset järjestelmät." Dynaamiset järjestelmät sovelluksilla Maplella. Birkhauser Boston, 2010. 263-295.
↑ Li, Tien-Yien ja James A. Yorke. "Kolmas jakso merkitsee kaaosta." Amerikkalainen matemaattinen kuukausilehti (1975): 985-992.
↑ Smale, Stephen, Morris W. Hirsch ja Robert L. Devaney. "Diskreetit dynaamiset järjestelmät." Differentiaaliyhtälöt, dynaamiset järjestelmät ja johdatus kaaokseen. Voi. 60. Academic Press, 2003. 327-357.
↑ Lagarias, JC, HA Porta ja KB Stolarsky. "Epäsymmetriset telttakartan laajennukset. I. Lopulta jaksolliset pisteet." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.