Bellin paradoksi

Bellin paradoksi on yksi tunnetuista suhteellisuusteorian suhteellisuusteorian relativistisista paradokseista . Itse John Stuart Bellin tunnetuimmassa versiossa [1] paradoksi syntyy, kun tarkastellaan ajatuskoetta , joka sisältää kaksi avaruusalusta, jotka kiihtyvät samaan suuntaan ja yhdistävät ne äärirajaan venytetyllä nauhalla (yksi laiva lentää tiukasti toisen edellä , eli kiihtyvyys on suunnattu merkkijonoa pitkin). Jos alukset alkavat kiihtyä synkronisesti, niin laivojen mukana tulevassa vertailukehyksessä niiden välinen etäisyys alkaa kasvaa ja merkkijono katkeaa . Toisaalta vertailukehyksessä, jossa alukset olivat ensin levossa, niiden välinen etäisyys ei kasva, joten merkkijonon ei pitäisi katketa . Mikä näkökulma on oikea? Suhteellisuusteorian mukaan ensimmäinen on merkkijonon katkeaminen.

Kronologisesti ensimmäinen maininta paradoksista sisältyy E. Dewanin ja M. Beranin töihin vuonna 1959 [2] , jotka pitivät sellaisen ajatuskokeen tulosta vahvistuksena kappaleiden relativistisen supistumisen todellisuudesta .

Neuvostoliiton fyysikko D. V. Skobeltsyn antoi riittävän yksityiskohtaisen selityksen synkronisesti kiihtyviä raketteja yhdistävän kaapelikatkon vaikutuksesta kirjassaan "Kaksoisparadoksi suhteellisuusteoriassa". Kirja kirjoitettiin vuonna 1959 ja julkaistiin vuonna 1966 [3] .

Bellin ajatuskoe

Bellin versiossa kaksi avaruusalusta, jotka ovat alun perin levossa suhteessa johonkin inertiaaliseen viitekehykseen (ISR) , on yhdistetty rajaan venytetyllä merkkijonolla. Nolla-ajalla vastaavan ISO:n kellon mukaan molemmat alukset alkavat kiihtyä omalla vakiokiihtyvyydellä , joka mitataan kullekin alukselle sijoitetuilla kiihtyvyysantureilla . Kysymys kuuluu, katkeaako lanka? $g$

Dewanin ja Beranin sekä Bellin näkemyksen mukaan vertailukehyksessä, jossa alukset olivat alun perin levossa, niiden välinen etäisyys pysyy ennallaan, mutta merkkijonon pituus kokee relativistisen supistumisen, joten jossain vaiheessa merkkijono katkeaa. Bellin sanamuodossa tämä esitetään seuraavasti [4] :

Kolme pientä avaruusrakettia, A, B ja C, ajautuvat vapaasti avaruuden alueella, joka on kaukana muusta aineesta, ilman pyörimistä ja suhteellista liikettä, B:n ja C:n ollessa yhtä kaukana A:sta (kuva 1).

Kun signaali vastaanotetaan A:lta, moottorit B ja C käynnistetään ja raketit alkavat kiihtyä tasaisesti (kuva 2). Olkoon raketit B ja C identtisiä ja niillä on samat kiihtyvyysohjelmat. Silloin (paikassa A olevan tarkkailijan mukaan) niillä on sama nopeus kullakin ajanhetkellä ja siten ne pysyvät siirtyneinä toisiinsa nähden saman etäisyyden verran.

Oletetaan, että B ja C on alusta alkaen yhdistetty ohuella langalla (kuva 3). Ja jos lanka on aluksi tarpeeksi pitkä kattamaan vaaditun matkan, sitten rakettien kiihtyessä se lyhenee, kun se käy läpi Fitzgeraldin supistumisen ja lopulta katkeaa. Sen pitäisi rikkoutua, kun riittävän suurella nopeudella luonnollisen puristumisen keinotekoinen estäminen johtaa kelpaamattomaan jännitykseen.

Onko se totta? Tästä vanhasta ongelmasta keskusteltiin kerran CERNin ruokasalissa. Eräs arvostettu kokeellinen fyysikko kieltäytyi hyväksymästä langan katkeamista ja piti päinvastaista uskoani omana väärinkäsitykseni erityisestä suhteellisuusteoriasta. Päätimme hakea CERNin teoriaosastolta välimiesmenettelyä ja teimme (ei kovin systemaattisen) mielipidekyselyn tästä asiasta. Oli selvä yksimielisyys, että lanka ei katkea! Tietenkin monet, jotka antavat tämän väärän vastauksen aluksi, tulevat hetken harkinnan jälkeen oikeaan. Heidän on yleensä pakko nähdä, miltä se kaikki näyttää havainnoijalle B tai C. He huomaavat, että esimerkiksi B näkee C:n yhä kauemmaksi takaapäin, joten tietty lanka ei voi enää peittää heidän välistä etäisyyttä. Vasta tämän tekemisen jälkeen ja kenties jäljelle jääneen levottomuuden tunteessa nämä ihmiset päätyvät lopulta johtopäätökseen, joka on varsin triviaali A:n näkökulmasta, kun otetaan huomioon Fitzgeraldin supistuminen. Minun vaikutelmani on, että niillä, joilla on enemmän klassinen koulutus ja jotka tuntevat joitain Larmorin, Lorentzin ja Poincarén ja Einsteinin päätelmiä, on vahvempi ja luotettavampi intuitio.

Tätä ongelman ratkaisua vastaan esitettiin vastalauseita, joita puolestaan kritisoitiin. Esimerkiksi Paul Nawrocki ehdotti , että merkkijono ei saisi katketa [ 5] , kun taas Edmond Dewan puolusti alkuperäistä näkemystään vastauspaperissa [ 6] . Bell kirjoitti, että hän kohtasi "yhden tunnetun kokeilijan" hillittyyn skeptisyyteen vastauksena hänen esittämäänsä paradoksiin. Kiistan ratkaisemiseksi pidettiin CERNin teoreettisen osaston epävirallinen kokous . Bell toteaa, että osaston "selkeä yksimielisyys" oli, että merkkijono ei saa katketa. Bell lisää: "Tietenkin monet ihmiset, jotka saivat aluksi väärän vastauksen, päätyivät oikeaan vastaukseen lisäperusteluilla" [1] . Myöhemmin, vuonna 2004 , Matsuda ja Kinoshita [7] kirjoittivat, että japanilaisessa lehdessä julkaistua artikkelia, joka sisälsi itsenäisesti uudelleen löydetyn version paradoksista, kritisoitiin voimakkaasti. Kirjoittajat eivät kuitenkaan lainaa kriittisiä teoksia, vaan toteavat vain, että ne on kirjoitettu japaniksi.

Ei-relativistiseen liikeyhtälöön perustuva analyysi

Jatko-analyysissä avaruusaluksia pidetään pistekappaleina ja huomioidaan vain merkkijonon pituus. Analyysi viittaa tapaukseen, jossa alukset sammuttavat moottorinsa tietyn ajan kuluttua . Galilean koordinaatteja käytetään kaikissa inertiaalisissa viitekehyksessä . $T$

Dewanin ja Beranin sekä Bellin esityksen mukaisesti "laukaisupaikkojen" vertailukehyksessä (joihin suhteutettuna alukset lepäsivät ennen moottoreiden käynnistystä ja joita kutsumme nimellä CO ), alusten välinen etäisyys on pysyttävä vakiona " määritelmän mukaan ". $S$ $L$ $A$ $B$

Tämä voidaan havainnollistaa seuraavasti. Laivojen siirtymä suhteessa niiden alkuasentoon - pitkin CO - akselia - ajan funktiona voidaan kirjoittaa muodossa . Tämä toiminto riippuu yleisesti ottaen moottoreiden työntövoimasta, mutta on tärkeää, että se on sama molemmille avaruusaluksille. Siksi kunkin aluksen sijainti ajan funktiona on: $X$ $S$ $f(t)$

x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),

missä

f(t)

for on yhtä suuri kuin 0 ja on jatkuva kaikille arvoille ;

t<0

t

x_{A}

- aluksen sijainti ( -koordinaatti) ;

x

A

x_B

- aluksen sijainti ( -koordinaatti) ;

x

B

a_{0}

on aluksen sijainti ;

A

t = 0

b_{0}

on aluksen sijainti .

B

t = 0

Tästä, joka on vakioarvo, joka ei riipu ajasta. Tämä argumentti pätee kaikentyyppisille synkronisille liikkeille. $x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0}$

Näin ollen yksityiskohtaisen näkymän tunteminen ei ole tarpeen lisäanalyysiä varten. Huomaa kuitenkin, että jatkuvan oikean kiihtyvyyden muoto tunnetaan hyvin (katso hyperbolinen liike ). $f(t)$ $f(t)$

Tarkasteltaessa aika-avaruuskaaviota (oikealla) voidaan nähdä, että avaruusalukset lopettavat kiihtymisen tapahtumissa ja , jotka ovat samanaikaisesti CO :ssa . On myös ilmeistä, että nämä tapahtumat eivät tapahdu samanaikaisesti laivojen mukana tulevassa CO:ssa. Tämä on esimerkki samanaikaisuuden suhteellisuudesta . $A'$ $B'$ $S$

Edellisestä on selvää, että linjan pituus on yhtä suuri kuin pituus , joka puolestaan on sama kuin alusten välinen alkuetäisyys. On myös ilmeistä, että alusten nopeudet ja CO :ssa kiihdytetyn liikevaiheen päättymisen jälkeen ovat yhtä suuria kuin . Lopuksi oikea etäisyys avaruusalusten välillä kiihdytetyn liikkeen vaiheen päättymisen jälkeen on sama kuin mukana tulevassa IFR:ssä oleva etäisyys ja yhtä suuri kuin linjan pituus . Tämä suora on mukana olevan vertailukehyksen vakioaikakoordinaattiviiva, joka on yhdistetty CO:n koordinaatteihin Lorentzin muunnoksilla : $A'B'$ $AB$ $L$ $A$ $B$ $S$ $v$ $A$ $B$ $A'B''$ $t'$ $S$

t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.

$A'B''$ edustaa linjaa, joka on otettu samanaikaisesti avaruusalusten SS:n suhteen, eli niille puhtaasti spatiaalista linjaa. Koska väli on invariantti CO-muunnoksissa, se voidaan laskea missä tahansa sopivassa vertailukehyksessä, tässä tapauksessa . $S$

Matemaattisesti CO-koordinaattien kautta yllä olevat näkökohdat kirjoitetaan seuraavasti: $S$

t_{{B'}}=t_{{A'}}\,,

x_{B}-x_{A}=x_{{B'}}-x_{{A'}}=L\,,

x_{{B''}}-x_{{B'}}=v\left(t_{{B''}}-t_{{B'}}\oikea),

t_{{B''}}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{{B''}}=t_{{A'}}-{\frac {v}{c^{ 2}}}x_{{A'}}\,,

\overline {A'B''}={\sqrt {\left(x_{{B''}}-x_{{A'}}\right)^{2}-c^{2}\left(t_ {{B''}}-t_{{A'}}\oikea)^{2}}}\,.

Ottamalla käyttöön apumuuttujat

H=t_{{B''}}-t_{{B'}}=t_{{B''}}-t_{{A'}}\,,

W=x_{{B''}}-x_{{B'}}\,,

ja sen huomaaminen

W+L=x_{{B''}}-x_{{B'}}+x_{{B'}}-x_{{A'}}=x_{{B''}}-x_{{A '}}\,,

voit kirjoittaa yhtälön uudelleen muotoon

W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad \overline {A'B''}={\sqrt {\left(W +L\oikea)^{2}-c^{2}H^{2}}}

ja ratkaise se:

\overline {A'B''}={\frac {L}{{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Näin ollen liikkuvassa vertailukehyksessä kuvattaessa laivojen välinen etäisyys kasvaa kertoimella. Koska lankaa ei voi venyttää näin, se katkeaa. $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}$

Näiden tulosten perusteella Bell tuli siihen tulokseen, että suhteellisuusteoriaa oli tarkistettava. Hän huomautti, että kappaleiden relativistinen supistuminen sekä supistumisen puuttuminen avaruusalusten välisissä etäisyyksissä tarkasteltavana olevassa ajatuskokeessa voidaan selittää dynaamisesti Maxwellin yhtälöiden avulla. Molekyylien välisten sähkömagneettisten kenttien vääristyminen aiheuttaa liikkuvien kappaleiden supistumista - tai jännityksiä niissä, jos niiden supistuminen estetään. Mutta nämä voimat eivät toimi laivojen välillä.

Relativistinen ratkaisu ongelmaan

Saman kiihtyvyyden omaavien kappaleiden liikkeen relativistinen ongelma herätti tutkijoiden huomion kauan ennen Bellin paradoksin ilmestymistä. Vuonna 1907 Einstein [8] , joka aloitti relativistisen painovoimateorian, osoitti, että aika virtaa eri tavalla kiihtyvissä järjestelmissä. Siten Einstein ennusti ekvivalenssiperiaatteen kautta painovoiman punasiirtymän . Erityisesti "tasaisesti kiihdytetyssä kehyksessä" tai, mikä on sama, tasaisesti kiihdytetyssä vertailukehyksessä, ajan nopeus riippuu etäisyydestä : ${\textstyle \delta =x_{B}-x_{A}}$

τ = e g δ c 2 , {\displaystyle \tau =e^{g\delta \over c^{2)),}

\tau =e^{g\delta \over c^{2)),

missä g on pisteiden kiihtyvyys.

Relativistinen liikeyhtälö kappaleelle [9] , jonka massa on m , voiman vaikutuksesta ${\textstyle F_{x}}$

m c 2 d 2 x d s 2 = F x , {\displaystyle mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},}

mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},

ja väli on verrannollinen oikeaan aikaan. Oikea aika (raketin vakiokellon lukemat) määräytyy raketin liikkeen mukaan, eikä sitä voi muuttaa millään tavalla. Synkronoi esimerkiksi "kiinteän" kellon kanssa.

{\textstyle s=c\tau }

Käyräviivaisissa koordinaateissa käytetään yleisen suhteellisuusteorian menetelmiä. Oman ei-inertiaalisen viitekehyksen kuvaamiseksi on tarpeen soveltaa kovarianttidifferentiointia

m c 2 D u x d s = F x , {\displaystyle mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},}

mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},

Lisäksi liikettä gravitaatiokentässä kuvataan yhtälöllä (geodeettinen yhtälö) [9] .

{\textstyle Du^{x}=0}

Jos meidän on tiedettävä pisteen kiihtyvyys kolmiulotteisessa avaruudessa, niin vastaava lauseke näyttää yleisesti ottaen melko monimutkaiselta [10] . Kuitenkin omassa vertailukehyksessään (pisteiden nopeus on nolla) kiihtyvyys ilmaistaan yksinkertaisesti:

d 2 x i d t 2 = c 2 Γ 00 i . {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.}

{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.

Näin ollen Bellin laskelmat ja vastaavat laskelmat eivät päde kiihdytettyjen järjestelmien relativistiseen fysiikkaan. Tarkka vastaus voidaan saada yleisen suhteellisuusteorian menetelmillä. Bellin ongelma voidaan kuitenkin ratkaista myös suoraan suhteellisuusteorian periaatteista.

Tarkkaan ottaen valonnopeuden pysyvyyden perusteella Harry Lass ratkaisi saman kiihtyvyyden omaavien kappaleiden relativistisen liikkeen ongelman vuonna 1963 [11] . Lass ratkaisi tasaisesti kiihdytetyn järjestelmän yksiulotteisen ongelman käyttämällä valonnopeuden vakion periaatetta. Lass käsitteli vertailukehystä, joka kiihtyy akselia pitkin suhteessa inertiakoordinaatistoon . Lisäksi olettamalla, että , ja (valon koordinaattinopeus on invariantti), saimme muunnoksen $O'XYZ$ $x$ $Oxyz$ $dX/dT=\pm c$ $dx/dt=\pm c$

x = c 2 g [ e g X / c 2 Käteinen raha ⁡ g T c − yksi ] {\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right] }

x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]

ja t = c g e g X / c 2 sinh ⁡ g T c . {\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}

t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.

Lassin ratkaisu vastaa Einsteinin ratkaisua kelloille yhtenäisessä kiihdytetyssä järjestelmässä, ja hänen kiihtyvyytensä on todellakin vakio .

{\textstyle \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2))

Jos Bell-ongelmassa raketit pysäytetään, eli otetaan , niin niiden välinen etäisyys on aina kiinteä: ${\textstyle T=0}$

L | T = 0 = c 2 g ( e g X B / c 2 − e g X A / c 2 ) . {\displaystyle L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\right).}

L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A }/c^{2}}\right).

Tästä yhtälöstä käy ilmi, että inertiakehyksessä olevien rakettien välinen etäisyys pienenee Lorentzin lain mukaisesti: x B − x A = yksi − v 2 / c 2 L . {\displaystyle x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.}

x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}L.

Paradoksi on ratkaistu. Yhtä kiihtyvät raketit pitävät etäisyyden omassa vertailukehyksessään. Lisäksi "kiinteä" tarkkailija näkee tavanomaisen Lorentzin supistumisen.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Bell, JS Puhuttavaa ja sanomatonta kvanttimekaniikassa (määrätön) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1987. Merkittävä kirja, joka sisältää uusintapainoksen Bellin alkuperäisestä vuodelta 1976 julkaistusta artikkelista .
↑ Dewan, E.; Beran, M. Huomautus relativistisen supistumisen aiheuttamista stressivaikutuksista // American Journal of Physics : Journal. - American Association of Physics Teachers , 1959. - 20. maaliskuuta ( osa 27 , nro 7 ). - s. 517-518 . - doi : 10.1119/1.1996214 . (linkki ei saatavilla)
↑ Skobeltsyn D.V. Kaksoisparadoksi suhteellisuusteoriassa. - M.: Nauka, 1966. - S. 72.
↑ Bell, John. Kuinka opettaa erityistä suhteellisuusteoriaa (neopr.) .
↑ Nawrocki, Paul J. Relativistisen supistumisen aiheuttamat stressivaikutukset // American Journal of Physics : Journal. - 1962. - lokakuu ( osa 30 , nro 10 ). - s. 771-772 . - doi : 10.1119/1.1941785 . (linkki ei saatavilla)
↑ Dewan, Edmond M. Lorentzin supistumisen aiheuttamat stressivaikutukset // American Journal of Physics : aikakauslehti. - 1963. - Toukokuu ( osa 31 , nro 5 ). - s. 383-386 . - doi : 10.1119/1.1969514 . (linkki ei saatavilla)
↑ Matsuda, Takuya; & Kinoshita, Atsuya. Kahden avaruusaluksen paradoksi erityisessä suhteellisuusteoriassa (uus.) // AAPPS Bulletin. - 2004. - T. Helmikuu . — S.? . tulostettu versio
↑ Einstein, A. Suhteellisuusperiaatteesta ja sen seurauksista. Venäjänkielinen käännös, ks. A. Einstein. Kokoelma tieteellisiä artikkeleita, osa 1. - M., Nauka-kustantamo, 1965.
↑ 1 2 Landau LD, Lifshitz EM The Classical Theory of Fields Vol. 2 (4. painos). Butterworth-Heinemann (1975).
↑ Sazhin M V Yleinen suhteellisuusteoria tähtitieteilijöille. URL-osoite: http://www.astronet.ru/db/msg/1170927 Arkistokopio , päivätty 20. heinäkuuta 2018 Wayback Machinessa , s. 8.2.1.
↑ Lass, H. Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox , American Journal of Physics, Voi. 31, s. 274-276, 1963.

Linkit

Gershtein S. S. , Logunov A. A. " J. S. Bellin ongelma " (IHEP preprint 1996)
Gershtein S. S., Logunov A. A. J. Bellin ongelma // Alkuainehiukkasten ja atomiytimen fysiikka . - 1998. - T. 29 , numero. 5 . - S. 463-468 .
Michael Weiss, Bell's Spaceship Paradox (1995 ) , USENETin suhteellisuusteorian UKK
Austin Gleeson, Kurssin muistiinpanot Luku 13 Katso kohta 4.3
JH Field, [1] (linkki ei saatavilla )
Romain, JE Geometrinen lähestymistapa relativistisiin paradokseihin //

Am . J Phys. : päiväkirja. - 1963. - Voi. 31 . - s. 576-579 . (Englanti)

Hsu, Jong-Ping; & Suzuki. Laajennetut Lorentz-muunnokset kiihdytetyille kehyksille ja "kahden avaruusaluksen paradoksin" ratkaisu // AAPPS Bulletin : Journal. - 2005. - Voi. lokakuuta . — P.? . painettu versio. (linkkiä ei ole saatavilla )

Redžić DV(2010) "Relativistisen pituuden tuska jatkui" (englanniksi)

Foukzon J., Podosyonov SA, Potapov AA, (2009), "Relativistisen pituuslaajennun yleisessä kiihdytetyssä järjestelmässä tarkistetaan" . (Englanti)

Podosyonov SA, Foukzon J. ja Potapov AA, (2010) "A Study of the Motion of a Relativist Continuous Medium" ,

Gravitation and Cosmology, 2010, Vol. 16, No. 4, s. 307-312. ISSN 0202-2893, http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/ ( linkki ei saatavilla)