Renormalisointiryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Renormalisointiryhmämenetelmä (kutsutaan usein myös renormalisointiryhmämenetelmäksi , RG-menetelmäksi ) kvanttikenttäteoriassa on iteratiivinen renormalisointimenetelmä , jossa siirtyminen alhaisemman energian alueilta korkeamman energian alueille aiheutuu harkinnan asteikon muutoksesta. systeemi.

Teoreettisessa fysiikassa renormalisointiryhmämenetelmä (myös renormalisointiryhmämenetelmä , RG ) viittaa matemaattiseen laitteistoon , joka mahdollistaa fysikaalisen järjestelmän muutosten systemaattisen tutkimuksen, kun järjestelmää tarkastellaan eri tilamittakaavaissa. Alkuainehiukkasfysiikassa se heijastaa vuorovaikutuslakien riippuvuutta energia-asteikosta, jolla fysikaaliset prosessit alkavat muuttua .

Asteikon muutosta kutsutaan "skaalaukseksi" tai skaalaukseksi . Renormalisointiryhmä liittyy läheisesti symmetrian " asteikkoinvarianssiin " ja "konformiseen invarianssiin" , joissa järjestelmä näyttää samalta kaikilla tasoilla (ns. itsesamalaisuus ) [1] . (Huomaa kuitenkin, että skaalausmuunnokset sisältyvät konformisten muunnosten ryhmään yleensä: jälkimmäiset sisältävät lisägeneraattoreita , jotka liittyvät erityisten konformisten muunnosten symmetriaan).

Kun asteikko muuttuu, myös vuorovaikutuksen voima muuttuu, ikään kuin ehdollisen mikroskoopin suurennus, jossa järjestelmää tarkastellaan, muuttuu. Niin sanotuissa renormalisoitavissa teorioissa järjestelmä yhdessä mittakaavassa näyttää tyypillisesti koostuvan itse samankaltaisista kopioista, kun sitä tarkastellaan pienemmässä mittakaavassa, ja eri parametrit kuvaavat järjestelmän komponentteja. Komponentit eli perusmuuttujat voivat liittyä atomeihin , alkuainehiukkasiin , atomin spineihin jne. Teorian parametrit kuvaavat komponenttien vuorovaikutusta. Nämä voivat olla muuttuvia kytkentäparametreja, joista eri voimien tai massojen vaikutus riippuu. Itse järjestelmäkomponentit voivat muodostua samanlaisista komponenteista, mutta pienempiä.

Esimerkiksi kvanttielektrodynamiikassa (QED) elektroni näyttää koostuvan elektroneista, positroneista ja fotoneista , kun sitä tarkastellaan korkeammalla resoluutiolla, hyvin lyhyillä etäisyyksillä. Näin pienillä etäisyyksillä olevalla elektronilla on hieman erilainen sähkövaraus kuin "pukeutuneella elektronilla" suurilla etäisyyksillä, ja tämä sähkövarauksen muutos määräytyy renormalisointiryhmän yhtälöstä.

On syytä huomata, että renormalisointiryhmämenetelmään on muodostettu kaksi erilaista lähestymistapaa: Wilsonin lähestymistapa ja Bogolyubovin lähestymistapa . Ensimmäisessä tapauksessa renormalisointiryhmä ei ole ryhmä varsinaisessa matemaattisessa mielessä, koska ryhmän uudelleennormointioperaatioon nähden ei ole käänteistä elementtiä. Karkeasti sanottuna voimme pitää järjestelmän koostuvan samoista pienemmistä järjestelmistä, mutta tämä ei tarkoita, että alkuperäinen "suuri" järjestelmä saadaan sekoittamalla "pieniä". Tämä on seurausta siitä, että monien kappaleiden järjestelmiä tarkasteltaessa olemme kiinnostuneita keskiarvoista, ja keskiarvoa laskettaessa menetetään osajärjestelmien vuorovaikutukseen liittyvää tietoa. Toisessa tapauksessa renormalisointiryhmä vastaa jo täysin ryhmää suppeassa mielessä. Nämä lähestymistavat eroavat toimintojen järjestyksen suhteen: Wilsonin lähestymistavassa me renormalisoimme toimintaan osallistuvat suureet ja laskemme niistä välittömästi keskiarvon, kun taas Bogolyubovin lähestymistavassa etsimme ensin Greenin funktioita ja sitten normalisoimme ne.

Historia

Renormalisointiryhmän idea kehitettiin alun perin hiukkasfysiikassa , mutta nyt se on yleistynyt kiinteän olomuodon fysiikassa , nestedynamiikassa , kosmologiassa ja jopa ekonometriassa . Ensimmäisen teoksen tästä aiheesta kirjoittivat Stückelberg ja Peterman vuonna 1953. He huomasivat, että renormalisaatio muodostaa ryhmän muunnoksia. He esittelivät kvanttielektrodynamiikassa h ( e )-funktion, jota nykyään kutsutaan beetafunktioksi (katso alla).

Murray Gell-Man ja Francis Low vuonna 1954 kiinnostuivat ajatuksesta skaalausmuunnosten kvanttielektrodynamiikassa, jotka ovat fyysisesti merkittävimmät, ja keskittyivät fotonien levittäjän asymptoottiseen käyttäytymiseen suurilla energioilla. He määrittelivät sähkömagneettisen vuorovaikutuksen vaihtelut kvanttielektrodynamiikassa arvioimalla tämän teorian rakenteen skaalauksen helppoutta. Siten he havaitsivat, että kytkentäparametri g (μ) energia-asteikolla μ kuvataan ryhmäyhtälöllä

g(\mu )=G^{-1}{\Big (}(\mu /M)^{d}G{\iso (}g(M){\iso )}{\Big )}

jollekin skaalausfunktiolle G ja vakiolle d kytkentäparametrin g ( M ) suhteen vertailuasteikosta M riippuen.

Gell-Man ja Low osoittivat näissä tuloksissa, että tehollinen asteikko μ voidaan valita mielivaltaisesti ja sitä voidaan muuttaa teorian määrittelemiseksi millä tahansa muulla asteikolla:

g(\varkappa )=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /\mu )^{d}G{\big (}g(\mu ){\big )}{\Big )}=G^{-1}{\Iso (}(\varkappa /M)^{d}G{\iso (}g(M){\iso )}{\Big )}.

RG:n ydin on ryhmäominaisuus: mittakaavasta μ riippuen teoria näyttää olevan itsestään samankaltainen, ja minkä tahansa asteikon teoria voidaan saada samalla tavalla minkä tahansa muun teoriasta ryhmämuunnoksen avulla.

Beta-funktion esittelivät K. Callan ja K. Symansik 1970-luvun alussa. Koska beetafunktio on yksinkertainen g :n funktio , häiriöisen beetafunktion integroiminen g :n päälle antaa meille mahdollisuuden kuvata yksityiskohtaisesti kytkentäparametrin renormalisointirataa, eli sen muutos energian kanssa vastaa tehollisen funktion G huomioon ottamista tässä häiriössä. likiarvo. Renormalisointiryhmäteorian ennusteet (Stueckelberg, Peterman ja Gell-Mann, Low) vahvistettiin 40 vuotta myöhemmin LEP -kokeissa: QED : n hienorakennevakio oli noin 1/127 energioissa noin 200 GeV, toisin kuin matalaenergisen fysiikan arvo, yhtä suuri kuin 1/137. (Varhaisia kvanttielektrodynamiikan sovelluksia käsiteltiin Nikolai Bogolyubovin ja Dmitri Shirkovin tärkeässä kirjassa 1959).

Renormalisointiryhmä saadaan renormalisoimalla kvanttikenttämuuttujat, mikä pääsääntöisesti poistaa kvanttikenttäteorian divergenssiongelman (vaikka RG on olemassa eroista riippumatta). Feynman , Schwinger ja Tomonaga , jotka saivat vuonna 1965 Nobelin panoksesta kvanttikenttäteoriaan, ratkaisivat QED:n ongelman kvanttikenttäteoriassa systemaattisesti välttääkseen äärettömiä fysikaalisten suureiden saamiseksi . He kehittivät massan ja varauksen uudelleennormalisoinnin teorian, jossa liikemäärän esityksen ääretön siirretään suureen regularisoijaan Λ (jota voidaan viime kädessä pitää äärettömänä - ääretön heijastaa panosten kertymistä äärettömästä määrästä vapausasteita äärettömän suurella energiaasteikko). Fysikaalisten suureiden, kuten elektronin sähkövarauksen tai massan, riippuvuus on piilotettu asteikolla Λ, joka korvataan suurten etäisyyksien asteikolla, jossa fysikaaliset suureet ovat mitattavissa ja sen seurauksena kaikki havaittavissa. suuret ovat äärellisiä jopa äärettömälle Λ:lle. Gell-Man ja Low osoittivat, että yllä olevan RG-yhtälön aikaansaama pieni muutos g :ssä saadaan funktiosta ψ( g ); Itsesamankaltaisuus ilmaistaan siinä, että ψ( g ) riippuu eksplisiittisesti vain teorian parametreista, ei asteikosta μ. Siksi yllä oleva RG-yhtälö voidaan ratkaista g :lle (μ).

Syvempi ymmärrys renormalisointimenetelmän fyysisestä merkityksestä ja yleistyksestä, joka ylittää tavallisten renormalisoitavien teorioiden ryhmän laajentamisen, tuli tiivistetyn aineen fysiikasta. Leo Kadanov ehdotti vuoden 1966 paperissa "lohko-spin" -renormalisointiryhmää. Ajatus estämisestä on tapa määritellä teorian komponentit suurilla etäisyyksillä kokoelmana komponentteja pienillä etäisyyksillä.

Kenneth Wilson käytti tätä lähestymistapaa pitkäaikaisen Kondo-ongelman ratkaisemiseen ja toisen tyyppisten siirtymien kuvaamiseen. Hänelle myönnettiin vuoden 1982 Nobel-palkinto "faasimuutoksiin liittyvien kriittisten ilmiöiden teoriasta".

Sillä välin K. Callan ja K. Symansik muotoilivat uudelleen alkeishiukkasfysiikan RG:n vuonna 1970. Yllä mainittu beeta-funktio, joka kuvaa juoksevia kytkentävakioita skaalaparametrin muutoksella, osoittautui myös yhtä suureksi kuin "kanonisen jäljen anomalia", joka on kenttäteoriassa kvanttimekaaninen mittakaava. RG:n sovellukset hiukkasfysiikkaan johtivat 1970-luvulla standardimallin luomiseen.

Vuonna 1973 vuorovaikutteisten värikvarkkien teorialla , jota kutsutaan kvanttikromodynamiikaksi , havaittiin olevan negatiivinen beetafunktio . Tämä tarkoittaa, että korkean energian kytkentäparametrin alkuarvo johtaa singulaarisen pisteen μ ilmestymiseen, jossa kytkentäparametri kasvaa jyrkästi (poikkeaa). Tämä arvo on vahvan vuorovaikutuksen asteikko, μ = Λ QCD, ja se esiintyy noin 200 MeV:n energialla. Sitä vastoin sidos heikkenee erittäin korkeilla energioilla (asymptoottinen vapaus), ja kvarkit tulevat havaittavissa pistehiukkasina. Siten QCD saatiin kvanttikenttäteoriana, joka kuvaa hiukkasten voimakasta vuorovaikutusta.

Liikemääräavaruuden RG:stä on tullut myös pitkälle kehittynyt työkalu solid-state-fysiikassa, mutta sen menestystä on haitannut häiriöteorian laaja käyttö, joka on estänyt vahvasti korreloituvien järjestelmien teorian menestymisen. Vahvasti korreloituneiden järjestelmien tutkimiseksi variaatioperiaate osoittautui parhaaksi vaihtoehdoksi. 1980-luvulla kehitettiin useita RG-tekniikoita todellisen avaruuden sovelluksiin, joista C. R. Whiten ja R. M. Noackin vuonna 1992 kehittämä Density Matrix Renormalization Group (DMRG) -menetelmä oli menestynein.

Konformaalinen symmetria liittyy beetafunktion katoamiseen. Tämä voi tapahtua, jos kytkentävakio vetää puoleensa kiinteää pistettä, jossa β( g ) = 0. QCD:ssä kiinteä piste esiintyy pienillä etäisyyksillä, missä g → 0, ja sitä kutsutaan (triviaaliksi) ultraviolettikiinteäksi pisteeksi. Raskaille kvarkeille, kuten huippukvarkille , on laskettu, että sidos massaa tuottavan Higgsin bosonin kanssa pyrkii kiinteään nollasta poikkeavaan infrapunakiintopisteeseen.

Esimerkki Wilsonin kaavion mukaisesta laskennasta

Tarkastellaan teoriaa euklidisessa d - ulotteisessa avaruudessa . Sovitaan, että käytetään samoja nimityksiä funktioille ja niiden Fourier-muunnoksille , muuttaen vain funktion argumenttia: x koordinaattiesitys, p impulssiesitys. Integraaleja otettaessa käytetään koordinaattiesitystä. Lagrangian tässä teoriassa kirjoitetaan nimellä $\phi^4$

{\mathcal {L}}(\phi )={\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _ {\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

Osiofunktio esitetään tässä tapauksessa toiminnallisena integraalina

Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}\ phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!)}}\phi ^{4 } \oikea)\oikea].

Tiedetään, että renormalisoitavassa kvanttiteoriassa vapausasteet energialla vaikuttavat prosesseihin, joissa on energia ~ M vain epäsuorasti: teoriavakioiden renormalisoinnin kautta. Siksi on suositeltavaa "katkaista" impulssi jollakin arvolla : $\Lambda \gg M$ $\lambda$

[D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)

Sitten regularisoitu osiofunktio voidaan kirjoittaa muodossa

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac { m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda } {4!}}\phi ^{4}\right)\right].

Jaamme integrointimuuttujat kahteen ryhmään ( ): $0<b<1$

{\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\0,&|p|<b\ Lambda .\end{cases}}

\phi (p)={\begin{cases}0,&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\\phi (p),&|p|<b\Lambda .\end{cases }}

Ja korvaa lausekkeessa säännelty osiofunktio:

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[ -\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{\frac { 1}{2}}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\frac {\lambda }{4!)} } (\phi +{\hattu {\phi )))^{4}\oikea)\oikea].

Avaamme sulut ja ryhmittelemme termit uudelleen ottaen huomioon, että kontribuutiot katoavat Fourier-muunnosten ominaisuuksien vuoksi (ennen toimintaintegraalin ottamista kannattaa siirtyä liikemääräavaruuteen) ja funktioiden määrittelystämme ja vauhtimuoto. $\phi {\hattu {\phi ))$ $\phi$ ${\hattu {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}( \phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2)) {2}}{\hattu {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\ lambda ({\frac {1}{6}}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{\frac {1}{4}}\phi ^{2}{\hat {\phi } }^{2}+{\frac {1}{6}}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{\frac {1}{4!)}}{\hattu {\phi } } ^{4})\right)\right].

Tässä Lagrangian muoto on sama kuin alkuperäisellä Lagrangialla. Integroidaan kentän yli : ${\mathcal {L}}(\phi )$ ${\hattu {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L }}_{\text{eff}}(\phi )\right]},

jossa eroaa potenssiin ja niiden johdannaisiin suhteellisilla korjauksilla . Korjaukset voidaan esittää kaaviomaisessa muodossa. Tutkitaan tuloksena olevaa tehokasta toimintaa renormalisointiryhmämenetelmällä. Tätä varten muutamme etäisyyksien ja impulssien asteikkoa säännön mukaan . ${\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ ${\mathcal {L}}(\phi )$ $\lambda ,\phi$ $\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ $x'=bx,\ p'=p/b,\ |p|<\Lambda$

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d} \left[{\frac {1}{2}}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{\frac {1}{2 }}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{\frac {1}{4!}}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4} +\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+\ldots \right].

Tehdään vaihdot, joissa toiminto saa alkuperäisen muotonsa:

\phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi ,

m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2},

\lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4},

B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d},

C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}.

Näin ollen

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{\frac {1}{2}}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{\frac {1}{2}}m'^{2}\phi '^{2}+{ \frac {1}{4!}}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{ 6}+\ldots\right].

Kuten näette, mittariippuvuus on siirretty malliparametreihin. Analysoidaan niitä. Pienellä kiinteän pisteen alueella parametrien lisäykset voidaan jättää huomiotta . Tilastollisessa fysiikassa tämä vastaa kriittisen pisteen lähellä olevan järjestelmän dynamiikan tarkastelua. $\Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda$

m'^{2}=m^{2}b^{-2},\ \lambda '=\lambda b^{d-4},\ B'=Bb^{d},\ C' =Cb^{2d-6}.

Koska , sitten parametrit, jotka kerrotaan negatiivisilla potenssilla , kasvavat ja päinvastoin. $b<1$ $b$

Kuvatun toimenpiteen aikana kasvavia malliparametreja kutsutaan oleellisiksi .
Mallin parametreja, joita kuvatulla menettelyllä pienennetään, kutsutaan merkityksettömiksi .
Mallin parametreja, jotka eivät muutu kuvatun toimenpiteen aikana, kutsutaan marginaaleiksi .

On selvää, että kaksi viimeistä parametria ovat välttämättömiä, ja teoria at on renormalisoitavissa. Tämä kuva pätee tietysti niin kauan kuin massaoperaattori ei tule hallitsevaksi. $\phi^4$ $d=4$

Renormalisointiryhmä solid-state-fysiikassa

Kiinteän olomuodon fysiikassa renormalisointiryhmää käytetään faasisiirtymien matemaattisten mallien rakentamiseen. Laajennetaan energian lisäystä Taylor-sarjassa paikallisesta magnetoinnista riippuen . Kriittisellä alueella kertoimella b on tärkeä rooli, koska a pyrkii nollaan. Paikallista magnetointia laajennetaan Fourier-sarjassa äärettömän määrän siniaaltojen summana eri aaltovektoreilla ja taajuuksilla. Magnetointiaaltojen kvantteja kutsutaan fluktuoneiksi . Kuten valoaaltojen fotoneilla , myös vaihteluilla on energiaa ja liikemäärää . Ferromagneetin vaihtelut ovat vuorovaikutuksessa sirottamalla toisiaan. Fluktuonsirontaprosesseja on kätevää laskea käyttämällä Feynman-kaavioita . Näissä kaavioissa viivat vastaavat liikkuvia hiukkasia (fluktuoneja) ja pisteet vastaavat niiden törmäyksiä. Fluktuaatioiden todellista vuorovaikutusvoimaa kutsutaan efektiiviseksi kytkentävakioksi g. Leikkaamme Feynman-kaavion kahdesta kahteen sirontaprosessista kohdasta, jossa kaksi välihiukkasta kulkee. Tarkastellaan oikealla kaikkia mahdollisia lohkoja, jotka kuvaavat kahdesta kahteen sirontaprosesseja. Summauksen jälkeen oikea puoli on summa, jossa on ääretön määrä termejä, jotka edustavat vakiota g. Tarkastellaan vasemmalla kaikkia mahdollisia lohkoja, jotka kuvaavat kahdesta kahteen sirontaprosesseja. Summauksen jälkeen vasen puoli on summa, jossa on ääretön määrä termejä, jotka edustavat vakiota g. Seurauksena on, että äärettömän termien joukon sijaan, joista jokainen riippuu kytkentävakiosta b, saadaan yksi termi, joka riippuu vakiosta g. Tätä menetelmää yhden kytkentävakion korvaamiseksi toisella kutsutaan renormalisoinniksi. Renormalisointiryhmämenetelmällä voidaan selittää kriittisten asymptotiikkatyyppien riippumattomuus faasisiirtymän aineellisesta ja fysikaalisesta luonteesta. $\Delta E=a{\bar {m^{2}}}+b{\bar {m^{4}}}$ $\omega$ $\hbar {\bar {k))$

Renormalisointiryhmä tilastollisessa fysiikassa

Renormalisointiryhmämenetelmä on yleisesti tunnustettu työkalu toisen asteen vaihemuutoksien ja kriittisten ilmiöiden tutkimiseen. Tilastollisen fysiikan ongelmiin kuuluu ongelmia, joissa on ääretön määrä vapausasteita. Esimerkiksi: kriittisen käyttäytymisen tai stokastisen dynamiikan teorian ongelmat ajasta riippuvilla klassisilla satunnaiskentillä. Vastaavasti järjestelmän antaa loputon Greenin funktioperhe. Tällaisiin ongelmiin ei yleensä ole tarkkaa ratkaisua. Siksi meidän on puhuttava alueiden asymptotiikasta. RG-tekniikka näyttää vain vastaavan skaalauksen olemassaolon. Ja jos se on olemassa, saamme eksplisiittiset kaavat kriittisten eksponentien laskemiseen ε-laajennuksella ( d = 4 − ε). Kriittiset eksponentit kuvaavat poikkeavuuksia järjestelmän erilaisissa termodynaamisissa ominaisuuksissa fluktuaatioalueella eli faasimuutospisteen läheisyydessä.

Toisin sanoen RG-tekniikka on menetelmä Greenin funktion asymptottiikan laskemiseksi suuren (UV) ja pienen (IR) momentin alueella. Käsittelemme ei-triviaalista asymptotiikkaa: on olemassa häiriösarjan termejä, joiden singulaarisuus on momentissa. Tällaisissa tapauksissa ei siis riitä, että summaamme osan sarjasta. On tarpeen laskea yhteen koko sarja. Tällaiset toiminnot suoritetaan RG-tekniikalla. Tuloksena saamme Greenin funktiolle lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön. Mutta kuten aiemmin todettiin, meillä on kaksi aluetta. Ja tuloksena oleva ratkaisu on oikea vain yhdessä niistä. Kuinka löydämme tämän soveltuvuusalueen? Tarkastellaan β-funktiota, derivaatan kerrointa RG-operaattorissa. Yleensä näyttää siltä $\partial _{g}$

\beta (g)=\alpha g+\beta g^{2}+\gamma g^{3}+\delta g^{4}+\epsilon g^{5}+\phi g^{6 }\ldots ,

\beta (g^{*})=0\quad \Rightarrow \quad g^{*}

on kiinteä piste.

Aina on olemassa triviaali ratkaisu g * = 0. Täten funktion β( g ) käyttäytymisestä g * = 0 :n läheisyydessä erotetaan UV-houkuttelevat ja IR-kiintopisteet.

On myös syytä mainita universaalisuus- ja samankaltaisuushypoteesi.

Järjestelmät kuuluvat samaan luokkaan, jos näiden järjestelmien kriittiset eksponentit ja normalisoidut skaalausfunktiot ovat samat. Esimerkiksi "kaasu-neste-siirtymä" ja "ferromagneetit" -järjestelmät kuuluvat samaan luokkaan.
Samankaltaisuushypoteesi on, että meitä kiinnostavien termodynaamisten funktioiden asymptotiikalla kriittisen pisteen läheisyydessä on ominaisuus homogeenisuus.

Harkitse minkä tahansa mallin RG-analyysikaaviota.

On syytä toistaa, että RG-analyysin tehtävänä on perustella kriittinen skaalaus ja laskea kriittiset indeksit. Olemme kiinnostuneita mielenkiintoisista tuloksista, jotka eivät riipu äärellisen renormalisoinnin mielivaltaisuudesta. Seuraavaksi tarkastelemme vain laskentakaaviota.

Kaikkien suureiden mittojen määrittäminen toimintafunktiossa ja IR:n hylkääminen ovat merkityksettömiä päävuorovaikutukseen verrattuna.
Määritetään kaikkien 1-pelkistymättömien funktioiden kaavioiden divergentit ( d = d * ) ja tarvittavien vastatermien rakenteet.
RG-yhtälöiden saaminen uudelleennormalisoiduille objekteille ja RG-funktioita ilmaiseville kaavoille renormalisointivakioiden Z muodossa .
Laskenta kaavioista renormalisointivakioista Z varauksen g sarjan alkusegmenttien muodossa .
RG-funktioiden β ja γ laskeminen sarjan alkusegmenteinä g :ssä käyttäen kaavoja, jotka ilmaisevat ne Z :na . β ovat kaikkien varausten funktioita, γ ovat epänormaalit mitat.
Kiinteiden pisteiden g * koordinaattien ja vastaavien indeksien ω laskenta ε-laajennuksen alkusegmenttien muodossa β-funktioilla . Jos g * -pisteiden joukossa ei ole IR-vakaita pisteitä, kriittistä skaalausta ei tapahdu. Jos tällaisia kohtia on, otamme seuraavan askeleen.
Jokaiselle g * γ( g * ) ja vastaavat kriittiset eksponentit lasketaan. Monimutkaisissa malleissa on mahdollista laskea 1-2 kertalukua indeksien ε-laajennuksesta ja ymmärtää yleiskuva vaiheratojen käyttäytymisestä.
Erilaisten skaalausfunktioiden ε-laajennuksen alkusegmenttien laskeminen.
Niiden singulariteettien analyysi ε-laajennuksen puitteissa RG-tekniikalla ja Wilsonin operaattorilaajennuksella.
Yhdistelmäoperaattorien eri järjestelmien renormalisoinnin analyysi ja kriittisten mittojen laskenta.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Renormalisointiryhmä? Se on hyvin yksinkertaista // Luonto . - 1984, nro 8. - S. 3-13.

Linkit

Renormalisointiryhmä osoitteessa arxiv.org
Vergeles S. N. Luennot kvanttielektrodynamiikasta. - M. : Fizmatlit, 2006. - ISBN 5-9221-0634-1
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Johdatus kvantisoitujen kenttien teoriaan. 7 painosta 4 kielellä. 4. painos - M .: Nauka, 1984.
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Kvanttikentät. (3. painos) - M. : Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0580-9 .
Shirkov DV Bogoliubovin renormalisointiryhmä. (englanniksi) .
Vasiliev AN Kvanttikentän renormalisointiryhmä kriittisen käyttäytymisen ja stokastisen dynamiikan teoriassa. - Pietari. : PNPI-kustantamo, 1998.(käännetty englanniksi)
Sokolov A. I. Kriittiset vaihtelut ja renormalisaatioryhmä // Soros Educational Journal , 2000, nro 12. - s. 98.
Sokolov A.I. Renormalisointiryhmä vaihemuutosteoriassa // PNPI FKS-2011 koulu