Jaksottainen toiminto

Jaksollinen funktio on funktio , joka toistaa arvonsa jollain argumentin säännöllisellä aikavälillä, eli se ei muuta arvoaan, kun argumenttiin lisätään jokin kiinteä nollasta poikkeava luku ( funktion jakso ). koko määritelmäalue.

Muodollisemmin funktiota kutsutaan jaksolliseksi jaksolla , jos jokaiselle sen määritelmäalueen pisteelle kuuluvat pisteet ja kuuluvat myös sen määritelmäalueeseen, ja yhtäläisyys on totta niille . $T\neq 0$ $x$ $x+T$ $xT$ $f(x)=f(x+T)=f(xT)$

Määritelmän perusteella yhtäläisyys pätee myös jaksolliseen funktioon , jossa on mikä tahansa kokonaisluku. $f(x)=f(x+nT)$ $n$

Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia.

Muodollinen määritelmä

Olkoon Abelin ryhmä (yleensä se oletetaan - reaaliluvut summausoperaatiolla tai - kompleksiluvut ) . Funktiota (jossa on mielivaltainen joukko sen arvoja) kutsutaan jaksolliseksi jaksolla if $M$ $M=(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {C} ,+)$ $f:M\to N$ $N$ $T\not=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Jos tämä yhtäläisyys ei täyty millekään , funktiota kutsutaan jaksolliseksi . $T\in M,\,T\not =0$ $f$

Jos funktiolla on kaksi jaksoa , joiden suhde ei ole yhtä suuri kuin reaaliluku , eli sitä kutsutaan kaksinkertaisesti jaksolliseksi funktioksi . Tässä tapauksessa koko tason arvot määräytyvät suuntaviivan arvojen mukaan . $f:\mathbb {C} \to N$ $T_{1},T_{2}\not =0$ ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R}$ $f$ $f$ ${\näyttötyyli T_{1}, T_{2}}$

Huomautus

Toiminnon jakso on määritelty moniselitteisesti. Erityisesti, jos on piste, niin mikä tahansa muodon elementti (tai jos kertolasku on määritelty funktion alueella), jossa on mielivaltainen luonnollinen luku , on myös piste. $T$ $T'$ $T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$ $T'=nT$ $n\in \mathbb {N}$

Funktion kaikkien jaksojen joukko muodostaa additiivisen ryhmän .

Jos jaksojoukolla on kuitenkin pienin arvo, sitä kutsutaan funktion pääjaksoksi (tai pääjaksoksi) . ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \))$

Esimerkkejä

Reaalifunktiot sini ja kosini ovat jaksollisia, ja niissä on pääjakso vuodesta $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jaksollisia pääjakson kanssa . $\pi$

Kokonaisluvuille määritetty funktio on jaksollinen pääjakson kanssa . ${\displaystyle f(x)=(-1)^{x))$ $2$

Funktio, joka on yhtä suuri kuin vakio , on jaksollinen, ja mikä tahansa muu kuin nolla luku on sen jakso. Toiminnossa ei ole pääjaksoa. $f(x)=\mathrm {const}$

Dirichlet-funktio on jaksollinen; sen jakso on mikä tahansa nollasta poikkeava rationaalinen luku. Sillä ei myöskään ole pääjaksoa.

Toiminto on jaksollinen. $f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$

Joitakin jaksollisten funktioiden ominaisuuksia

Kahden funktion summa, joilla on vertailukelpoiset jaksot , ei aina ole funktio, jonka pääjakso on yhtä suuri kuin pienin yhteinen kerrannainen ja (tämä luku on kuitenkin yksinkertaisesti piste). Esimerkiksi funktion pääjakso on , funktion jakso on , ja niiden summalla on ilmeisesti pääjakso . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ $2\pi$ $g(x)=\sin(3x)$ $2\pi /3$ $f(x)+g(x)=\sin(2x)$ $\pi$

Kahden funktion, joiden jaksot eivät ole vertailukelpoisia, summa ei aina ole ei-jaksollinen funktio.

On jaksollisia funktioita, jotka eivät ole yhtä suuria kuin vakio, jonka jaksot ovat suhteettomia lukuja. Esimerkiksi funktiolle , joka ottaa algebrallisen x :n arvot 1 ja muissa tapauksissa 0, mikä tahansa algebrallinen luku on piste, ja algebrallisten lukujen joukossa on myös suhteettomia. $f(x)$

Katso myös

Kvasijaksollinen funktio

Linkit

Jaksollinen toiminta (Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja)