Raja (matematiikka)

Raja on yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteitä , se perustuu sellaisiin analyysin perusosioihin kuin jatkuvuus , derivaatta , integraali , ääretön sarja jne. On olemassa sekvenssin raja ja funktion raja [1] .

Rajan käsitettä käyttivät intuitiivisella tasolla jo 1600-luvun toisella puoliskolla Newton sekä 1700-luvun matemaatikot, kuten Euler ja Lagrange . Ensimmäiset tiukat määritelmät sekvenssin rajalle antoivat Bolzano vuonna 1816 ja Cauchy vuonna 1821.

Historia

Termin perustelut

Rajan ottamisen operaatiota matemaattisessa analyysissä kutsutaan rajan kulkuksi [2] . Muinaisen Kreikan tiedemiehet käyttivät intuitiivista käsitettä rajalle kulkemisesta laskeessaan erilaisten geometristen muotojen pinta-aloja ja tilavuuksia. Arkhimedes kehitti pääasiassa menetelmiä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi .

Differentiaali- ja integraalilaskua luodessaan 1600-luvun matemaatikot (ja ennen kaikkea Newton ) käyttivät myös eksplisiittisesti tai implisiittisesti rajan kulkemisen käsitettä. Ensimmäistä kertaa rajan käsitteen määritelmä otettiin käyttöön Wallisin teoksessa "Infinite Values Aritmetics" (XVII vuosisata), mutta historiallisesti tämä käsite ei muodostanut differentiaali- ja integraalilaskennan perustaa.

Vasta 1800-luvulla Cauchyn teoksissa rajateoriaa käytettiin matemaattisen analyysin tiukkaan perustelun. Rajateorian jatkokehitystä suorittivat Weierstrass ja Bolzano .

Rajateorian avulla varsinkin 1800-luvun alkupuoliskolla perustettiin äärettömien sarjojen käyttö analyysissä, jotka olivat kätevä laitteisto uusien funktioiden rakentamiseen [3] .

Rajasymboli

Yleisesti hyväksytyn rajasymbolin ehdotti Simon Lhuillier (1787) seuraavassa muodossa: Cauchy (1821) tuki tätä merkintää. Limin jälkeen oleva piste katosi pian [4] . Weierstrass esitteli rajan merkinnän, joka on lähellä nykyaikaista , vaikka meille totutun nuolen sijaan hän käytti yhtäläisyysmerkkiä: [5] . Nuoli ilmestyi 1900-luvun alussa useiden matemaatikoiden kanssa samanaikaisesti [6] . $\lim _{x\to a}f(x)$ $\operaattorinimi {lim.} x:a;$ $\operaattorin nimi {Lim} _{x=a}$

Dirichlet (1837) ehdotti ensimmäisenä merkintää lajin yksipuoliselle rajalle muodossa: Moritz Pasch (1887) esitteli muita tärkeitä käsitteitä - ylä- ja alarajat , jotka hän kirjoitti muodossa: ja vastaavasti. Ulkomailla tästä symboliikasta on tullut standardi, ja kotimaisessa kirjallisuudessa vallitsee muut nimitykset: Alfred Pringsheim esitteli vuonna 1898 [7] . $\lim _{x\to a+0}f(x)$ $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

Sekvenssirajoitus

Sarjan raja on objekti, johon sekvenssin jäsenet jossain mielessä pyrkivät tai lähestyvät kasvavalla järjestysluvulla.

Lukua kutsutaan sekvenssin rajaksi, jos $a$ $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$

$\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{, }}\exists {\text{ }}N(\varepsilon ){\text{, }}\forall {\text{ }} n>N(\varepsilon ){\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a|<\varepsilon$ .

Jakson raja on merkitty . Merkintä on sallittu . ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n))$ ${\displaystyle \lim x_{n))$

Ominaisuudet:

Jos sekvenssin raja on olemassa, se on ainutlaatuinen.
$\lim c=c$ $,\,c={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}$ (jos molemmat rajat ovat olemassa)
$\lim(qx_{n})=q\lim x_{n}$ $,\,q={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}$ (jos molemmat rajat ovat olemassa)
$\lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}$ (jos molemmat rajat ovat olemassa ja oikean puolen nimittäjä ei ole nolla)
Jos ja , niin ("kiinnitetty sekvenssi" -lause, joka tunnetaan myös nimellä " kahden poliisin lause ") $a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n$ $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ $\lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}$

Toimintorajoitus

Funktiolla on raja pisteessä , jos kaikilla riittävän lähellä olevilla arvoilla arvo on lähellä . $f(x)$ $A$ $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $f(x)$ $A$

Lukua b kutsutaan funktion rajaksi pisteessä , jos se on olemassa siten, että . $f(x)$ $a$ $\forall \varepsilon >0$ $\delta>0$ $\forall x,0<|xa|<\delta$ $|f(x)-b|<\varepsilon$

Funktioiden rajoilla on samanlaisia ominaisuuksia kuin sekvenssien rajoilla, esimerkiksi summan raja on yhtä suuri kuin rajojen summa, jos kaikki rajat ovat olemassa. $\lim _{{x\to x_{0}}}(f(x)+g(x))=\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)+\lim _{{ x\to x_{0}}}g(x)$

Jakson rajan käsite kaupunginosien kielellä

Olkoon jokin joukko, jossa naapuruston käsite on määritelty (esimerkiksi metriavaruus ). Antaa olla sarja pisteitä (elementtejä) tämän joukon. Sanomme, että tällä sekvenssillä on raja, jos melkein kaikki sekvenssin jäsenet sijaitsevat missä tahansa pisteen läheisyydessä , tai $X$ $U$ $x_{i}\in X$ $x\in X$ $x$ $\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists {\text{ }}n,{\text{ }}\forall {\text{ }}i>n{\ teksti{ }}{\teksti{ }}x_{i}\in U(x)$

Merkittävät rajat

Merkittävät rajat ovat termejä, joita käytetään Neuvostoliiton ja Venäjän laskentaoppikirjoissa viittaamaan kahteen hyvin tunnettuun matemaattiseen identiteettiin rajan ottamalla:

Ensimmäinen merkittävä raja: $\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
Toinen merkittävä raja: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Merkittäviä rajoja ja niiden seurauksia hyödynnetään epävarmuustekijöiden paljastamisessa muiden rajojen löytämiseksi.

Ultralimit

Ultralimit on rakenne, jonka avulla voit määrittää rajan laajalle luokan matemaattisille objekteille. Erityisesti se toimii luku- ja pistejonoille metriavaruudessa ja mahdollistaa yleistykset metristen avaruuksien sarjoihin ja niiden funktiosarjoihin. Tätä rakennetta käytetään usein välttämään hyppäämistä alajaksoon useita kertoja. Tämä rakenne hyödyntää ei- pääasiallisen ultrasuodattimen olemassaoloa , jonka todistuksessa puolestaan käytetään valinnan aksioomaa .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 556.
↑ Khinchin A. Ya. Kahdeksan luentoa matemaattisesta analyysistä. - M. - L., Gostekhizdat, 1948. - S. 14
↑ Tsypkin A. G. Matematiikan käsikirja. - M .: "Nauka", 1983.
↑ Hairer E., Wanner G. Matemaattinen analyysi historiansa valossa. - M . : Tieteellinen maailma, 2008. - 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ Yushkevich A.P. Rajan käsitteen kehitys ennen K. Weierstrassia // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1986. - Nro 30 . - S. 76 .
↑ Alexandrova N. V. Matemaattisten termien, käsitteiden, merkinnän historia: Sanakirja-viitekirja . - 3. painos - Pietari. : LKI, 2008. - S. 133 -135. — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Cajori F. Matemaattisten merkintöjen historia. Voi. 1 (1929 uusintapainos), §631-637. - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 s. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Kirjallisuus

Limit // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen kroatialainen Britannica (verkossa) Treccani Universalis Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	NDL : 00567231