Duhamelin periaate

Matematiikassa ja tarkemmin differentiaaliyhtälöissä Duhamel - periaatteen avulla voidaan löytää ratkaisu epähomogeeniseen aaltoyhtälöön sekä epähomogeeniseen lämpöyhtälöön [1] . Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean-Marie Constant Duhamelin (1797–1872) mukaan.

Epähomogeeninen aaltoyhtälö annetaan:

u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)

alkuehtojen kanssa

u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.

Ratkaisu näyttää tältä:

u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{xc(ts)}^{x+c(ts)}f( \xi ,s)\,d\xi \,ds.

Lineaariselle ODE:lle vakiokertoimilla

Duhamelin periaate sanoo, että ratkaisu epähomogeeniseen lineaariseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön voidaan löytää etsimällä ratkaisu homogeeniselle yhtälölle ja korvaamalla se sitten Duhamelin integraalilla . Oletetaan, että meillä on epähomogeeninen tavallinen differentiaaliyhtälö , jolla on vakiokertoimet luokkaa m:

P(\partial _{t})u(t)=F(t)

\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1

missä

P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\; a_{m}\neq 0.

Voimme ratkaista homogeenisen ODE:n ensin seuraavilla menetelmillä. Kaikki vaiheet tehdään muodollisesti jättäen huomiotta vaatimukset, joita ratkaisun selkeä määrittely edellyttää.

P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\ osittainen _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.

Määritä , - ominaisfunktio välille . Sitten ${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )))$ ${\displaystyle \chi _{[0,\infty )))$ $[0,\infty)$

P(\partial _{t})H=\delta

on yleinen funktio .

u(t)=(H\ast F)(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau

ODE:hen on ratkaisu.

Osittaisille differentiaaliyhtälöille

Olkoon epähomogeeninen osittaisdifferentiaaliyhtälö vakiokertoimilla:

P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)

missä

D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

Voimme ratkaista homogeenisen ODE:n ensin seuraavilla menetelmillä. Kaikki vaiheet tehdään muodollisesti jättäen huomiotta vaatimukset, joita ratkaisun selkeä määrittely edellyttää.

Ensinnäkin käyttämällä x :n Fourier - muunnosta meillä

P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).

missä on kertaluvun m ODE in t . Olkoon tämä korkeimman kertaluvun termin kerroin . $P(\partial _{t},\xi )$ ${\displaystyle a_{m))$ $P(\partial _{t},\xi )$

Päätämme jokaisen puolesta $\xi$ $G(t,\xi )$

P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\ mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.

Määritellään . Sitten $H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)$

P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)

on yleinen funktio .

{\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)

=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau

=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau

on yhtälön ratkaisu (palattuaan kohtaan x ).

Muistiinpanot

↑ Poisson-integraali epähomogeeniselle lämpöyhtälölle. Duhamelin periaate (pääsemätön linkki)