Alkulukujen välit

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Alkulukujen väliset intervallit ovat kahden peräkkäisen alkuluvun välisiä eroja . N : s väli, jota merkitään , on erotus ( n + 1) -:nnen ja n :nnen alkuluvun välillä, eli $g_{n}$

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

Meillä on: . Alkulukujen välinen aikajakso on hyvin tutkittu. Joskus sen sijaan harkitaan funktiota $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ $g_{n}$ $g(p_{n})$ $g_{n}$

Ensimmäiset 30 alkujaksoa ovat seuraavat:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 sekvenssi A001223 OEIS : ssä .

Yksinkertaisia huomautuksia

Minkä tahansa alkuluvun P kohdalla merkitsemme P # :lla P :n alkulukua , toisin sanoen kaikkien alkulukujen tuloa, jotka eivät ylitä P . Jos Q on P : tä seuraava alkuluku , niin sarja

P\#+2,P\#+3,\dots,P\#+(Q-1)

on peräkkäisten yhdistelmälukujen sarja, joten alkulukujen välillä on väliä, joiden pituus on vähintään . Siksi alkulukujen välillä on mielivaltaisen suuria välejä, ja mille tahansa alkuluvulle P on n sellainen, että (Tälle voidaan tietysti valita n siten, että se on suurin alkuluku, joka ei ylitä .). Toinen tapa nähdä, että alkulukujen välillä on mielivaltaisen suuria välejä, on käyttää sitä tosiasiaa, että alkulukujen joukon tiheys on nolla alkulukulauseen mukaan . $Q-2$ $Q-1$ $g_{n}\geqslant P$ $p_n$ $P\#+2$

Itse asiassa alkulukujen P välinen aikaväli voi esiintyä paljon pienempien alkulukujen välillä kuin P #. Esimerkiksi ensimmäinen 71 peräkkäisen yhdistelmäluvun sarja on välillä 31398–31468, kun taas 71# on 27-numeroinen luku .

Jo alkulukujen välisten välien keskiarvo kasvaa n:n luonnollisena logaritmina .

Toisaalta yksinkertainen kaksoisoletus väittää , että äärettömän monelle n . $g_{n}=2$

Alkujaksot voidaan arvioida ylhäältä ja alhaalta Jacobsthal -funktion avulla (sekvenssi A048670 OEIS : ssä ).

Numeeriset tulokset

16. huhtikuuta 2022 pisin tunnettu aikaväli 208095 todennäköisiksi alkuluvuiksi määritetyn numeron välillä on 7186572 ja M = 14,9985. Sen löysi Michiel Jansen käyttämällä JK Andersenin luomaa ohjelmaa. [1] [2]

8. maaliskuuta 2013 suurin tunnettu intervalli 18662 numeron todistettujen alkulukujen välillä on 1113106 pitkä ja M = 25,90. Sen löysivät P. Cami, M. Jansen ja JK Andersen. [4]

Suhde M = g n /ln( p n ) osoittaa, kuinka monta kertaa annettu väli g n poikkeaa alkulukua p n lähellä olevien alkulukujen välisestä keskimääräisestä intervallista . На 2017 год наибольшее известное значение M =41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin [5] .

Relaatiota S = g n /ln 2 p n (Cramer-Shanks-Granville-relaatio) tutkitaan Cramerin hypoteesin , jonka mukaan . Jos ei oteta huomioon havaittuja S :n poikkeuksellisen korkeita arvoja, suurin tunnettu arvo S = 0,9206386 löydettiin väliltä, jonka pituus on 1132, 16-numeroisen alkuluvun 1693182318746371 jälkeen. Tämän tietueen löysi vuonna 1999 Bertil Nyman. [6] (sekvenssi A111943 OEIS : ssä sisältää tämän ja kaikki edeltävät alkuluvut , jotka vastaavat S :n tietuearvoja ). $g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})$ $p_{n}=2,3,7,$ $p_{n}\geq 23$

Sanomme , mikä on maksimiväli, jos kaikille . Ensimmäisten alkulukujen välissä on suurin piirtein maksimiväli [7] ; katso myös OEIS - sekvenssi A005250 . $g_{n}$ $k<n$ ${\displaystyle g_{k}<g_{n))$ $n$ $2\ln n$

Ensimmäiset 82 maksimiväliä ( n ei ole annettu; katso OEIS A005669)

1-30

#	gn_ _	p n
yksi	yksi	2
2	2	3
3	neljä	7
neljä	6	23
5	kahdeksan	89
6	neljätoista	113
7	kahdeksantoista	523
kahdeksan	kaksikymmentä	887
9	22	1129
kymmenen	34	1327
yksitoista	36	9551
12	44	15683
13	52	19609
neljätoista	72	31397
viisitoista	86	155921
16	96	360653
17	112	370261
kahdeksantoista	114	492113
19	118	1349533
kaksikymmentä	132	1357201
21	148	2010733
22	154	4652353
23	180	17051707
24	210	20831323
25	220	47326693
26	222	122164747
27	234	189695659
28	248	191912783
29	250	387096133
kolmekymmentä	282	436273009

31-60

#	gn_ _	p n
31	288	1294268491
32	292	1453168141
33	320	2300942549
34	336	3842610773
35	354	4302407359
36	382	10726904659
37	384	20678048297
38	394	22367084959
39	456	25056082087
40	464	42652618343
41	468	127976334671
42	474	182226896239
43	486	241160624143
44	490	297501075799
45	500	303371455241
46	514	304599508537
47	516	416608695821
48	532	461690510011
49	534	614487453523
viisikymmentä	540	738832927927
51	582	1346294310749
52	588	1408695493609
53	602	1968188556461
54	652	2614941710599
55	674	7177162611713
56	716	13829048559701
57	766	19581334192423
58	778	42842283925351
59	804	90874329411493
60	806	171231342420521

61-82

#	gn_ _	p n
61	906	218209405436543
62	916	1189459969825483
63	924	1686994940955803
64	1132	1693182318746371
65	1184	43841547845541059
66	1198	55350776431903243
67	1220	80873624627234849
68	1224	203986478517455989
69	1248	218034721194214273
70	1272	305405826521087869
71	1328	352521223451364323
72	1356	401429925999153707
73	1370	418032645936712127
74	1442	804212830686677669
75	1476	1425172824437699411
76	1488	5733241593241196731
77	1510	6787988999657777797
78	1526	15570628755536096243
79	1530	17678654157568189057
80	1550	18361375334787046697
81	1552	18470057946260698231
82	1572	18571673432051830099
83
84
85
86
87
88
89
90

Ensimmäisen kymmenen tuhannen suurimmat intervallit

Jo toisessa tuhannessa on väli, 34 numeroa pitkä, jossa ei ole alkulukuja - (1327-1361). Lisäksi tämä aikaväli pitää pituuden ennätyksensä kymmenestuhanteen asti. Vain yhdeksännessä tuhannessa on toinen samanpituinen väli - (8467-8501) ja kymmenennessä - pidempi väli (36 numeroa) - (9551-9587), joka on pisin väli ensimmäisestä kymmenestä tuhannesta . On myös väli, jonka pituus on 32 numeroa - (5591-5623).

Lisää tuloksia

Ylärajat

Bertrandin postulaatti väittää, että mille tahansa k :lle on aina olemassa vähintään yksi alkuluku k :n ja 2 k :n välillä , joten erityisesti , mistä . ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n))$ ${\displaystyle g_{n}<p_{n))$

Alkulukujakauman lause sanoo, että alkuluvun p ja seuraavan alkuluvun välisten intervallien "keskimääräinen pituus" on järjestyksessä . Todellinen intervallin pituus voi olla suurempi tai pienempi kuin tämä arvo. Alkulukujakauman lauseesta voidaan kuitenkin päätellä yläraja alkulukujen välien pituudelle: millä tahansa on sellainen N , että kaikilla on . $\ln s$ $\varepsilon > 0$ $n>N$ $g_{n}<\varepsilon p_{n}$

Hoheisel osoitti ensimmäisenä [8] , että tällainen vakio on olemassa $\theta<1$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

klo

x\to +\infty

tästä seuraa siitä

g_{n}<p_{n}^{\theta },

riittävän suurille n .

Tästä seuraa, että alkulukujen välit pienenevät mielivaltaisesti alkulukujen suhteen: osamäärä pyrkii nollaan, kun n pyrkii äärettömyyteen. $\frac{g_n}{p_n}$

Hoheisel sai mahdolliseksi arvon 32999/33000 . Heilbron [9] on parantanut tämän rajan arvoon 249/250 ja Chudakov [10] mihin tahansa . $\theta$ $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ $\varepsilon > 0$

Suurimman parannuksen teki Ingham [11] , joka osoitti, että jos

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})

jollekin vakiolle, jossa O :ta käytetään merkinnän merkityksessä O on suuri , niin $c>0$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

mille tahansa . Tässä, kuten tavallista, tarkoittaa Riemannin zeta-funktiota ja merkitsee niiden alkulukujen jakaumafunktiota, jotka eivät ylitä x :ää . Tiedetään, että on sallittua , mistä tahansa numero, joka on suurempi kuin . Inghamin tuloksesta seuraa välittömästi, että lukujen välillä on aina alkuluku ja riittävän suurelle n :lle . Huomaa, että Lindelöfin arvelua ei ole vielä todistettu , jonka mukaan mikä tahansa positiivinen luku voidaan valita c :ksi, mutta siitä seuraa, että riittävän suuren n :n välillä ja sille on aina olemassa alkuluku (katso myös Legendre -oletus ). Jos tämä olettamus pitää paikkansa, on mahdollista, että tarvitaan vielä tiukempi Cramerin arvelu . Yksi saavutetuista likiarvoista Legendren olettamukseen on todistettu tosiasia, että . [12] $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$ $\zeta$ $\pi(x)$ $c > \frac{1}{6}$ $\theta$ $\frac{5}{8}$ $n^3$ $(n+1)^3$ $n^{2}$ $(n+1)^2$ $g(p_{n})=O({p_{n))^{\frac {21}{40)))$

Martin Huxley osoitti, että voi valita [13] . $\theta = \frac{7}{12}$

Viimeinen tulos on Backerin, Harmanin ja Pinzin ansiota , jotka osoittivat, että 0,525 voidaan ottaa. [12] $\theta$

Vuonna 2005 Daniel Goldston , Janos Pinc ja Cem Yildirim osoittivat sen

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

ja myöhemmin paransi tätä [14] muotoon

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}({\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2} }}<\infty

Vuonna 2013 Zhang Yitang lähetti artikkelin, joka osoitti, että [15]

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.

Tätä tulosta on parannettu toistuvasti tähän asti

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.

Tästä seuraa erityisesti, että kaikkien alkulukuparien joukko, joiden välinen ero ei ole suurempi kuin 246, on ääretön [16] [17] .

Alarajat

Robert Rankin osoitti, että on olemassa sellainen vakio , että epätasa-arvo $c>0$

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2 }}}

jatkuu äärettömän monelle n: n arvolle . Tunnetuin c :n arvo tähän mennessä on , jossa on Euler-Mascheronin vakio . [18] Paul Erdős tarjosi 5 000 dollarin palkintoa sen todistamisesta tai kumoamisesta, että vakio c yllä olevassa epäyhtälössä voi olla mielivaltaisen suuri. [19] ${\displaystyle c=2e^{\gamma ))$ $\gamma$

Hypoteesit alkulukujen välisistä intervalleista

Tässä on mahdollista saada jopa parempia tuloksia kuin ne, jotka voidaan saada olettamalla Riemmannin hypoteesin totuus . Harald Cramer osoitti, että jos Riemannin hypoteesi on totta, niin välit tyydyttävät suhteen $g(p_{n})$

g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(tässä käytetään merkintää O iso ). Myöhemmin hän ehdotti, että välit kasvaisivat paljon vähemmän. Karkeasti sanottuna hän oletti niin

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

Tällä hetkellä tämä osoitetaan numeerisilla laskelmilla. Katso lisätietoja Cramerin hypoteesista .

Andrica-hypoteesi väittää tämän

g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Tämä on heikko vahvistus Legendren olettamukselle , jonka mukaan minkä tahansa luonnollisten lukujen neliöparin välillä on vähintään yksi alkuluku.

Alkulukujen väliset intervallit aritmeettisena funktiona

Väli n :nnen ja ( n + 1) alkuluvun välillä on esimerkki aritmeettisesta funktiosta . Tässä yhteydessä sitä yleensä merkitään ja sitä kutsutaan alkulukujen väliseksi eroksi [19] . Alkulukujen välinen ero ei ole kertova eikä additiivinen aritmeettinen funktio . $g_{n}$ $d_{n}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ MJansenin ilmoitus osoitteessa Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (16. huhtikuuta 2022). Arkistoitu alkuperäisestä 29. syyskuuta 2022. (määrätön)
↑ mart_r :n vahvistusilmoitus osoitteessa Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (14. heinäkuuta 2022). Arkistoitu alkuperäisestä 27. heinäkuuta 2022. (määrätön)
↑ Andersen, Jens Kruse Megapit ansioilla 25.9 . primerecords.dk (8. maaliskuuta 2013). Haettu 29. syyskuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 25. joulukuuta 2019. (määrätön)
↑ Hienosti, TR, Uusi ensisijainen aukko suurimmalla tunnetulla ansiolla . Haettu 6. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 30. huhtikuuta 2021. (määrätön)
↑ Hienosti, TR, Ensimmäinen esiintyminen alkulukuraot . Haettu 6. kesäkuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 11. joulukuuta 2019. (määrätön)
↑ Kourbatov , A. N :nnellä tietuevälillä alkulukujen välillä aritmeettisessa progressiossa (englanti) // Int. Matematiikka. Foorumi: päiväkirja. - 2018. - Vol. 13 , ei. 2 . - s. 65-78 . - doi : 10.12988/imf.2018.712103 . - arXiv : 1709.05508 .
↑ Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis (neopr.) // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. - 1930. - T. 33 . - S. 3-11 .
↑ Heilbronn, HA Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel // Mathematische Zeitschrift : päiväkirja. - 1933. - Voi. 36 , ei. 1 . - s. 394-423 . - doi : 10.1007/BF01188631 .
↑ Tchudakoff, NG Kahden vierekkäisen alkuluvun erosta // Math . Sb. : päiväkirja. - 1936. - Voi. 1 . - s. 799-814 .
↑ Ingham, AE Peräkkäisten alkulukujen erosta // Quarterly Journal of Mathematics : päiväkirja. - 1937. - Voi. 8 , ei. 1 . - s. 255-266 . doi : 10.1093 / qmath/os-8.1.255 .
↑ 1 2 Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. Ero peräkkäisten alkulukujen välillä, II (indefinite) // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - T. 83 , nro 3 . - S. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
↑ Huxley, MN Peräkkäisten alkulukujen välisestä erosta // Inventiones Mathematicae : Journal . - 1972. - Voi. 15 , ei. 2 . - s. 164-170 . - doi : 10.1007/BF01418933 .
↑ arXiv : 0710.2728
↑ Zhang, Yitang. Rajalliset aukot alkulukujen välillä (englanniksi) // Annals of Mathematics : Journal. — Princetonin yliopisto ja Institute for Advanced Study.
↑ Alkulukujen väliset rajalliset aukot . yleisnero. Haettu 21. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 28. helmikuuta 2020. (määrätön) >
↑ D.H.J. Polymath. Selberg-seulan muunnelmia ja monia alkulukuja sisältävät rajalliset intervallit // Research in the Mathematical Sciences : Journal. - 2014. - Vol. 1 . - doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . - arXiv : 1407.4897 .
↑ Pintz, J. Erittäin suuret välit peräkkäisten alkulukujen välillä // J. Number Theory : Journal. - 1997. - Voi. 63 , no. 2 . - s. 286-301 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2081 .
↑ 12 Guy , RKRatkaisemattomat ongelmat lukuteoriassa (neopr.) . — Kolmas. - New York: Springer, 2004. - S. 31. - ISBN 0387208607 .

Linkit

Thomas R. Nicely , Jotkut alkulukujen laskennallisen tutkimuksen tulokset - laskennallinen lukuteoria . Tämä viiteverkkosivusto sisältää luettelon kaikista ensimmäisistä tunnetuista esiintymien alkurakoista.
Weisstein, Eric W. Prime Difference Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143
Chris Caldwell , Gaps Between Primes