Avoimet ongelmat lukuteoriassa

Lukuteoria on matematiikan osa , joka tutkii ensisijaisesti luonnollisia ja kokonaislukuja ja niiden ominaisuuksia, usein laskennan menetelmiä ja muita matematiikan aloja käyttäen. Lukuteoria sisältää monia ongelmia, ratkaisuyrityksiä, joita matemaatikot ovat tehneet kymmeniä, joskus jopa satoja vuosia, mutta jotka ovat edelleen avoinna. Seuraavassa on joitain pahamaineisimpia ratkaisemattomia ongelmia.

Alkulukuja koskevia hypoteeseja

Vahva Goldbach-ongelma . Jokainen parillinen luku, joka on suurempi kuin 2, voidaan esittää kahden alkuluvun summana.
Rieselin ongelma : Löytää pienin pariton luku siten , että luku on yhdistelmä kaikille luonnollisille luvuille . $k<509203$ $k\cdot 2^{n}-1$ $n$
Sierpinskin ongelma : Löytää pienin pariton luonnollinen niin, että luku on yhdistelmä kaikista luonnollisista . $k<78557$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinskin yksinkertainen ongelma : Löytää pienin pariton alkuluonnollinen niin, että luku on yhdistelmä kaikista luonnollisista . $k<271129$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinskin kaksoisongelma : löytää pienin pariton luonnollinen niin, että luku on yhdistelmä kaikista luonnollisista . Aiheeseen liittyvä kysymys primaalisuustestistä: jos on olemassa algoritmi, jonka avulla voit nopeasti (polynomiajassa) selvittää, onko luku alkuluku (tiukasti eli ei pseudoalkuluku), niin onko sille olemassa primaalisuustesti-algoritmia. lomakkeen numeroille ? Vastaus viimeiseen kysymykseen kertoisi, ovatko viisi suurta, mahdollisesti yksinkertaista tehtävää "Five or Fail" yksinkertaisia vai yhdistelmiä. $k$ $2^{n}\pm k$ $n$ $k\cdot 2^{n}\pm 1$ $2^{n}\pm k$
Artinin olettamus , että on äärettömän monta modulo alkulukua , joille annettu kokonaisluku on primitiivinen juuri .
Legendren hypoteesi . Jokaiselle luonnolliselle luvulle välillä ja on vähintään yksi alkuluku. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$
Oppermannin hypoteesi . Jokaiselle luonnolliselle luvulle välillä ja on vähintään yksi alkuluku, ja välillä ja on vähintään yksi (toinen) alkuluku. $n$ $n^{2}$ $n(n+1)$ $n(n+1)$ $(n+1)^2$
Andrican hypoteesi . Funktio (jossa on -. alkuluku) saa arvot, jotka ovat pienempiä kuin 1 mille tahansa n:lle. ${\displaystyle f(n)={\sqrt {p_{n+1))}-{\sqrt {p_{n))))$ $p_n$ $n$
Brocardin hypoteesi . Jokaisella luonnollisella luvulla välillä ja (missä on th alkuluku) on vähintään neljä alkulukua. $n$ $p_{n}^{2}$ $p_{{n+1}}^{2}$ $p_n$ $n$
Firuzbekhtin hypoteesi . Sarja on tiukasti laskeva (tässä on -: s alkuluku). ${\näyttötyyli (p_{n})^{1/n}}$ $p_n$ $n$
Polignacin hypoteesi . Jokaista parillista lukua varten on äärettömän monta paria naapurilukuja, joiden välinen ero on yhtä suuri kuin . $n$ $n$
Ago-Jugin hypoteesi : onko totta, että jos $\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$ , niin p on alkuluku?
Onko totta, että mille tahansa positiiviselle irrationaaliluvulle ja mille tahansa positiiviselle luvulle on ääretön määrä alkulukupareja , joille epäyhtälö pätee ? [yksi] $\theta$ $\epsilon$ $(p, q),$ $\left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{{-2+\epsilon }}$
Lähentyykö sarja ? [2] Mutta jos se suppenee, on varmasti monia kaksoisalkulukuja . Tämä seuraa alkulukujen jakautumista koskevasta lauseesta ja Leibnizin kriteeristä $\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}$ .
Gilbraithin hypoteesi . Minkä tahansa luonnollisen luvun , kolmannen kertaluvun absoluuttisten erojen sarja alkulukujonolle alkaa luvusta 1. 1. kertaluvun absoluuttiset erot ovat vierekkäisten alkulukujen välisten erojen absoluuttisia suuruuksia : 2. kertaluvun erot ovat alkulukujen absoluuttisia suuruuksia. vierekkäisten elementtien väliset erot 1. kertaluvun absoluuttisten erojen sarjassa: jne. Hypoteesi varmistuu kaikille n < 3,4×10 11 [3] $n$ $n$ $1,2,2,4,2,\pisteet,$ $1,0,2,2,2,\pisteet$
Bunyakovskiin arvelu Jos on integraaliarvoinen redusoitumaton polynomi ja d on kaikkien sen arvojen suurin yhteinen jakaja, niin integraaliarvoinen polynomi saa äärettömän monta alkuarvoa. Landaun 4. ongelma on erityinen tapaus tälle olettamukselle . $f(x)$ $f(x)/d$ $f(x)=x^{2}+1$
Dixonin olettamus Jos on äärellinen määrä aritmeettisia progressioita, niin luonnollisia lukuja n on äärettömän monta siten, että jokaisella sellaisella n :llä kaikki r luvut ovat alkulukuja samanaikaisesti. Lisäksi triviaalitapaus jätetään huomioimatta, kun on olemassa sellainen alkuluku p , että millä tahansa n :llä ainakin yksi luku on p :n kerrannainen . ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$
Elliot-Halberstamin arvelu ja sen yleistys moduulien alkulukujen teoriassa.
Ovatko kaikki Fermat-luvut yhdistetty arvoon n > 4?
Ovatko kaikki alkuindeksillä varustetut Mersennen luvut neliövapaita ?
Onko olemassa kaksinkertaisia Mersennen lukuja , joiden indeksit ovat n > 60?
Ovatko numero M M 127 ja seuraavat katalaani-Mersenne-sekvenssin ehdot yksinkertaisia?
Onko olemassa muita Wolstenholmen alkulukuja kuin 16843 ja 2124679 ?
Avoin kysymys on alkulukujen lukumäärän ääretön jokaisessa seuraavista sarjoista [4] :

Jakso	Nimi
$2^{n}-1$	Mersennen numerot
$n^{2}+1$	Neljäs Landaun ongelma
$n^{2^{k}}+1$ , $k>0$	yleistys Landau-ongelmasta [5] .
$n\cdot 2^{n}+1$	Cullen numerot
$n\cdot 2^{n}-1$	Woodallin numerot
$2^{{2^{n}}}+1$	Fermat numerot
$F_{n}$	fibonaccin numerot
parit $(n,\;n+2)$	yksinkertaiset kaksoset
parit $(n,\;2n+1)$	Sophie Germain ensisijassa
$n!\pm 1$	tekijäluvut
$n\#\pm 1$	alkunumerot
$k\cdot 2^{n}+1$ , on outoa, $k$ $2^{n}>k$	Prot numerot

Onko olemassa muuta polynomia kuin lineaarista, jonka arvojen joukossa on äärettömän monta alkulukua? [6] $f(x)$
Miksi alkuluvut on järjestetty ketjuihin Ulam-pöytäliinan diagonaaleja pitkin ? [6]
Onko totta, että vain kolme alkulukua, nimittäin 5, 13 ja 97, voidaan esittää muodossa jollekin luonnolliselle luvulle ? $2^{k}+3^{k}$ $k$

Hypoteeseja täydellisistä luvuista

Ei ole olemassa parittomia täydellisiä lukuja . [7]
Täydellisten lukujen määrä on ääretön.

Arveluja ystävällisistä numeroista

Coprime- ystävällisiä numeroita ei ole .
Jokaisella ystävälukuparilla on sama pariteetti.
Ystävällisiä numeroita on äärettömän paljon.

Gaussin luvut

Selvitä niiden Gaussin lukujen lukumäärä, joiden normi on pienempi kuin annettu luonnollinen vakio . Vastaavassa muotoilussa tämä aihe tunnetaan " Gaussin ympyräongelmana " lukugeometriassa [8] . Katso sekvenssi A000328 OEIS : ssä . $R$
Etsi kompleksitasosta suorat, jotka sisältävät äärettömän monta Gaussin alkulukua. Kaksi tällaista suoraa on ilmeisiä - nämä ovat koordinaattiakselit; ei tiedetä, onko muita olemassa [9] .
" Gaussin ojana " tunnettu kysymys : onko mahdollista mennä äärettömyyteen siirtymällä yksinkertaisesta Gaussin luvusta toiseen ennalta määrätyn pituisilla hyppyillä? Ongelma asetettiin vuonna 1962, eikä sitä ole vielä ratkaistu [10] .

Diofantiiniyhtälöt

Onko jokaisella numeroitavalla joukolla yksi diofantiiniesitys ? [yksitoista]
Voiko kahden joukon, joista kummallakin on yksi diofantiiniesitys, liitolla olla yksittäinen diofantiiniesitys?
Onko jokaisessa numeroitavassa joukossa diofantiiniesitys asteen 3 yhtälönä kaikissa muuttujissa (parametrit ja tuntemattomat)?
Onko jokaisella numeroitavalla joukolla diofantiiniesitys asteen 3 yhtälönä tuntemattomissa?
Mikä on pienin määrä muuttujia, jotka universaalissa diofantiiniyhtälössä voi olla ? Mikä on pienin aste, joka sillä voi olla niin monella muuttujalla? Pienin tunnettu tulos on 9 muuttujaa. Yhtälön pienin tunnettu teho 9 muuttujassa ylittää [12] $10^{{45}}.$
Mikä on pienin määrä muuttujia, mitä yleisellä 4-asteisella diofantiiniyhtälöllä voi olla? Pienin tunnettu pistemäärä on 58.
Onko olemassa universaalia asteen 3 diofantiiniyhtälöä? Jos on, mikä on pienin määrä muuttujia, joita sillä voi olla?
Mikä on pienin määrä operaatioita (yhdys-, vähennys- ja kertolaskuja), jotka universaalilla diofantiiniyhtälöllä voi olla? Pienin tunnettu tulos on 100.
Onko diofantiiniyhtälön ratkaisujoukko ääretön ? [yksitoista] $9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2$
Kolmen kokonaisluvun reunan ja kokonaislukulävistäjän olemassaolo .
Viiden positiivisen kokonaisluvun joukon olemassaolo , joista minkä tahansa kahden tulo on yksi pienempi kuin tarkka neliö.

Monet ratkaisemattomat ongelmat (esim. Goldbachin ongelma tai Riemannin hypoteesi ) voidaan muotoilla uudelleen kysymyksiksi jonkin erikoismuodon 4. asteen diofantiiniyhtälöiden ratkaistavuudesta , mutta tällainen uudelleenmuotoilu ei yleensä tee ongelmaa helpommaksi puutteen vuoksi. yleisestä menetelmästä diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseksi [13] [11] .

Analyyttinen lukuteoria

Riemannin hypoteesi (lukuteoreettinen muotoilu). Onko seuraava asymptoottinen kaava alkulukujakaumaa oikea: $\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\left({\sqrt x}\ln x\oikea)?$
Tiedetään, että positiivisten kokonaislukukoordinaatit omaavien pisteiden lukumäärä hyperbolin ja positiivisten puoliakselien rajaamalla alueella ilmaistaan asymptoottisella kaavalla $xy=N$ $\Phi (N)=\sum _{{k=1}}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),$

missä on luvun k jakajien lukumäärä , on Euler-Mascheronin vakio ja voidaan valita yhtä suureksi . Ei kuitenkaan tiedetä, millä minimiarvolla tämä kaava pysyy totta ( tiedetään, että se ei ole pienempi kuin Onko se täsmälleen sama ? Suorat laskelmat johtavat tähän olettamukseen, koska se osoittautuu lähes normaaliksi jakaumaksi varianssilla 1 x:lle aina 10 16 asti .

\tau(k)

\gamma

\theta

{\frac {131}{416}}.

\theta

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

\theta

{\displaystyle x^{\theta }/x^{1/4))

Cramerin hypoteesi alkulukujen välisistä aukoista : . $\max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})$
Rento Mertensin olettamus : todista, että Mertensin funktio arvioi arvoon . Rento Mertensin arvelu vastaa Riemannin hypoteesia. $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$
Ensimmäinen Hardy-Littlewood-oletus on oletus muodon alkulukujen monikoiden jakautumistiheydestä , jossa todetaan erityisesti, että tällaisten monikoiden lukumäärä on ääretön, paitsi triviaalisissa tapauksissa. Tämä olettamus on jalostus yksinkertaisesta kaksoisoletuksesta ja on myös Dixonin arvelun erikoistapaus. ${\näyttötyyli (p,p+a_{2}...,p+a_{k})}$
Toinen Hardy-Littlewoodin oletus on oletus alkulukujen funktion logaritmisesta ominaisuudesta : . On todistettu, että molemmat Hardy-Littlewoodin hypoteesit eivät voi olla totta samaan aikaan ja korkeintaan toinen on totta [17] . ${\näyttötyyli \pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y)}$
Singmasterin hypoteesi . Merkitään kuinka monta kertaa yksi suurempi luonnollinen luku esiintyy Pascalin kolmiossa . Singmaster osoitti sen , jota parannettiin edelleen . Onko vahvempi väite totta ? $N(a)$ $a$ $N(a)=O(\ln a)$ $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{{-3}}\ln a)$ $N(a) = O(1)$
Zaremban hypoteesi . Jokaiselle luonnolliselle luvulle q on sellainen luku p , että laajennuksessa jatkuvaksi murtoluvuksi kaikki epätäydelliset osamäärät eivät ylitä viittä. Vuonna 2011 Jean Bourgain ja Alex Kontorovich osoittivat, että jakeilla, joiden epätäydelliset osamäärät on rajoitettu 50:een, olettamus pitää paikkansa tiheydellä 1 [18] . ${\frac pq}$

Ramseyn teoria

Ramsey-lukujen arvot [19] . Vain muutama ensimmäinen numero tunnetaan varmasti. Esimerkiksi ei tiedetä, millä minimiarvolla N missä tahansa N ihmisen ryhmässä on 5 henkilöä, jotka tuntevat toisensa pareittain, tai 5 henkilöä, jotka eivät tunne toisiaan pareittain - tämä luku on merkitty , se tiedetään vain että . $R(r,\;s)$ $R(5;\;5)$ $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48$

$r,\;s$	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen
yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi	yksi
2	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen
3	yksi	3	6	9	neljätoista	kahdeksantoista	23	28	36	[40, 42]
neljä	yksi	neljä	9	kahdeksantoista	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	yksi	5	neljätoista	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	yksi	6	kahdeksantoista	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	yksi	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
kahdeksan	yksi	kahdeksan	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	yksi	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
kymmenen	yksi	kymmenen	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

Van der Waerdenin numeroiden merkitykset . Tällä hetkellä tunnetaan vain kuuden ensimmäisen luvun [20] arvot , 178 ja 1132.35,9,3,1: missä ylärajan lauseke käyttää tetratiota ) [ 21] . $\{1, 2, \pisteet, N\}$ $3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2$

Muut ongelmat

Antaa olla positiivinen luku sellainen, että ja ovat kokonaislukuja. Eikö se voi olla kokonaisluku? $x$ $2^{x}$ $3^{x}$ $x$
Hieman tarpeettomien numeroiden olemassaolo .
Kolmen pariluvun syklin olemassaolo .
Onko olemassa pareittain erillisiä luonnollisia lukuja siten, että ? [22] $a,\;b,\;c,\;d$ $a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}$
Onko kahdella eri Pythagoraan kolmiolla , joilla on sama tuote? [23]
Bealin hypoteesi . Jos missä ovat luonnolliset luvut ja , Niillä on yhteinen alkujakaja . $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Erdősin hypoteesi . Jos käänteislukujen summa jollekin luonnollisten lukujen joukolle poikkeaa, niin tästä joukosta löytyy mielivaltaisen pitkä aritmeettinen progressio .
Kuinka suuri voi olla käänteislukujen summa luonnollisten lukujen sarjassa, jossa mikään alkio ei ole yhtä suuri kuin useiden muiden erillisten alkioiden summa? (Erdos) [24]
Collatzin arvelu (3n+1 hypoteesi).
Jongleerin hypoteesi . Mikä tahansa jonglöörisekvenssi saavuttaa arvon 1 [25] . Jonglöörisekvenssi kuvataan rekursiivisella kaavalla: $a_{{k+1}}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{{1/2}}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\teksti{on tasainen));\\\\\left\lfloor a_{k}^{{3/2))\right\rfloor ,&{\text{if))\ a_{k}\ {\ teksti{on pariton}}.\end{cases}}$
Brokarin ongelma . Onko yhtälöllä ratkaisuja luonnollisissa luvuissa, paitsi (4, 5), (5, 11) ja (7, 71)? [26] $n!+1=m^{2}$
Tomaszewskin hypoteesi . Vain luvut 1, 6 ja 120 ovat sekä kolmiomaisia että kertoimia [27] . Vaihtoehtoisessa muotoilussa se pelkistyy yhtälön ratkaisemiseen luonnollisilla luvuilla. $8\cdot n!+1=m^{2}$
Onko yhtälön ratkaisujoukko äärellinen? Tällä hetkellä ratkaisuja tunnetaan vain 5 [28] . [29] [30] $2^{n}\equiv 3{\pmod n}?$
Onko totta, että minkä tahansa rationaaliluvun neliö voidaan esittää neljän rationaaliluvun neljännen potenssien summana?
Waringin ongelma ja sen yleistykset:
- Onko olemassa äärellinen joukko luonnollisia lukuja, joita ei voida esittää 6 kuution ei-negatiivisten kokonaislukujen summana? [31] Samanlainen kysymys herää 5 ja 4 kuution summille sekä monille termeille, joiden potenssit ovat suurempia kuin 4.
- Kuinka tarkalleen luonnollinen luku voidaan esittää kahden kokonaisluvun neliöiden summana?
Ongelma 196 . Onko olemassa luonnollisia lukuja, jotka "käännä ja lisää" -toiminnon toistamisen seurauksena eivät koskaan muutu palindromiksi ?
Onko mahdollista esittää mikä tahansa kokonaisluku neljän kuution (algebrallisena) summana? [32]
- tälle väitteelle ei ole todisteita;
- ei ole tunnettua esimerkkiä numerosta, jota ei voida esittää tällä tavalla.
Kolme Pollockin neljästä arvelusta kiharaista numeroista .

Katso myös

Avoimet matemaattiset ongelmat - ongelmia muilta matematiikan aloilta

Muistiinpanot

↑ Hilbertin ongelmista johtuva matemaattinen kehitys , s. 39
↑ Weisstein, Eric W. Prime Summit Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. Gilbraithin arvelu Wolfram MathWorldissä .
↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Stuart, 2015 , s. 68.
↑ 1 2 Matiyasevitš, Yu. V. Alkulukujen kaavat // Kvant. - 1975. - T. 1. - Nro 5. - S. 8.
↑ Stuart, 2015 , s. 404.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. – s. 106.
↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. – 3. painos - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa. – 3. painos - New York: Springer, 2004. - P. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ 1 2 3 Yu. V. Matiyasevitš . Harjoitus 2.10 // Hilbertin kymmenes tehtävä . - M .: Nauka, 1993. - 223 s. — (Matemaattinen logiikka ja matematiikan perusteet; numero 26). — ISBN 502014326X .
↑ Jones JP Ratkaisemattomat diofantiiniyhtälöt // Bull . amer. Matematiikka. soc. : päiväkirja. - 1980. - Voi. 3 . - s. 859-862 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 .
↑ Juri Matiyasevitš, Hilbertin kymmenes ongelma: Mitä tehtiin ja mitä on tehtävä
↑ A. A. Bukhshtab. Numeroteoria . - M . : Koulutus, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analyyttinen lukuteoria // Matemaattinen tietosanakirja. - Neuvostoliiton tietosanakirja . - M. , 1977-1985. (Venäjän kieli)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ 447-luvun laskutoimitukset . Haettu 12. elokuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 28. joulukuuta 2012. (määrätön)
↑ J. Bourgin, A. Kontorovich. Zaremban olettamuksesta .
↑ Stanisław Radziszowski. Small Ramsey Numbers (englanniksi) // The Electronic Journal of Combinatorics. - 2017 - 3. maaliskuuta. — ISSN 1077-8926 . (versio 15)
↑ OEIS - sekvenssi A005346 _
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden numero Wolfram MathWorldissä .
↑ Ratkaisematon tehtävä 18: Onko olemassa erilaisia positiivisia kokonaislukuja a, b, c ja, d siten, että a^5+b^5=c^5+d^5? Viikon ratkaisematon ongelma . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean kolmikko Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. A -sekvenssi Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Sekvenssit A007320 , A094716 OEIS : ssä
↑ Weisstein , Eric W. Brokardin ongelma Wolfram MathWorldissä .
↑ Sekvenssit A000142 , A000217 OEIS : ssä
↑ Weisstein, Eric W. Numero 2 Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ 2^n mod n - OeisWiki
↑ https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
↑ Weisstein, Eric W. Kuutioluku Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Dmitri Maksimov. Neliöiden ja kuutioiden summista // Tiede ja elämä . - 2020. - Nro 9 . - S. 85 . (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

Ian Stewart . Suurimmat matematiikan ongelmat. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Shanks, Daniel . Ratkaistuja ja ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa. - 5. painos - New York: AMS Chelsea, 2002. - ISBN 978-0-8218-2824-3 .

Linkit

Avaa ongelmapuutarha
Avoimet kysymykset: Matematiikka
Avoimet ongelmat -projekti
Avaa Math Problems Google- hakemistossa
Videoleikkeitä ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista
http://unsolvedproblems.org/