Pythagoraan kolminkertainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Pythagoraan kolmoiskappale on kolmen luonnollisen luvun järjestetty joukko, jotka täyttävät Pythagoraan lausetta kuvaavan homogeenisen toisen asteen yhtälön . Niitä kutsutaan Pythagoraan numeroiksi . $x,\;y,\;z$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Kolmio, jonka sivujen pituudet muodostavat Pythagoraan kolmion, on suorakulmainen kolmio ja sitä kutsutaan myös Pythagoralaiseksi .

Primitiiviset kolmiot

Koska yllä oleva yhtälö on homogeeninen , kerrottuna luvulla ja samalla luonnollisella luvulla saadaan toinen Pythagoraan kolmoinen. Pythagoraan kolmoiskappaletta kutsutaan primitiiviseksi , jos sitä ei saada tällä tavalla jostain muusta Pythagoraan kolmiosta, eli jos ne ovat suhteellisen alkulukuja . Toisin sanoen primitiivisen Pythagoraan kolminan suurin yhteinen jakaja on 1. $x$ $y$ $z$ $(x, y, z)$ $x,\;y,\;z$ $(x, y, z)$

Alkeellisessa kolmiossa luvuilla ja on eri pariteetit , ja parillinen on jaollinen 4:llä ja on aina pariton. $(x, y, z)$ $x$ $y$ $z$

Mikä tahansa primitiivinen Pythagoraan kolmoisluku , jossa on pariton ja parillinen, esitetään yksilöllisesti muodossa joillekin eri pariteetin luonnollisille koprusiluvuille . $(x, y, z)$ $x$ $y$ $(m^{2}-n^{2},\;2min,\;m^{2}+n^{2})$ $m>n$

Nämä luvut voidaan laskea kaavojen avulla

{\begin{cases}m={\sqrt {\dfrac {z+x}{2))}={\dfrac ({\sqrt {z+y))+{\sqrt {zy))} {2)),\\n={\sqrt {\dfrac {zx}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {z+y}}-{\sqrt {zy}}}{2}} .\end{cases}}

Päinvastoin, mikä tahansa tällainen lukupari määrittelee primitiivisen Pythagoraan kolminkertaisen [1] . $(m,\;n)$ $(m^{2}-n^{2},\;2min,\;m^{2}+n^{2})$

Esimerkkejä

On 16 primitiivistä Pythagoraan kolmoiskappaletta, joissa : $z\leqslant 100$

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Kaikki kolmiot eivät ole primitiivisiä, esimerkiksi (6, 8, 10) saadaan kertomalla kolmiot (3, 4, 5) kahdella. Jokainen kolmoisista, joissa on pieni hypotenuusa, muodostaa hyvin määritellyn säteittäisen suoran useista kolmioista sirontakaaviossa. $z\leqslant 100$

Primitiiviset kolmoset, joissa : $100<z\leqslant 300$

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Pythagoraan kolminkertaiset mahdolliset arvot muodostavat sekvenssin (sekvenssi A009003 OEIS : ssä ) $z$

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Fibonacci-lukujen ominaisuuksien perusteella näistä luvuista on mahdollista muodostaa esimerkiksi sellaisia Pythagoraan kolmoiskappaleita:

x=F_{n}F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2};\quad z=F_{n+1}^{2}+F_{ n+2}^{2}.

Historia

Tunnetuin kehittyneissä muinaisissa kulttuureissa oli kolme (3, 4, 5), joiden avulla muinaiset pystyivät rakentamaan suoria kulmia. Vitruvius piti tätä kolminkertaista matematiikan korkeimpana saavutuksena ja Platonia avioliiton symbolina, mikä osoittaa, kuinka tärkeänä muinaiset pitivät kolminkertaista (3, 4, 5).

Muinaisten Mesopotamian hautakivien arkkitehtuurista löytyy tasakylkinen kolmio, joka koostuu kahdesta suorakaiteen muotoisesta kolmiosta, joiden sivut ovat 9, 12 ja 15 kyynärää. Farao Snefrun (XXVII vuosisata eKr.) pyramidit rakennettiin kolmioista, joiden sivut olivat 20, 21 ja 29 sekä 18, 24 ja 30 kymmeniä Egyptin kyynärää.

Babylonialaiset matemaatikot osasivat laskea Pythagoraan kolmiot. Babylonian savitaulu , nimeltään Plimpton 322 , sisältää viisitoista Pythagoraan kolmoiskappaletta (tarkemmin sanottuna viisitoista numeroparia , kuten ). Tämän taulun uskotaan luoneen noin 1800 eaa. e. [2] ${\näyttötyyli a,c}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Kolminkertainen sukupolvi

Eukleideen kaava [3] on tärkein työkalu Pythagoraan kolmioiden rakentamiseen. Sen mukaan mille tahansa luonnollisten lukujen ja ( ) kokonaislukujen parille $m$ $n$ $m>n$

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2min,\ c=m^{2}+n^{2))

muodostavat Pythagoraan kolmion. Euklidesin kaavan muodostamat kolmiot ovat primitiivisiä silloin ja vain, jos molemmat ovat ko-alkulukuja ja parittomia. Jos ja , ja ovat parittomia, sitten , ja on parillinen ja kolminkertainen ei ole primitiivinen. Kuitenkin jakamalla , ja luvulla 2 saadaan primitiivisen kolminkertainen, jos ja ovat koprime [4] . $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $m$ $n$

Mikä tahansa primitiivinen kolmoisosa saadaan yhdestä koprime-lukuparista ja , joista yksi on parillinen. Tästä seuraa, että alkukantaisia Pythagoraan kolmoiskappaleita on äärettömän monta. $m$ $n$

Vaikka Euklidesin kaava generoi kaikki primitiiviset kolmiot, se ei generoi kaikkia kolmioita. Lisäparametria lisättäessä saadaan kaava, joka luo kaikki Pythagoraan kolmiot ainutlaatuisella tavalla: $k$

a=k\cpiste (m^{2}-n^{2}),\ b=k\cpiste (2 min),\ c=k\cpiste (m^{2}+n^{2} ),

missä , ja ovat luonnollisia lukuja, , pariton ja koprime. $m$ $n$ $k$ $m>n$ $mn$ $m$ $n$

Se, että nämä kaavat muodostavat Pythagoraan kolmoiskappaleita, voidaan varmistaa korvaamalla ja tarkistamalla, että tulos on sama kuin . Koska mikä tahansa Pythagoraan kolmoisosa voidaan jakaa joillain saadakseen primitiivisen kolminkertaisen, mikä tahansa kolmoinen voidaan muodostaa yksilöllisesti käyttämällä ja luodaksesi primitiivisen kolmoiskappaleen, ja sitten se kerrotaan . $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $k$ $m$ $n$ $k$

Eukleideen ajoista lähtien on löydetty monia kaavoja kolmosten muodostamiseksi.

Todiste Euklidesin kaavoista

Se, että luvut , , , jotka täyttävät Euklidesin kaavan, muodostavat aina Pythagoraan kolmion, on ilmeistä positiivisille kokonaisluvuille ja , , koska kaavoihin korvaamisen jälkeen tulee positiivisia lukuja , ja myös siitä, että $a$ $b$ $c$ $m$ $n$ $m>n$ $a$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2 min)^{2}=(m^{2}+n^ {2})^{2}=c^{2}.

Käänteinen väite, että , , ilmaistaan Euklidesin kaavalla mille tahansa Pythagoraan kolmiolle, seuraa seuraavasta [5] . Kaikki tällaiset kolmiot voidaan kirjoittaa muodossa ( , , ), missä , ja , , ovat koprime ja ja niillä on vastakkainen pariteetti (joista yksi on parillinen, toinen on pariton). (Jos sillä on sama pariteetti molempien jalkojen kanssa, niin jos ne ovat parillisia, ne eivät ole parillisia, ja jos ne ovat parittomia , se antaa parillisen luvun, eikä se voi olla yhtä suuri kuin pariton .) Saat , ja siksi ,. Sitten . Koska on rationaalinen, esitämme sen redusoitumattomana murto-osana . Tästä saamme, että murto-osa on yhtä suuri kuin . Yhtälöiden ratkaiseminen $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$ $b$ $c$ $c$ $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2))$ ${\displaystyle (ca)(c+a)=b^{2))$ ${\näyttötyyli (c+a)/b=b/(ca)}$ ${\näyttötyyli (c+a)/b}$ $m/n$ $(ca)/b$ $n/m$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\ {\frac {c}{b}}-{\ frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

suhteessa ja , saamme $c/b$ $a/b$

{\frac {c}{b}}={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn)),\ {\frac {a}{b}}={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

Koska ja ovat oletusarvoisesti redusoitumattomia, osoittajat ja nimittäjät ovat yhtä suuret , jos ja vain jos kunkin yhtälön oikeat puolet ovat redusoitumattomia. Kuten sovimme, murto-osa on myös redusoitumaton, mikä tarkoittaa, että ja ovat koprime. Oikeat puolet ovat redusoitumattomia silloin ja vain jos ja niillä on vastakkainen pariteetti, joten osoittaja ei ole jaollinen kahdella. (A ja sen pariteetti on oltava vastakkainen - kumpikaan ei voi olla parillinen pelkistämättömyyden vuoksi, ja jos molemmat luvut ovat parittomia, jakamalla kahdella saadaan murtoluku , jonka osoittajassa ja nimittäjässä on parittomat luvut, mutta tämä murtoluku on yhtä suuri , jossa osoittajalla ja nimittäjällä on eri pariteetti, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.) Nyt yhtälötetään osoittajat ja nimittäjiä, saamme Euklidisen kaavan , , kanssa ja koprime ja joilla on eri pariteetti . $c/b$ $a/b$ $m/n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ ${\näyttötyyli (m^{2}+n^{2})/(2 min)}$ $c/b$ $a=m^{2}-n^{2}$ $b=2min$ ${\displaystyle c=m^{2}+n^{2))$ $m$ $n$

Pidempi mutta yleisesti hyväksytty todistus on annettu Maorin (Maor, 2007) [6] ja Sierpinskin [7] kirjoissa .

Euklidisen kaavan parametrien tulkinta

Olkoon Pythagoraan kolmion sivut , Ja . Merkitään jalan ja hypotenuusan välinen kulma muodossa . Sitten [8] ${\displaystyle m^{2}-n^{2))$ $2 min$ $m^{2}+n^{2}$ ${\displaystyle m^{2}-n^{2))$ $m^{2}+n^{2}$ $\theta$

\operaattorinimi {tg} \theta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}},

\operaattorinnimi {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {mn}{m+n}}.

Primitiivisten Pythagoraan kolmosten perusominaisuudet

Primitiivisen Pythagoraan kolminkertaisen ( a , b , c ) ominaisuudet , jossa a < b < c (määrittämättä onko a vai b parillinen ):

$(ca)(cb)/2$ on aina täydellinen neliö [9] . Tämä on erityisen hyödyllistä tarkistettaessa, onko annettu lukukolmio Pythagoraan, vaikka tämä ei ole riittävä ehto. Kolmois (6, 12, 18) läpäisee tämän testin, koska ( c − a )( c − b )/2 on täydellinen neliö, mutta tämä kolmio ei ole Pythagoraan. Jos lukujen a , b ja c kolmoinen muodostaa Pythagoraan kolminkertaisen, niin luku ( c miinus parillinen jalka) ja puolet luvusta ( c miinus pariton jalka) ovat täydellisiä neliöitä, mutta tämä ei ole riittävä ehto, ja kolmio (1, 8, 9) on vastaesimerkki, koska 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
Korkeintaan yksi luvuista a , b ja c on neliö [10] .
Pythagoraan kolmion pinta-ala ei voi olla neliö [11] tai kaksinkertainen luonnollisen luvun neliö [12] .
Täsmälleen yksi luvuista a ja b on pariton , c on aina pariton [13] .
Täsmälleen yksi luvuista a ja b on jaollinen kolmella. [14]
Täsmälleen yksi luvuista a ja b on jaollinen neljällä. [7]
Täsmälleen yksi luvuista a , b ja c on jaollinen 5:llä. [7]
Maksimiluku, joka aina jakaa tuotteen abc , on 60. [15]
Kaikki alkutekijät c ovat alkulukuja muotoa 4 n + 1 [16] . Joten c :llä on muoto 4 n + 1 .
Luku ( b − a ) on muotoa 8 n ± 1 olevien alkulukujen tulo , eli siinä ei ole sellaisia kertoimia kuin 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53 , 59, 61, 67, 83, 101, ...
Pinta-ala ( K = ab /2 ) on parillinen kongruenttiluku [17] .
Missä tahansa Pythagoraan kolmiossa piirretyn ympyrän säde ja kolmen ulkokehän säde ovat luonnollisia lukuja. Erityisesti primitiivisen kolmikon kohdalla piirretyn ympyrän säde on r = n ( m − n ) ja jalkoja m 2 − n 2 , 2 mn ja hypotenuusaa m 2 + n tangenttien ulkoisten ympyröiden säteet 2 ovat vastaavasti m ( m - n ) , n ( m + n ) ja m ( m + n ) [18] .
Kuten minkä tahansa suorakulmaisen kolmion kohdalla, Thalesin lauseen käänteislause sanoo, että rajatun ympyrän halkaisija on yhtä suuri kuin hypotenuusa. Koska primitiivisten kolmosten halkaisija on √ m 2 + n 2 , rajatun ympyrän säde on puolet tästä luvusta, ja tämä luku on rationaalinen, mutta ei kokonaisluku (koska m :llä ja n : llä on eri pariteetit).
Jos Pythagoraan kolmion pinta-ala kerrotaan piirretyn ympyrän ja kolmen ulkopiirin kaarevilla, saadaan vastaavasti neljä positiivista kokonaislukua w > x > y > z . Nämä luvut w , x , y , z täyttävät karteesisten ympyröiden yhtälön [19] . Vastaavasti minkä tahansa suorakulmaisen kolmion ulomman Soddy-ympyrän säde on yhtä suuri kuin sen puolikehä. Soddyn ulkokeskus sijaitsee pisteessä D , jossa ACBD on suorakulmio, ACB on suorakulmainen kolmio ja AB on sen hypotenuusa. [kaksikymmentä]
Ei ole olemassa Pythagoraan kolmoiskappaleita, joiden hypotenuusa ja yksi jaloista ovat toisen Pythagoraan kolminon jalkoja. Tämä on yksi Fermatin suorakulmaisen kolmiolauseen [21] formulaatioista .
Jokaisella primitiivisellä Pythagoraan kolmiolla on ainutlaatuinen pinta-alan ja neliön puolikehän suhde (eli eri primitiivisten kolmioiden suhteet ovat erilaisia), ja tämä suhde on [22] ${\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)))=1-{\frac {c}{s}}.$
Yhdessäkään primitiivisessä Pythagoraan kolmiossa hypotenuusaan perustuva korkeus ilmaistaan kokonaislukuna, joten sitä ei voida jakaa kahteen Pythagoraan kolmioon. [23]

Lisäksi voi olla erityisiä Pythagoraan kolmoiskappaleita, joissa on joitain lisäominaisuuksia:

Mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2, joka ei ole kongruentti 2:n kanssa modulo 4 (toisin sanoen, jos se on suurempi kuin 2 eikä sillä ole muotoa 4 n + 2), on osa primitiivistä Pythagoraan kolmoislukua.
Mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2, on primitiivisessä tai ei-primitiivisessä Pythagoraan kolmiossa. Esimerkiksi numerot 6, 10, 14 ja 18 eivät sisälly mihinkään primitiiviseen kolmioon, mutta ne sisältyvät kolmioihin 6, 8, 10; 14, 48, 50 ja 18, 80, 82.
Pythagoraan kolmoiskappaleita, joissa hypotenuusa ja suurin jaloista eroavat täsmälleen yhdellä, on äärettömän monta (sellaiset kolmiot ovat ilmeisen primitiivisiä). Yksi tapa saada tällaiset kolmiot on yhtälö (2 n + 1) 2 + [2 n ( n + 1)] 2 = [2 n ( n + 1) + 1] 2 , jolloin tuloksena on kolmiot (3, 4) , 5) , (5, 12, 13) , (7, 24, 25) jne . Yleisempi väite: jokaiselle paritolle kokonaisluvulle j on äärettömän monta primitiivistä Pythagoraan kolmoisosaa, joissa hypotenuusa ja parillinen jalka eroavat j 2 .
Alkukantaisia Pythagoraan kolmoiskappaleita on äärettömän paljon, joissa hypotenuusa ja pidempi jalka eroavat tasan kahdella. Yleistys: Jokaisella kokonaisluvulla k > 0 on äärettömän monta primitiivistä Pythagoraan kolmoiskappaletta, joissa hypotenuusa ja pariton jalka eroavat 2 k 2 .
Pythagoraan kolmoiskappaleita on äärettömän monta, joissa kaksi jalkaa eroavat täsmälleen yhdellä. Esimerkiksi 20 2 + 21 2 = 29 2 .
Jokaiselle luonnolliselle luvulle n on n Pythagoraan kolmoisosaa, joilla on eri hypotenuus ja sama pinta-ala.
Jokaiselle luonnolliselle luvulle n on vähintään n eri Pythagoraan kolmoa, joilla on sama jalka a , jossa a on jokin luonnollinen luku
Jokaiselle luonnolliselle luvulle n on vähintään n erillistä Pythagoraan kolmoisosaa, joilla on sama hypotenuusa. [24]
Pythagoraan kolmoiskappaleita, joiden neliöt ovat hypotenuusa c ja jalkojen a + b summa, on äärettömän monta . Pienimmässä tällaisessa kolmiossa [ 25] a = 4 565 486 027 761 ; b = 1061652293520 ; c = 4687298610289 . Tässä a + b = 2 372 159 2 ja c = 2 165 017 2 . Eukleideen kaavassa nämä arvot vastaavat m = 2 150 905 ja n = 246 792 .
On olemassa Pythagoraan kolmioita, joiden kokonaislukukorkeus perustuu hypotenuusaan . Tällaisia kolmioita kutsutaan hajotettaviksi, koska ne voidaan hajottaa tällä korkeudella kahdeksi pienemmäksi Pythagoraan kolmioksi. Yksikään rikkoutuneista kolmioista ei muodostu primitiivisestä kolmiosta [26] .
Kaikkien primitiivisten Pythagoraan kolmioiden joukko muodostaa juurtuneen kolmipuun luonnollisella tavalla, katso Primitiivisten Pythagoraan kolmioiden puu .

Ei tiedetä, onko olemassa kahta eri Pythagoraan kolmoislukua, joilla on sama lukujen tulo [27] .

Eukleideen kaavan geometria

Eukleideen kaava Pythagoraan kolmoiskappaleelle

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2min,\ c=m^{2}+n^{2))

voidaan ymmärtää yksikköympyrän rationaalisten pisteiden geometrian avulla [28] . Olkoon kolmio, jonka jalat a ja b ja hypotenuusa c , jossa a , b ja c ovat positiivisia kokonaislukuja. Pythagoraan lauseen mukaan a 2 + b 2 = c 2 ja sen jälkeen, kun molemmat puolet on jaettu c 2 :lla

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1.

Geometrisesti piste suorakulmaisessa tasossa koordinaatteineen

x={\frac {a}{c)],\ y={\frac {b}{c))

sijaitsee yksikköympyrällä x 2 + y 2 = 1 . Tässä yhtälössä x- ja y -koordinaatit on annettu rationaalisilla luvuilla. Sitä vastoin mikä tahansa ympyrän piste, jolla on rationaaliset koordinaatit x ja y , antaa primitiivisen Pythagoraan kolminkertaisen. Todellakin , kirjoitetaan x ja y redusoitumattomina murtolukuina :

x={\frac {a}{c)),\ y={\frac {b}{c)),

jossa lukujen a , b ja c suurin yhteinen jakaja on 1. Koska piste, jonka koordinaatit x ja y on yksikköympyrässä, niin

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1\tarkoittaa a^ {2}+b^{2}=c^{2},

Q.E.D.

Siten yksikköympyrän rationaalisten koordinaattien ja primitiivisten Pythagoraan kolmioiden välillä on vastaavuus . Tästä voidaan saada Euklidesin kaavat trigonometrisilla menetelmillä tai käyttämällä stereografista projektiota .

Stereografisen lähestymistavan soveltamiseksi oletetaan, että P′ on x -akselin piste, jolla on rationaaliset koordinaatit

P'=\left({\frac {m}{n)),0\oikea).

Sitten algebrallisten laskelmien avulla voidaan osoittaa, että pisteellä P on koordinaatit

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\oikea)^{2 }+1)),{\frac {\left({\frac {m}{n}}\oikea)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\oikea) ^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2 }}{m^{2}+n^{2}}}\oikea).

Siten saadaan, että mikä tahansa x - akselin rationaalinen piste vastaa yksikköympyrän rationaalista pistettä. Kääntäen, olkoon P ( x , y ) yksikköympyrän piste, jolla on rationaaliset koordinaatit x ja y . Tällöin stereografisella projektiolla P′ x -akselilla on rationaaliset koordinaatit

\left({\frac {x}{1-y)),0\oikea).

Algebrallisen geometrian kannalta yksikköympyrän rationaalisten pisteiden algebrallinen valikoima on binationaalinen rationaalisten lukujen affiinille . Yksikköympyrää kutsutaan silloin rationaaliseksi käyräksi . Suoran ja ympyrän rationaalisten pisteiden välinen vastaavuus mahdollistaa ympyrän (rationaalisten) pisteiden eksplisiittisen parametrisoinnin rationaalisia funktioita käyttämällä.

Pythagoraan kolminkertaisten ryhmä

Mikä tahansa rationaalinen piste yksikköympyrässä vastaa Pythagoraan kolmoisosaa ( a , b , c ) , tarkemmin sanottuna yleistettyä Pythagoraan kolmoiskappaletta, koska a ja b voivat olla nolla ja negatiivinen.

Olkoon kaksi Pythagoraan kolmiota ( a 1 , b 1 , c 1 ) ja ( a 2 , b 2 , c 2 ) kulmilla α ja β . Voit rakentaa kolmioita, joiden kulmat ovat α ± β käyttämällä kulmien summauskaavoja:

{\frac {a}{c}}=\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {a_{1}b_{2}\pm b_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}},

{\frac {b}{c}}=\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\mp \sin(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {b_{1}b_{2}\mp a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}.

Nämä suorakulmaiset kolmiot ovat myös kokonaislukuja, eli Pythagoraan. Voit syöttää toiminnon kolmiosaisille käyttämällä yllä olevia kaavoja. Tämä operaatio on kommutatiivinen ja assosiatiivinen, eli yleistyneet Pythagoraan kolmiot muodostavat Abelin ryhmän [29] .

Pythagoraan kolminkertaistuu kaksiulotteisessa hilassa

Kaksiulotteinen hila on joukko eristettyjä pisteitä, joissa, jos yksi piste valitaan origoksi (0, 0), kaikilla muilla pisteillä on koordinaatit ( x , y ) , missä x ja y kulkevat kaikkien positiivisten ja negatiivisten kokonaislukujen läpi. . Mikä tahansa Pythagoraan kolmikko ( a , b , c ) voidaan piirtää kaksiulotteiseen hilaan pisteinä, joiden koordinaatit ( a , 0) ja (0, b ) . Pickin lauseen mukaan tiukasti kolmion sisällä olevien hilapisteiden lukumäärä saadaan kaavalla [30] . Alkeellisilla Pythagoraan kolmioilla hilapisteiden lukumäärä on , ja tämä on verrattavissa kolmion pinta-alaan $[(a-1)(b-1)-\gcd(a,b)+1]/2$ ${\näyttötyyli (a-1)(b-1)/2}$ $ab/2.$

On mielenkiintoista, että ensimmäinen tapaus primitiivisten Pythagoraan kolmosten alueiden yhteensattumisesta esiintyy kolmioissa (20, 21, 29), (12, 35, 37), joiden pinta-ala on 210 [31] . Alkukantaisten Pythagoraan kolmoiskappaleiden ensimmäinen esiintyminen samalla hilapistemäärällä esiintyy vasta ( 18 108 , 252 685 , 253 333 ), ( 28 077 , 162 964 , 165 365 ) pistemäärällä 67 [2] 487 . Löytyy kolme primitiivistä Pythagoraan kolmosta, joilla on samat alueet (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019 , 19 069 ) ja pinta-ala 13 123 110 . Siitä huolimatta, ainuttakaan primitiivisten Pythagoraan kolminkertaista kolmoisosaa, jolla on sama määrä hilapisteitä, ei ole vielä löydetty.

Spinorit ja modulaarinen ryhmä

Pythagoraan kolmiot voidaan esittää muodon matriiseina

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

Tämän tyyppinen matriisi on symmetrinen . Lisäksi sen määräävä tekijä

{\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2))

on nolla tarkalleen, kun ( a , b , c ) on Pythagoraan kolmoiskappale. Jos X vastaa Pythagoraan kolmoiskappaletta, sen on oltava arvoltaan 1.

Koska X on symmetrinen, lineaarialgebrasta tiedetään, että on olemassa vektori ξ = [ m n ] T , jonka ulkotulo täyttää

X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}=2\xi \xi ^{T},

(yksi)

jossa T tarkoittaa transponointia . Vektoria ξ kutsutaan spinoriksi ( Lorentzin ryhmälle SO(1, 2). Abstraktisti sanottuna Eukleideen kaava tarkoittaa, että jokainen primitiivinen Pythagoraan kolmoiskappale voidaan kirjoittaa spinorin ulkotuloksi kokonaislukuelementeillä, kuten kaavassa (1) ).

Modulaarinen ryhmä Γ on joukko 2 × 2 matriisia, joissa on kokonaislukuja

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

ja determinantti yhtä suuri kuin yksi: αδ − βγ = 1 . Tämä joukko muodostaa ryhmän, koska Γ :n matriisin käänteisarvo on jälleen matriisi arvosta Γ , samoin kuin kahden Γ :n matriisin tulo . Modulaarinen ryhmä vaikuttaa kaikkien kokonaislukuspinorien joukkoon. Lisäksi ryhmä on transitiivinen kokonaislukuspinorien joukossa, jossa on koprime-elementtejä. Jos [ m n ] T sisältää koprime-alkiot, niin

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end {bmatrix}},

missä u ja v valitaan (käyttäen Euklidin algoritmia ) siten, että mu + nv = 1 .

Vaikuttamalla spinoriin ξ kohdassa (1), Γ :n toiminta siirtyy Pythagoraan kolminkertaisten toimintoihin, mutta sallii kolmiot negatiivisilla arvoilla. Jos A on Γ :n matriisi , niin

{\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T))

(2)

saa aikaan operaatioita matriisilla X kohdassa (1). Tämä ei anna tarkasti määriteltyä toimintoa primitiivisille kolmoille, koska se voi viedä primitiivisen kolminkertaisen ei-primitiiviseen. Tässä vaiheessa on tapana (Trautmanin [28] mukaan ) kutsua kolmoisstandardia ( a , b , c ) jos c > 0 ja joko ( a , b , c ) ovat koprime tai ( a /2, b /2, c / 2) ovat koprime ja a /2 on pariton. Jos spinorilla [ m n ] T on koprime-alkiot, niin siihen liittyvä kaavan (1) kolmoiskappale ( a , b , c ) on standardikolmio. Tämä tarkoittaa, että modulaarisen ryhmän toiminta on transitiivinen standardikolmojen joukossa.

Vaihtoehtoisesti rajoitamme niihin m:n ja n:n arvoihin, joille m on pariton ja n on parillinen. Olkoon ryhmän Γ alaryhmä Γ (2) homomorfismin ydin

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2}),

missä SL(2, Z 2 ) on erityinen lineaarinen ryhmä kokonaislukujen modulo 2 äärellisen kentän Z 2 yli . Tällöin Γ (2) on ryhmä unimodulaarisia muunnoksia, jotka säilyttävät kunkin elementin pariteetin. Eli jos vektorin ξ alkio on pariton ja toinen alkio parillinen, niin sama pätee Aξ :lle kaikille A ∈ Γ(2) . Itse asiassa (2) toiminnan alaisena ryhmä Γ (2) toimii transitiivisesti primitiivisten Pythagoraan kolmioiden joukossa [33] .

Ryhmä Γ (2) on vapaa ryhmä, jonka generaattoreita ovat matriisit

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix)),\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix)).

Siksi mikä tahansa primitiivinen Pythagoraan kolmoiskappale voidaan saada yksiselitteisesti matriisien U ja L kopioiden tulona .

Vanhempien ja lasten väliset suhteet

Kuten Berggren [34] osoitti , kaikki primitiiviset Pythagoraan kolmiot voidaan saada kolmiosta (3, 4, 5) käyttämällä kolmea lineaarimuunnosa T1, T2, T3, joissa a , b , c ovat kolmion sivut:

	uusi puoli a	uusi puoli b	uusi puoli c
T1:	a − 2 b + 2 c	2 a − b + 2 c	2a − 2b + 3c _
T2:	a + 2 b + 2 c	2 a + b + 2 c	2 a + 2 b + 3 c
T3:	− a + 2 b + 2 c	−2 a + b + 2 c	−2 a + 2 b + 3 c

Jos aloitat luvuilla 3, 4, 5, kaikki muut primitiiviset kolmiot saadaan lopulta. Toisin sanoen mikä tahansa primitiivinen kolmois on "vanhempi" 3 ylimääräiselle primitiiviselle kolmiolle. Jos aloitamme a = 3, b = 4 ja c = 5, niin seuraava kolmossukupolvi on

uusi puoli a	uusi puoli b	uusi puoli c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2x4) + (2x5) = 21	(2x3) + 4 + (2x5) = 20	(2x3) + (2x4) + (3x5) = 29
−3 + (2 × 4) + (2 × 5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

Lineaarimuunnoksilla T1, T2 ja T3 on geometrinen tulkinta neliömuotojen kielellä. Ne liittyvät läheisesti (mutta eivät vastaa) ortogonaalisen ryhmän x 2 + y 2 − z 2 generoimiin heijastuksiin kokonaislukujen yli. Toista kolmen lineaarisen muunnoksen sarjaa käsitellään artikkelissa Pythagoran kolmioiden luominen matriiseilla ja lineaarisilla muunnoksilla [35] .

Suhde Gaussin kokonaislukuihin

Euklidesin kaavat voidaan analysoida ja todistaa Gaussin kokonaislukujen avulla [36] . Gaussin kokonaisluvut ovat muotoa α = u + vi olevia kompleksilukuja , joissa u ja v ovat säännöllisiä kokonaislukuja ja i on miinus ykkösen juuri . Gaussin kokonaislukujen yksiköt ovat ±1 ja ±i. Tavallisia kokonaislukuja kutsutaan kokonaisluvuiksi ja niitä merkitään Z . Gaussin kokonaislukuja merkitään Z [ i ]. Pythagoraan lauseen oikea puoli voidaan jakaa Gaussin kokonaisluvuiksi:

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}=(a+bi)(a-bi).

Alkukantainen Pythagoraan kolmoiskappale on kolmio, jossa a ja b ovat koprime eli niillä ei ole yhteisiä alkujakajia. Tällaisille tripleteille joko a tai b on parillinen ja toinen on pariton. Tästä seuraa, että c on myös pariton.

Kumpikin primitiivisen Pythagoraan kolminkertaisen tekijän z = a + bi ja z* = a - bi on yhtä suuri kuin Gaussin kokonaisluvun neliö. Tämä voidaan todistaa käyttämällä ominaisuutta, että mikä tahansa Gaussin kokonaisluku voidaan hajottaa yksiselitteisesti Gaussin alkuluvuiksi aina yhteen asti [37] . (Laajennuksen ainutlaatuisuus karkeasti sanottuna johtuu siitä, että niille voidaan määritellä versio Eukleideen algoritmista .) Todistuksessa on kolme vaihetta. Ensinnäkin todistetaan, että jos a: lla ja b :llä ei ole alkulukuja kokonaisluvuissa, niin niillä ei ole yleisiä alkulukuja Gaussin kokonaisluvuissa. Tämä tarkoittaa, että z :llä ja z* :lla ei ole yhteisiä alkutekijöitä Gaussin kokonaisluvuissa. Lopuksi, koska c 2 on neliö, mikä tahansa laajennuksen Gaussin alkuluku toistetaan kahdesti. Koska z :llä ja z* :lla ei ole yhteisiä alkutekijöitä, tämä kaksinkertaistuminen koskee myös niitä. Siksi z ja z* ovat neliöitä.

Näin ollen ensimmäinen tekijä voidaan kirjoittaa muodossa

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

Tämän yhtälön todellinen ja kuvitteellinen osa antavat kaksi kaavaa:

{\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1 ,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\oikea);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2} -n^{2}\oikea).\end{cases}}

Jokaiselle primitiiviselle Pythagoraan kolmoiskappaleelle täytyy olla olemassa kokonaislukuja m ja n , jotta nämä kaksi yhtälöä pätevät. Näin ollen mikä tahansa Pythagoraan kolmoisluku voidaan saada valitsemalla nämä kokonaisluvut.

Gaussin kokonaislukujen täysneliönä

Jos otamme Gaussin kokonaisluvun neliön, saamme seuraavan tulkinnan Euklidesin kaavoista Gaussin kokonaislukujen täysneliön esityksenä.

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2 min.

Käyttämällä sitä tosiasiaa, että Gaussin kokonaisluvut ovat euklidinen alue ja että Gaussin kokonaislukujen p kohdalla moduulin neliö on aina täydellinen neliö, voidaan osoittaa, että Pythagoran kolmiot vastaavat Gaussin alkulukujen neliöitä, jos hypotenuusa on alkuluku. määrä. $|p|^{2}$

Kolmosten jakautuminen

Pythagoraan kolmioiden jakautumisesta on monia tuloksia. Sirontakaaviossa on joitain selviä kuvioita. Jos primitiivisen kolmion jalat ( a , b ) näkyvät kaaviossa, niin kaikkien näiden jalkojen kokonaislukumäärän tulot on myös oltava kaaviossa, ja tämä ominaisuus selittää radiaaliviivojen esiintymisen kaaviossa origosta.

Kaavio näyttää monia paraabeleja , joilla on suuri pistetiheys, joilla on polttopisteet origossa. Paraabelit heijastuvat akseleilta 45 asteen kulmassa, ja samassa pisteessä kolmas paraabeli lähestyy akselia kohtisuorassa.

Nämä mallit voidaan selittää seuraavasti. Jos luonnollinen luku, niin ( a , , ) on Pythagoraan kolmoisluku. (Itse asiassa mikä tahansa Pythagoraan kolmoiskappale ( a , b , c ) voidaan kirjoittaa tällä tavalla kokonaisluvulla n , ehkä a:n ja b:n vaihtamisen jälkeen , koska molemmat a ja b eivät voi olla parittomat samaan aikaan.) Pythagoraan kolmoiskappaleet ovat tällöin yhtälöiden antamat käyrät . Siten paraabelit heijastuvat a -akselilta ja vastaavat käyrät a :n ja b :n kanssa vaihdetaan keskenään. Jos a vaihtelee tietyllä n :llä (eli valitulla paraabelilla), b :n kokonaislukuarvot näkyvät suhteellisen usein, jos n on neliö tai neliön ja pienen luvun tulo. Jos jotkin tällaiset arvot ovat lähellä toisiaan, vastaavat paraabelit ovat melkein samat ja kolmiot muodostavat kapean parabolisen kaistan. Esimerkiksi 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 ja 10 × 12 2 = 1440. Vastaava parabolinen nauha on selvästi näkyvissä n ≈ 140: n ympärillä. sirontakaavio. $a^{2}/4n$ $|na^{2}/4n|$ $n+a^{2}/4n$ ${\näyttötyyli n=(b+c)/2}$ $b=|na^{2}/4n|$

Yllä kuvatut kulmaominaisuudet seuraavat välittömästi paraabelien toiminnallisesta muodosta. Paraabelit heijastuvat a - akselilta pisteessä a = 2 n ja b :n derivaatta suhteessa a :een tässä pisteessä on −1. Siten kaltevuuskulma on 45°. Koska klusterit, kuten kolmiot, toistuvat, kun ne kerrotaan kokonaislukuvakiolla, myös arvo 2 n kuuluu klusteriin. Vastaava paraabeli leikkaa b -akselin suorassa kulmassa pisteessä b = 2 n ja on siksi symmetrinen heijastus paraabelista, joka saadaan vaihtamalla muuttujia a ja b ja joka leikkaa a-akselin suorassa kulmassa pisteessä a = 2 n .

Albert Fässler ym . ovat osoittaneet näiden paraabelien merkityksen konformisten kartoitusten yhteydessä [38] [39] .

Erikoistilaisuudet

Platonin sekvenssi

Pythagoraan kolmosten yleisen konstruktion tapaus n = 1 on tunnettu pitkään. Proclus kuvailee Eukleideen Principian ensimmäisen kirjan 47. lausetta koskevassa kommentissaan sitä seuraavasti:

Jotkut menetelmät tällaisten kolmioiden saamiseksi ovat helppoja saada, yksi niistä kuuluu Platonille ja toinen Pythagorasille . (Viimeinen) alkoi parittomilla numeroilla. Tätä varten hän valitsi parittoman luvun jaloista pienimmäksi. Sitten hän neliöi sen, vähensi yhden ja käytti puolet tästä erosta toisena osuutena. Lopulta hän lisäsi yhden tähän jalkaan ja sai hypotenuusan.

…Platonin menetelmä toimii parillisten lukujen kanssa. Se käyttää annettua parillista numeroa yhtenä jalkana. Puolet tästä luvusta neliötetään ja yksi lisätään hypotenuusan saamiseksi, ja yhden vähentäminen antaa toisen haaran. ... Ja tämä antaa saman kolmion kuin toinen menetelmä.

Yhtälöiden muodossa:

a on pariton (Pythagoras, 540 eKr.): $a:b={\frac {a^{2}-1}{2}}:c={\frac {a^{2}+1}{2}}.$
a on parillinen (Platon, 380 eKr.): $a:b=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-1:c=\left({\frac {a}{2}}\oikea)^{ 2}+1.$

Voidaan osoittaa, että kaikki Pythagoraan kolmiot saadaan platonisesta sekvenssistä ( x , y , z ) = p , ( p 2 − 1)/2 ja ( p 2 + 1)/2, jos p :n annetaan ottaa ei-kokonaisluku (rationaaliset) arvot. Jos p korvataan tässä järjestyksessä rationaalisella murto-osalla m / n , saadaan kolminkertaisten 2 mn , m 2 − n 2 ja m 2 + n 2 'standardi' generaattori . Tästä seuraa, että mikä tahansa kolmio vastaa rationaalista arvoa p , jonka avulla voidaan saada samanlainen kolmio, jonka rationaaliset sivut ovat verrannollisia alkuperäisen kolmion sivuihin. Esimerkiksi kolmion (6, 8, 10) platoninen vastine olisi (3/2; 2, 5/2).

Jacobi-Maddenin yhtälö

Yhtälö

{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4))

vastaa erityistä Diophantine-kolmiota

{\näyttötyyli (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^ {2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}.}

Tälle yhtälölle on ääretön määrä ratkaisuja, jotka voidaan saada käyttämällä elliptistä käyrää . Kaksi näistä ratkaisuista:

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400,

a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150.

Kahden neliön yhtä suuret summat

Yksi tapa tuottaa ratkaisuja on parametroida a , b , c , d luonnollisilla lukuilla m , n , p , q seuraavasti: [40] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2))$

{\näyttötyyli (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}= (mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}

Kahden neljännen potenssin yhtä suuret summat

Annettu kaksi sarjaa Pythagoraan kolmoiskappaleita:

(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2},

(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2},

sitten ongelmana jalan ja hypotenuusan yhtäläisten tuotteiden löytäminen

(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+ d^{2}),

kuten se on helppo nähdä, vastaa yhtälöä

a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4},

jolle Euler sai ratkaisun . Koska hän osoitti, että tämä piste on rationaalinen piste elliptisellä käyrällä , ratkaisuja on ääretön määrä. Itse asiassa hän löysi myös 7. asteen polynomiparametrisoinnin. $a,b,c,d=133,59,158,134$

Descartesin ympyrälause

Descartesin lauseessa , kun kaikki muuttujat ovat neliöitä,

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d ^{2})^{2}.

Euler osoitti, että tämä vastaa kolmea Pythagoraan kolmoisosaa:

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2},

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}.

Tässäkin ratkaisuja on ääretön määrä, ja erityistapauksessa yhtälö yksinkertaistuu $a+b=c$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2},

jolla on ratkaisu pienillä luvuilla ja se voidaan ratkaista binaarisena neliömuotona . $a,b,c,d=3,5,8,14$

Lähes tasakylkiset Pythagoraan kolmoiskappaleet

On olemassa suorakulmaisia kolmioita , joissa on kokonaislukusivut, joissa jalkojen pituudet eroavat yhdellä, esimerkiksi:

3^{2}+4^{2}=5^{2},

20^{2}+21^{2}=29^{2}

ja loputon määrä muita. Heille voimme johtaa yleisen kaavan

\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{2}=y ^{2},

missä ( x , y ) ovat Pellin yhtälön ratkaisuja . $x^{2}-2y^{2}=-1$

Siinä tapauksessa, että jalka ja hypotenuusa eroavat yhdellä, kuten tapauksissa

5^{2}+12^{2}=13^{2},

7^{2}+24^{2}=25^{2},

yleinen ratkaisu olisi

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2},

mistä voidaan nähdä, että kaikki parittomat luvut (suuremmat kuin 1) esiintyvät primitiivisissä Pythagoraan kolmioissa.

Yleistykset

Pythagoraan kolmosten käsitteen yleistämiseen on useita vaihtoehtoja.

Pythagoraan nelinkertaiset

Neljän luonnollisen luvun a , b , c ja d joukkoa , joissa a 2 + b 2 + c 2 = d 2 kutsutaan Pythagoraan nelinkertaiseksi . Yksinkertaisin esimerkki on (1, 2, 2, 3), koska 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . Seuraava (primitiivinen) yksinkertaisin esimerkki on (2, 3, 6, 7), koska 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .

Kaikki neloset on annettu kaavalla

(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}= (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.

Pythagoraan n -joukkoja

Käyttämällä yksinkertaista algebrallista identiteettiä

(x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{ 0})^{2}

mielivaltaiselle x 0 , x 1 :lle on helppo todistaa, että n neliön summan neliö on itse n neliön summa, jolle laitetaan x 0 = x 2 2 + x 3 2 + … + x n 2 ja laajenna sulkuja [41] . Voidaan helposti nähdä, että Pythagoraan kolmiot ja neloset ovat vain erikoistapauksia x 0 = x 2 2 ja x 0 = x 2 2 + x 3 2 , vastaavasti, joita voidaan jatkaa muille n :ille käyttämällä viiden neliön kaavaa.

(a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+( 2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.

Koska k peräkkäisen neliön summa F ( k , m ) alkaen m 2 :sta saadaan kaavalla [42]

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6)),

voidaan löytää arvoja ( k , m ) siten, että F ( k , m ) on neliö. Siten Hirshhorn löysi kaavan sarjoille, joissa termien lukumäärä on itse neliö [43] ,

m={\frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48)),k=v^{2},\ F(m,k)={\frac {v^ {5}+47v}{48}}

ja v ⩾ 5 on mikä tahansa luonnollinen luku, joka ei ole jaollinen 2:lla tai 3:lla. Pienin arvo on v = 5, josta k = 25, mikä antaa Lucasin kanuunankuula -säilytysongelmasta tunnetun arvon :

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\pisteet +24^{2}=70^{2},

tosiasia, joka liittyy Leach-hilaan .

Lisäksi, jos Pythagoraan n - moninkertaisessa ( n ⩾ 4) kaikki termit ovat peräkkäisiä luonnollisia lukuja, viimeistä lukuun ottamatta, voidaan käyttää yhtälöä [44]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}.

Koska p :n toinen potenssi kumoutuu, jäljelle jää helposti ratkaistava lineaarinen yhtälö , vaikka k ja m on valittava siten, että p on kokonaisluku, ja esimerkki saadaan k = 5 ja m = 1: $p=(F(k,m)-1)/2$

1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}.

Siten saadaan menetelmä Pythagoraan n -monikon generoimiseksi valitsemalla x [45] :

x^{2}+(x+1)^{2}+\pisteet +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

missä q = n − 2 ja

p={\frac {1}{2}}\left((q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1) )}{6}}-1\oikea).

Fermatin viimeinen lause

Pythagoraan kolmoiskäsitteen yleistys on luonnollisten lukujen a , b ja c kolmioiden etsiminen siten, että a n + b n = c n joillekin n :lle, joka on suurempi kuin 2. Pierre de Fermat totesi vuonna 1637, että tällaisia kolmioita ei ole olemassa , ja tämä väite tuli tunnetuksi Fermatin viimeisenä lauseena , koska sen todistaminen tai kumoaminen kesti paljon kauemmin kuin minkään muun Fermatin hypoteesin. Ensimmäisen todisteen antoi Wiles vuonna 1994.

n - 1 tai n n:s potenssi n : nnenä potenssina

Toinen yleistys on löytää n + 1 luonnollisen luvun sarjoja, joille sekvenssin viimeisen termin n:s potenssi on yhtä suuri kuin edellisten termien n:nnen potenssin summa . Pienimmät sekvenssit tunnetuille n:n arvoille ovat :

n = 3: {3, 4, 5; 6}.
n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Hieman erilaisessa yleistyksessä ( k + 1) n:nnen potenssin summa vastaa ( n − k ) n:nnen potenssin summaa. Esimerkiksi:

( n = 3): 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 . Esimerkki tuli tunnetuksi sen jälkeen, kun Hardy muisti Ramanujanin kanssa käyneen keskustelun numerosta 1729, joka on pienin luku, joka voidaan esittää kahden kuution summana kahdella eri tavalla.

Luonnollisten lukujen potenssit voivat myös olla n − 1 n:nnet , jotka summautuvat luonnollisen luvun n: teen potenssiin (tosin Fermat'n viimeisen lauseen mukaan ei n = 3:lle). Nämä sekvenssit ovat vastaesimerkkejä Eulerin olettamukselle . Vähiten tunnetut vastaesimerkit [46] [47]

n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Heronin kolmion kolmiot

Heronin kolmio määritellään yleensä kolmioksi, jonka sivut ovat kokonaislukuja ja joiden pinta-ala on myös kokonaisluku, ja oletetaan, että kolmion sivut ovat erillisiä . Tällaisen kolmion sivujen pituudet muodostavat Heronin kolmion ( a, b, c ), jossa a < b < c . On selvää, että Pythagoraan kolmiot ovat Heronin kolmoiskappaleita, koska Pythagoraan kolmiossa ainakin yksi jaloista a ja b on parillinen luku, joten kolmion ab /2 pinta-ala on kokonaisluku. Kaikki Heronin kolmiot eivät ole Pythagoralaista, koska esimerkiksi kolmoisosa (4, 13, 15), jonka alue on 24, ei ole Pythagoralainen.

Jos ( a , b , c ) on Heron-kolmio, niin on ( ma , mb , mc ) millä tahansa luonnollisella m :llä, joka on suurempi kuin yksi. Heronin kolmoiskappale ( a , b , c ) on primitiivinen , jos a , b ja c ovat pareittain koprimeja (kuten Pythagoraan kolmioiden tapauksessa). Alla on useita Heronin kolmoiskappaleita, jotka eivät ole Pythagoraan:

(4, 13, 15), jonka pinta-ala on 24, (3, 25, 26) alueella 36, (7, 15, 20) alueella 42, (6, 25, 29) alueella 60, (11, 13, 20) alueella 66, (13, 14, 15) alueella 84, (13, 20, 21), joiden pinta-ala on 126.

Heronin kaavan mukaan luonnollisten lukujen ( a , b , c ) kolminkertainen a < b < c on Heron-kolmoinen

( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 -- 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

tai mikä on sama,

2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )

oli nollasta poikkeava täydellinen neliö jaollinen 16:lla.

Käyttö

Primitiivisiä Pythagoraan kolmoiskappaleita käytetään kryptografiassa satunnaisina sarjoina ja avainten luomiseen [48] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ V. Serpinsky . Pythagoraan kolmiot. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 s.
↑ Robson, Eleanor (helmikuu 2002), Sanat ja kuvat: uusi valo Plimpton 322 :ssa , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — V. 109(2): 105–120, doi : 10.2307/2695324 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf > Arkistoitu kopio päivätty 10. elokuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ D.E. Joyce. Eukleideen elementit. - Clark University, kesäkuu 1997. - C. Kirja X, Ehdotus XXIX .
↑ Douglas W. Mitchell. Vaihtoehtoinen karakterisointi kaikille primitiivisille Pythagoraan kolmoiskappaleille // The Mathematical Gazette. - Heinäkuu 2001. - T. 85 , no. 503 . - S. 273-5 . — .
↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Todistuksia ilman sanoja: Lisää visuaalisen ajattelun harjoituksia / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America , 2000. - Vol. II . - S. 120 . - ISBN 978-0-88385-721-2 .
↑ Eli Major. Pythagoraan lause . - Princeton University Press, 2007. - C. Liite B.
↑ 1 2 3 Sierpinski, 2003 .
↑ Houston, 1993 , s. 141.
↑ Posamentier, 2010 , s. 156.
↑ Sellaisen ratkaisun puuttuminen, jossa sekä a että b ovat neliöitä, Pierre de Fermat osoitti alun perin . Muita tapauksia, joissa c on yksi neliöistä, katso Stillwellin kirja.
↑ Carmichael, 1959 , s. 17.
↑ Carmichael, 1959 , s. 21.
↑ Sierpinski, 2003 , s. 4-6.
↑ Sierpinski, 2003 , s. 23-25.
↑ MacHale, Bosch, 2012 , s. 91-96.
↑ Sally, 2007 , s. 74-75.
↑ Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että yksi luvuista a tai b on jaollinen neljällä, ja kongruenttilukujen määritelmästä suorakulmaisten kolmioiden alueiksi, joilla on rationaaliset sivut.
↑ Baragar, 2001 , s. 301, harjoitus 15.3.
↑ Bernhart, Price, 2005 .
↑ Bernhart, Price, 2005 , s. 6.
↑ Carmichael, 1959 , s. neljätoista.
↑ Rosenberg, Spillane, Wulf, toukokuu 2008 , s. 656-663.
↑ Paul Yiu, 2008 .
↑ Sierpinski, 2003 , s. 31.
↑ Pickover, 2009 , s. 40.
↑ Paul Yiu, 2008 , s. 17.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean kolmikko Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ 12 Trautman , 1998 .
↑ Eckert, 1984 .
↑ Paul Yiu, 2003 .
↑ Sekvenssi A093536 OEIS : ssä .
↑ Sekvenssi A225760 OEIS : ssä .
↑ Alperin, 2005 .
↑ Berggren, 1934 .
↑ Lisäkeskusteluja vanhemman ja lapsen suhteesta - Pythagoran kolmikko (Wolfram) Arkistoitu 17. maaliskuuta 2015 Wayback Machinessa , Alperin, 2005 .
↑ Stillwell, 2002 , s. 110–2 Luku 6.6 Pythagoraan kolmiot.
↑ Gauss, 1832 Katso myös Werke , 2 :67-148.
↑ 1988 Preprint Arkistoitu 9. elokuuta 2011 Wayback Machinessa Katso kuva 2 sivulla s. 3. Tämä julkaistiin myöhemmin vuonna ( Fässler 1991 )
↑ Benito, Varona, 2002 , s. 117-126.
↑ Nahin, Paul. Kuvitteellinen tarina: Tarina p. 25-26. ${\sqrt {-1}),$
↑ Algebrallisten identiteettien kokoelma: n neliöiden summat . Haettu 15. maaliskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 6. maaliskuuta 2012. (määrätön)
↑ Peräkkäisten kuutioiden summa on yhtä suuri kuin kuutio (downlink) . Arkistoitu alkuperäisestä 15. toukokuuta 2008. (määrätön)
↑ Michael Hirschhorn. Milloin peräkkäisten neliöiden summa on neliö? // Mathematical Gazette. - Marraskuu 2011. - T. 95 . - S. 511-2 . — ISSN 0025-5572 .
↑ John F. Jr. Goehl. Lukijan pohdintoja // Matematiikan opettaja. - Toukokuu 2005. - T. 98 , no. 9 . - S. 580 .
↑ John F. Goehl, Jr. Triples, kvartets, pentads // Matematiikan opettaja. - Toukokuu 2005. - T. 98 . - S. 580 .
↑ Scott Kim. Bogglers // Discover . - Toukokuu 2002. - S. 82 .
Yhtälö on monimutkaisempi, vasta vuonna 1988, 200 vuoden matemaatikoiden epäonnistuneiden yritysten jälkeen todistaa yhtälön ratkaisemisen mahdottomuus, Noam Elkis Harvardista löysi vastaesimerkin - 2.682.440 4 + 15.365.639 4 +6.1767 9 +6.1787 20.615.673 4 : ${\displaystyle w^{4}+x^{4}+y^{4}=z^{4))$
Noam Elkies. On A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Laskennan matematiikka. - 1988. - T. 51 . — S. 825–835 .
↑ MacHale, Bosch, 2012 , s. 91-96.
↑ S. Kak, M. Prabhu. Primitiivisten Pythagoraan kolmioiden kryptografiset sovellukset // Cryptologia. - 2014. - T. 38 , no. 3 . - S. 215-222 .

Kirjallisuus

RD Carmichael. Numeroteoria ja diofantiinianalyysi . - Dover Publ, 1959. - C. Diofantiinianalyysi.
Waclaw Sierpinski. Pythagoraan kolmiot. - Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
John Stillwell. numerot ja geometria. - Springer, 1998. - S. 133. - (Matematiikan perustutkintotekstejä). — ISBN 9780387982892 .
Thomas Koshy. Peruslukuteoria sovellusten kanssa. - Academic Press, 2002. - S. 545. - ISBN 9780124211711 .
David Houston. Todistuksia ilman sanoja: Visuaalisen ajattelun harjoituksia / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America, 1993. - S. 141. - ISBN 978-0-88385-700-7 .
Alfred S. Posamentier. Pythagoraan lause: Tarina sen voimasta ja kauneudesta . - Prometheus Books, 2010. - ISBN 9781616141813 .
Des MacHale, Christian van den Bosch. Tuloksen yleistäminen Pythagoraan kolmioista // Mathematical Gazette . - 2012. - T. 96 .
Judith D. Sally. Tutkimuksen juuret: matemaattisten ongelmien vertikaalinen kehitys. - American Mathematical Society, 2007. - ISBN 9780821872673 . .
Neal Koblitz. Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. - Springer, 1993. - V. 97. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 9780387979663 .
Arthur Baragar. Tutkimus klassisista ja moderneista geometrioista: tietokonetoiminnalla . - Prentice Hall, 2001. - ISBN 9780130143181 .
Paul Yiu. Haikarakolmiot, joita ei voida jakaa kahdeksi kokonaislukuiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi. - Amerikan matematiikan yhdistyksen Florida-osaston 41. kokous, 2008.
Clifford A. Pickover. Matemaattinen kirja. - Sterling, 2009. - P. Luku "Pytagoraan lause ja kolmiot". — ISBN 1402757964 .
John Stillwell. Lukuteorian elementit. - Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95587-2 .
Pythagorean Triples and the Unit Circle Arkistoitu 15. joulukuuta 2011 Wayback Machinessa , chap. 2-3, teoksessa " A Friendly Introduction to Number Theory , arkistoitu 6. maaliskuuta 2015 Wayback Machinessa ", kirjoittanut Joseph H. Silverman, 3. painos, 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137 -9
Dmitri Viktorovich Anosov . Katsaus matematiikkaan ja jotain siitä . - 2. painos - M .: MTSNMO , 2003. - T. 3. - 32 s. - (Kirjasto "Matemaattinen koulutus"). — 3000+1500 kappaletta. — ISBN 5-94057-111-5 . Arkistoitu12. tammikuuta 2014Wayback Machinessa

Linkit

Paul Yiu. Virkistysmatematiikka // Kurssin muistiinpanot, Dept. matemaattiset tieteet, Florida Atlantic University. – 2003.
Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Heronin kaava, Descartesin ympyrät ja Pythagoraan kolmiot. — 2005. arXiv
Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Heron kolmiot ja moduuliavaruudet // Matematiikan opettaja. - Toukokuu 2008. - T. 101 .
Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. soc. Reg. sci. Gott. Rec .. - 1832. - T. 4 .
Albert Fassler. Useita Pythagoraan luku kolminkertaisia // American Mathematical Monthly. - 1991. - T. 98 , no. 6 . — .
Manuel Benito, Juan L. Varona. Pythagoraan kolmiot, joiden jalat ovat pienempiä kuin n . - 2002. - T. 143 . - doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4 .
Roger C Alperin. Pythagoraan modulaarinen puu // American Mathematical Monthly. - Mathematical Association of America, 2005. - V. 112 , no. 9 . — S. 807–816 . — .
B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (ruotsalainen) // Tidskrift för elementär matematiikka, fysik och kemi. - 1934. - T. 17 . — S. 129–139 .
Ernest Eckert. Primitiiviset Pythagoraan kolminkertaiset // College Mathematics Journal. - Mathematical Association of America, 1992. - V. 23 , no. 5 . — S. 413–417 . — .
Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard. Integraalikolmioiden ryhmät // The Fibonacci Quarterly. - 1989. - T. 27 , no. 5 . - S. 458-464 .
Ernest J. Eckert. Primitiivisten Pythagoraan kolmioiden ryhmä // Mathematics Magazine. - 1984. - T. 57 .
Noam Elkies. Pythagoraan kolmoiskappaleet ja Hilbertin lause 90.
Artema Martin. Rationaaliset suorakulmaiset kolmiot lähes tasakylkisiä // Analyytikko . - Annals of Mathematics, 1875. - Vol. 3 , no. 2 . - S. 47-50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Andrzej Trautman. Geometrinen universumi / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. – 1998.
Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Esimerkki Python-ohjelmasta Pythagoraan kolmioiden rakentamiseen