Pythagoraan kvartetti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Pythagoraan nelinkertainen on monikko kokonaislukuja siten, että d > 0 ja. Pythagoraan nelinkertainenmäärittelee suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön , jonka sivujen pituus on | a |, | b | ja | c | jonka diagonaalin pituus on d . Pythagoraan nelinkertaisia kutsutaan myös Pythagoran lohkoiksi [1] . ${\näyttötyyli (a,b,c,d)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2))$ ${\näyttötyyli (a,b,c,d)}$

Primitiivisten nelinkertaisten parametrointi

Kaikkien primitiivisten Pythagoraan nelinkertaisten joukolla , eli niillä, joille gcd ( a , b , c ) = 1, on parametrointi [2] [3] [4]

a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},

b=2(mq+np),

c=2(nq-mp),

d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},

missä m , n , p , q ovat luonnollisia kokonaislukuja , gcd( m , n , p , q ) = 1 ja m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Siten kaikki primitiiviset Pythagoraan nelinkertaiset kuvataan Lebesguen identiteetillä [5]

(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{ 2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.

Vaihtoehtoinen parametrointi

Kaikki Pythagoraan nelinkertaiset (mukaan lukien ei-primitiiviset ja toistuvat) voidaan saada kahdesta luonnollisesta luvusta a ja b seuraavasti:

Jos ja niillä on eri pariteetti, ota mikä tahansa luvun tekijä p siten, että . Sitten huomioimme sen $a$ $b$ $a^{2}+b^{2}$ $p^{2}<a^{2}+b^{2}$ $c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)$ $d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).$ $p={dc}.$

Samanlainen menetelmä on olemassa [6] parillisille luvuille lisärajoituksella, että sen on oltava luvun parillinen jakaja. Sellaista menetelmää ei ole tapaukselle, jossa sekä luvut a että b ovat parittomia. $a,b$ $2p$ $a^{2}+b^{2}.$

Ominaisuudet

Suurin luku, joka aina jakaa tulon abcd , on 12 [7] . Neljän minimitulon määrä on (1, 2, 2, 3).

Suhde kvaternionien ja rationaalisten ortogonaalisten matriisien kanssa

Alkukantainen Pythagoraan nelinkertainen , parametrisoituna , vastaa konjugaation matriisiesityksen ensimmäistä saraketta Hurwitzin kvaternionin avulla , joka kaventuu aliavaruuteen ${\näyttötyyli (a,b,c,d)}$ ${\näyttötyyli (m,n,p,q)}$ $E(\alpha )$ $\alpha (\cdot ){\overline {\alpha }}$ $\alpha =m+ni+pj+qk$ ${\mathbb {H}}$ ${\näyttötyyli i,j,k}$

E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{ 2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{ 2}\\\end{pmatrix}},

jossa sarakkeet ovat pareittain ortogonaalisia ja jokaisella on normi d . Lisäksi , ja itse asiassa kaikki 3 × 3 ortogonaaliset matriisit rationaalisilla kertoimilla näkyvät tällä tavalla [8] . ${\frac {1}{d}}E(\alpha )$ $\in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )$

Pythagoraan nelinkertaiset pienellä normilla

(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)

Katso myös

Pythagoraan kolminkertainen
De Guan lause
Quaternions ja avaruuskierto
Euler-Rodriguezin kaava pyörimiseen kolmiulotteisessa avaruudessa
Eulerin olettamus
Bealin hypoteesi
Jacobi-Maddenin yhtälö
Pruhet-Tarry-Escott-ongelma
Taksien määrä
Neljän kuution ongelma

Muistiinpanot

↑ R.A. Beauregard, E.R. Suryanarayan. Pythagoraan laatikot // Matematiikka. Aikakauslehti. - 2001. - T. 74 . - S. 222-227 .
↑ R. D. Carmichael. Diofantiinianalyysi. - New York: John Wiley & Sons, 1915. - V. 16. - (MATEMAATISET MONOGRAFIAT).
↑ L.E. Dickson, Jotkut lukuteorian ja matematiikan muiden alojen väliset suhteet , julkaisussa Villat (Henri), toim., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathematiciens, Strasbourg, Toulouse, 1921, pp. 41-56; uusintapainos Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Kootut teokset 2, s. 579-594.
↑ R. Spira. Diofantiiniyhtälö $x^{2}+y^{2}+z^{2}=m^{2}$ // Amer. Matematiikka. Kuukausittain. - 1962. - T. 69 . - S. 360-365 .
↑ Lebesgue-identiteetti . Haettu 23. tammikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 23. tammikuuta 2022. (määrätön)
↑ V. Serpinsky . Pythagoraan kolmiot . - M .: Uchpedgiz, 1959. - S. 68 .
↑ Des MacHale, Christian van den Bosch. Tuloksen yleistäminen Pythagoraan kolmioista // Mathematical Gazette. - Maaliskuu 2012. - T. 96 . - S. 91-96 .
↑ J. Cremona. Kirje toimittajalle // Amer. Matematiikka. Kuukausittain. - 1987. - T. 94 . - S. 757-758 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Pythagorean Quadruple (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Lebesgue's Identity (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Diofantiinianalyysi Project Gutenbergissä .
Täydellinen parametrisointi johdettu Minkowskin Clifford Algebralla